1、易錯(cuò)點(diǎn)14 立體幾何中的角易錯(cuò)點(diǎn)1：異面直線所成的角1.求異面直線所成角的思路是：通過(guò)平移把空間兩異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的相交直線，進(jìn)而利用平面幾何知識(shí)求解，整個(gè)求解過(guò)程可概括為：一找二證三求。2.求異面直線所成角的步驟：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置斬點(diǎn)。求相交直線所成的角，通常是在相應(yīng)的三角形中進(jìn)行計(jì)算。因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍是090，所以在三角形中求的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角。3.“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見(jiàn)的方法，通過(guò)補(bǔ)形，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來(lái)處理，利用“補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之

2、一。4.利用向量，設(shè)而不找，對(duì)于規(guī)則幾何體中求異面直線所成的角也是常用的方法之一。易錯(cuò)點(diǎn)2：直線與平面所成的角1.傳統(tǒng)幾何方法：轉(zhuǎn)化為求斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角，通過(guò)直角三角形求解。利用三面角定理（即最小角定理）求。2.向量方法：設(shè)為平面的法向量，直線與平面所成的角為，則易錯(cuò)點(diǎn)3：二面角用向量求二面角大小的基本步驟1.建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)與所需向量的坐標(biāo)；2.求出平面的法向量，平面的法向量3.進(jìn)行向量運(yùn)算求出法向量的夾角；4.通過(guò)圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或鈍角，得出問(wèn)題的結(jié)果：題組一：異面直線所成的角1（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文理）試題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所

3、成的角為（ ）ABCD【答案】D【解析】如圖，連接，因?yàn)椋曰蚱溲a(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫妫裕郑云矫妫裕O(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，所以.故選：D2.(2018全國(guó)卷)在長(zhǎng)方體中，則異面直線與所成角的余弦值為ABC D【答案】C【解析】解法一 如圖，補(bǔ)上一相同的長(zhǎng)方體，連接，易知，則為異面直線與所成角因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，所以，在中，由余弦定理，得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選C解法二 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由條件可知，所以，則由向量夾角公式，得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選C3(2017新課標(biāo))已知直三棱柱 QUOTE 中，則異

4、面直線與所成角的余弦值為( )A B C D【答案】C【解析】如圖所示，把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，異面直線與所成角為,，選C4.（2015浙江）如圖，三棱錐中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的余弦值是 【答案】【解析】如圖連接，取的中點(diǎn)，連接，則則異面直線，所成的角為，由題意可知，又，則題組二：直線與平面所成的角5. 【2021年浙江卷】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）在中，由余弦定理可得，所以，由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，而與相交，所以平面，因?yàn)椋裕≈悬c(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐

5、標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系, 則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為6.（2020北京卷）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)（）求直線與平面所成角的正弦值【解析】（）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，則.因此，直線與平面所成角的正弦值為.7.（2020年全國(guó)2卷）如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1MN

6、，且平面A1AMNEB1C1F；（2）設(shè)O為A1B1C1的中心，若AO平面EB1C1F，且AOAB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【解析】（1）分別為，的中點(diǎn)，,又,在中，為中點(diǎn)，則,又側(cè)面為矩形，,由，平面,平面,又，且平面，平面，平面,又平面，且平面平面, ,又平面,平面,平面,平面平面,（2）連接,平面，平面平面,根據(jù)三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面,故：四邊形是平行四邊形,設(shè)邊長(zhǎng)是(),可得：，,為的中心，且邊長(zhǎng)為,故：,解得：,在截取，故,且,四邊形是平行四邊形，,由（1）平面,故為與平面所成角,在，根據(jù)勾股定理可得：,直線與平面所成角的正弦值：.8.（2020年新

7、全國(guó)1山東）如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD底面ABCD設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l（1）證明：l平面PDC；（2）已知PDAD1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值【解析】（1）證明： 在正方形中，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫矫嫫矫妫裕驗(yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)樗云矫妫唬?）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋瑒t有，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以

8、直線與平面所成角的正弦值的最大值為.題組三：二面角9. 【2021年乙卷】如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點(diǎn)，且（1）求；（2）求二面角的正弦值【解析】（1）平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、，則，則，解得，故；（2）設(shè)平面法向量為，則，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，所以，因此，二面角的正弦值為.10. 【2021年甲卷】已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn) （1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?【解析】因?yàn)槿庵侵比庵缘酌妫砸驗(yàn)椋裕?/p>

9、，所以平面所以?xún)蓛纱怪币詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所以，由題設(shè)（）（1）因?yàn)椋裕裕?）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋裕戳睿瑒t因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋O(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為所以，此時(shí)11.（2020全國(guó)1卷）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值【解析】（1）略；（2）過(guò)O作BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫妫設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由

10、，得，令，得，所以故，設(shè)二面角的大小為，則.12.（2020全國(guó)3卷）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，求二面角的正弦值【解析】（1）在棱上取點(diǎn)，使得，連接、，在長(zhǎng)方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，同理可證四邊形為平行四邊形，且，且，則四邊形為平行四邊形，因此，點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)平面的法向量為，由，得取，得，則，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，得，則，設(shè)二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為1如圖在直三棱柱中，為等腰直角三角形，且，則異面直線與所成角的余弦值為

11、（ ）ABCD【答案】B【解析】將直三棱柱補(bǔ)成如圖示的長(zhǎng)方體，則底面 為正方形，邊長(zhǎng)為1，連接 ,則,故 為所求角或其補(bǔ)角，連接,在中， ,故 ,故選：B.2如圖，圓錐的底面直徑，其側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，底面圓的弦， 則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A B C D【答案】C【解析】圓錐底面周長(zhǎng)為，又其側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，則圓錐母線長(zhǎng)直角三角形中，,，則分別取、的中點(diǎn)M、N、P，連接、又由O為中點(diǎn)，則，則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角.由，可知平面，則在中，,，則在中，則則異面直線與所成角的余弦值為故選：C3在長(zhǎng)方體中，和與底面所成的角分別為30和45，異面直線和所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】B

12、【解析】連接，則，所以為異面直線和所成角，因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，和與底面所成的角分別為30和45，所以，設(shè)，則，所以，在中，由余弦定理得，所以異面直線和所成角的余弦值為，故選：B4（多選題）已知正方體，P是棱的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（ ）A過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB，都相交B過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB，都平行C過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB，都垂直D過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB，所成角均為45【答案】AC【解析】選項(xiàng)A.過(guò)點(diǎn)P與直線AB相交的直線必在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P與直線相交的直線必在平面內(nèi)，故滿(mǎn)足條件的直線必為兩平面的交線，顯然兩平面有唯一交線，A正確；選項(xiàng)B.若存在一條直線

13、與，都平行，則，矛盾，B不正確；C選項(xiàng).因?yàn)椋魟t，若，則平面，顯然滿(mǎn)足條件的直線唯一，即，C正確；D選項(xiàng).取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連PE，PF，則，若l與直線，所成角為45，則l與PE，PF所成角為45，顯然的角平分線及其外角平分線均符合，D不正確.故選：AC5九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為“陽(yáng)馬”.在如圖所示的“陽(yáng)馬”中，側(cè)棱底面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若平面與平面所成的二面角為，求.【解析】(1)設(shè)，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，于是，即，又已知，而，所以平面.(2)由平面，

14、所以是平面的一個(gè)法向量；由（1）知，平面，所以是平面的一個(gè)法向量.若面與面所成二面角的大小為，則，解得.所以，故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，.6在矩形ABCD中，AB=2，AD=，E是DC中點(diǎn)，連接AE，將ADE沿AE折起，使得點(diǎn)D移動(dòng)至點(diǎn)P，滿(mǎn)足平面PAE平面ABCE.(1)求證：AEBP；(2)求二面角E-CP-B的余弦值.【解析】(1)證明：在矩形中，連接，記BD=AF=2AEFD,AEFB,AF=2FE 在四棱錐中，線段取點(diǎn)滿(mǎn)足AEOP,AEOB,OPOB=O,AE平面BOP.(2)如圖所示BC設(shè)平面的法向量為 設(shè)平面的法向量設(shè)二面角的大小為的余弦值為227如圖所示，在四棱錐中，底面

15、，是的中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值【解析】(1)證明：取中點(diǎn)，連接，如圖，則由中位線可知，又，故，而，四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面.(2)平面，故.在直角梯形中，.，.平面，平面，則，又底面，平面，則，由二面角的定義可知，即為二面角的平面角，又，由余弦定理，8已知三棱錐（如圖一）及其展開(kāi)圖（如圖二），四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于的正方形，和均為正三角形.(1)證明：平面平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱PA上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時(shí)，求點(diǎn)M到平面PBC的距離.【解析】(1)證明：設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，PO.由題意，得，.在中，O為AC的中點(diǎn)，在中，.又，AC，平面ABC，平面ABC，平面PAC，平面平面ABC.(2)連接，如圖，由（1）知，平面PAC，是直線BM與平面PAC所成的角，且，當(dāng)OM最短時(shí)，最大，即當(dāng)M是PA的中點(diǎn)時(shí)，直線BM與平面PAC所成的角最大，設(shè)點(diǎn)M到平面PBC的距離為h，由可得,因?yàn)镸是PA的中點(diǎn)，所以，即，即點(diǎn)M到平面PBC的距離為.9如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，平面，是的中點(diǎn)(1)證明：平面；(2)若，求直線