1、以密碼學為主題的數學研究性學習翻轉課堂教學研究摘 要：分析闡釋數學與密碼學的關系，以數學課程為主線，設計幾個以密碼學為主題的研究性課題。 促進學生對數學的理解，在一定程度上提高學生利用數學知識解決網絡空間安全問題的能力。關鍵詞：數學；密碼學；微課；翻轉課堂；研究性學習0引言隨著2016年網絡空間安全國家戰略1的提 出，網絡空間安全知識越來越受到人們的重視, 密碼學是其中的重要理論基礎2，因而很多學者 致力于密碼學知識的科普工作鄧。數學課程貫 穿于從小學到大學甚至博士的各個階段，其重要 性毋庸置疑，研究性學習是數學的一種重要教學 內容。密碼學的很多理論都以數學為基礎，是數 學基本理論的應用。把數

2、學和密碼學結合起來, 利用微課5、翻轉課堂6等新教學模式，探討以 密碼學為主題的數學研究性學習，不僅可以培養 學生利用數學知識解決實際問題的能力，促進學 生了解密碼學相關知識，提高綜合素質，而且可 以提升教師的教學能力和水平。1 預備知識數學是貫穿整個學習過程的一門學科，密 碼學作為數學在網絡空間安全應用的一門新興學 科，兩者關系密切，相互促進。研究性學習與翻 轉課堂的目標都是為了培養學生的創新能力、合 作能力、自主解決問題能力，兩者結合有助于提 高教學效果。本章我們主要從數學與密碼學的關 系、研究性學習的概念、微課與翻轉課堂等新教 學模式幾個方面，探討以密碼學為主題的數學研 究性學習翻轉課堂

3、教學研究的重要性。數學與密碼學密碼學7是在存在第三方敵手的情況下實現 安全通信技術的實踐和研究，涉及消息機密性、 完整性、身份認證、數字簽名、訪問控制等諸多 領域，擁有密碼編碼學和密碼分析學兩個分支， 是網絡空間安全的基礎與核心。密碼學涉及較多 的數學知識8，如數論、圖論、橢圓曲線、概率 論、數理邏輯等，還涉及計算機、通信工程等多 個學科，是數學學科的一個重要應用。所用的數 學知識，有的涉及比較高深的數學知識，有的只 需要中小學的數學知識。研究性學習研究性學習9是指學生在教師指導下，從生 活中選擇研究專題、主動獲取知識、應用知識、 解決問題的學習活動，是學生自主開展的以科學 研究為主的課題研究

4、活動。研究表明10，研究 性學習通過學生研究復雜、新奇的問題，提高了 學習興趣、學習成績和提出問題的能力，提高了 學習質量。研究性學習的主要目標11是培養學生的創新意識與能力、問題意識、合作意識與能 力、關注社會現實意識與責任感。1.3微課、翻轉課堂教學模式微課5是圍繞學科知識點，針對教學環節 設計制作的一系列微視頻教學資源。翻轉課堂6 是對傳統教學模式的翻轉，學生在課前利用教 師的微課視頻等資源學習，在課堂上在教師的 指導下完成作業或者 實驗的一種教學模 式。翻轉課堂加強了 學生自主學習、自主 探索的過程，更符合 人類的認知規律，體 現了 “以學生為中 心”的教學理念。2 基于密碼學的 數學

5、研究性學習教 學設計(b)圖1移位密碼(a (b)圖1移位密碼這里主要針對移 位密碼和秘密分割兩 部分內容做研究性學習設計，這兩部分內容都 需要選擇一個學生感興趣的實際應用故事，這種 故事在一般的密碼學書籍中都有介紹，我們沒有 在此給出。對于移位密碼，主要通過學習相關數 學知識的應用，讓學生不僅鞏固相關數學知識， 而且理解密碼學中明文、密文、加密、密碼分 析、基爾霍夫原則等基本概念。對于秘密分割， 主要是在鞏固相關數學知識的基礎上，理解密 碼學中秘密分割的基本概念及其常見的門限方 案構造方法。2.1移位密碼古典密碼體制中的移位變換密碼12是一種 代換密碼，把26個字母圍成一圈，以密鑰3(凱 撒

6、密碼)為例，加密是每個字母向后移3個，解 密是每個字母向前移3個。小學二年級數學學習認識時間。鐘表，同一 個刻度“1”，時針指過來，表示“1小時”，分 針指過來，表示“5分鐘”，這剛好是一種代換。 如圖1(a)所示，箭頭所示的地方表示小時為“1 小時”，表示分鐘為“5分鐘”；類似地，在凱撒 密碼中，如圖1(b)所示，用大寫字母表示明文， 小寫字母表示密文，箭頭所示的地方對應的明文 為“A”，密文為“d”。利用凱撒密碼，根據圖 1(b)可知，對于漢語拼音(二年級的小朋友還沒 有學習英語)“WE MEN SHI HAO PENG YOU(我 們是好朋友)”加密所得的密文是“zh phq vkl k

7、dr shqm brx”，解密，可得對應的明文。小學四年級數學學習除數是兩位數的除 法，利用帶余除法，結合鐘表的認識，類似于 文獻3在2.1.2節中講解模余運算的方法，把 A - Z對應于0 - 25,選定密鑰k為 025中的一個隨機數(凱撒密碼中k=3 )，明文 記作m，密文記作c，加密算法為c=Ek(m)=m+k mod 26 ；解密算法為 m=Dk(m)=c-kmod 26。初中三年級數學學習概率初步之后，我們 可以對移位密碼進行密碼分析。根據基爾霍夫原 則12，假設敵手知道正在使用的密碼體制是移位 密碼，截獲的密文是“bg fwg kwngsix，利用英 文語言的統計特性13，字母E是

8、出現次數最 多的，說明密文g對應的明文E,因而密 鑰 k=5,明文是 “WE ARE FRIENDS”。秘密分割秘密分割12是密碼學的一個重要概念，是 指把一個秘密分給多個人掌管，在需要恢復這個 秘密的時候，必須有一定數目的掌管秘密的人同 時到場才能完成。常見的(k,n)門限方案是指把 秘密s分成n個部分，每一部分由一個參與者持有，并且滿足由k個或者多于k個秘密持有者 可以恢復秘密S,由少于k個秘密持有者不能 恢復秘密s。1979年Blakley網和Shamir15分別 利用幾何方法和基于多項式的拉格朗日插值公式 構造了門限方案。其中Shamir的方案18是目前 使用最廣泛的門限方案，該文章的

9、谷歌學術引用 次數已經達到1.3萬次。針對幾何構造方法，可以根據初中一年級數 學學習幾何圖形初步16中的知識點“兩點確定 一條直線”設計(2,3)門限密碼分割方案，見圖2。 假定一個秘密是位置P，并且知道這個位置在某 條已知直線I。上，則我們過這個位置點P任意做 一條與已知直線相交的直線I，在直線l上任取 不同于P的3個點A】,42, A3分發給3個參與者, 恢復秘密的時候，只需有兩個參與者就可以把直 線l恢復出來，與直線直線lo的交點P也就恢復另外，也可以根據初中三年級數學學習圓15 中的知識點“不在同一條直線上的三個點確定一 個圓”設計(3,5)門限密碼分割方案，見圖3。假 定一個秘密是位

10、置P，則我們以點P為圓心任意 做一個圓，記作P”，在。P上任取5個點 A1, A?, A3, A4, A5分發給5個參與者，恢復秘密的 時候，只需有3個參與者就可以把。P恢復出來, 圓心P也就恢復出來了。也可以把圖2所示的(2,3)門限密碼分割方 案轉化為Shamir的方案15的形式，見圖4。初 中二年級數學學習一次函數及其圖像，我們假 定秘密是一個數s，把秘密作為圖2中點P的縱 坐標，直線10作為縱軸(y軸)，選擇合適的橫 軸(x軸)，隨機選擇數1( 乂 0)構造一次函數 f(x)=s+a1x，其圖像對應于圖2中直線I。隨機選 擇3個不為0的自變量X1, X2, X3，計算f(X1), f(

11、x2), ffe)，把對應的 3 個點 A1(xfX1), A2(X2fx2), A3(X3,fx3)分發給3個參與者。恢復秘密的時候, 可以按照圖2的方式恢復，也可以利用初中一年 級數學學習二元一次方程的求解過程恢復，詳細 如下：假設其中兩個參與者提供了 A1, A2的坐標, 可以構造方程組，( 1 1 ,其中s,a1f (x2) = s + 1*2是未知的，可以利用初中一年級數學學習二元一 次方程求解上述方程組，得出秘密s的值。圖4利用直角坐標系中的直線構造的秘密分割方案還可以把圖4所示的(2,3)門限密碼分割 方案利用初中三年級數學學習二次函數推廣 到(3,5)門限密碼分割方案，詳見圖5

12、。我們假 定秘密是一個數s,點P和坐標系的選擇同圖 4,隨機選擇兩個不為0的數0死，構造二次 函數f(x)=s+a1x+a2x2,其圖像如圖5曲線l,隨 機選擇5個不為0的自變量X1,X2,X3,X4,X5 ,計 算f Xj, f X2) ffe), f X4) ffe),把對應的5個點 A1(X1,f(X1),A2(X2,f(X2), A3(X3,f(X3),A4(X4,f(X4),A5(X5,f 任)分發給5個參與者。恢復秘密的時候，類似 于圖4的第二種方式，詳細如下：假設其中兩個參與者提供了 A1,A2,A5的坐標， f( *1)=s+a 1x1+a2 *2f( x2)=s+a1x2+a2 x2,其中可以構造方程組f( x5)=s+a1x5+a2 x2 s,ai,a2是未知的，我們可以利用初中一年級數學 學習三元一次方程求解上述方程組，得出秘密s 可以構造方程組圖5利用直角坐標系中的二次函數構造的秘密分割方案在大學里面學習了計算方