1、第三章 矩陣的初等變換與線性方程組1 矩 陣 的 初 等 變 換 二、消元法解線性方程組一、矩陣的初等變換1、定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:一、矩陣的初等變換 同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)2、定義2 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng) 稱為初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同逆變換逆變換逆變換等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)3、定義3 如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價(jià)，記作A B解用“回代”的方法求出解：小結(jié)：1上述解方程組的方法稱為消元法 2始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程

2、次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍（與相互替換）（以替換）（以替換）3上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(方程組 (1) 的增廣矩陣）的變換特點(diǎn)：（1）可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階 只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元都稱為行階梯形矩陣和矩陣4、特點(diǎn)：（1）是行階梯形矩陣（2）非零行的第一個(gè)

3、非零元為1非零首元1所在的列其他元素為0都稱為行最簡(jiǎn)形矩陣矩陣5、行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形例如，例1 將下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形，標(biāo)準(zhǔn)形2、三種初等矩陣?yán)? 以下矩陣是否初等矩陣?4、初等矩陣均可逆3、初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣.四、初等矩陣的應(yīng)用例4 定理1 設(shè) A 是一個(gè) m n 矩陣 , 對(duì) A 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣；對(duì) A 施行一次初等列變換 , 相當(dāng)于在 A 的右邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣.初等變換初等矩陣左乘：行變右乘：列變五、初等行變換求逆矩陣 解例5例6解2 矩 陣 的 秩一、矩陣秩的概念二、矩陣秩的求法三、矩陣

4、秩的一些結(jié)論一、矩陣秩的概念矩陣的秩顯然有：例1解例2解計(jì)算A的3階子式，例3解問(wèn)題：經(jīng)過(guò)初等變換矩陣的秩變嗎？二、矩陣秩的求法1、初等變換求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.2、例2 另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡(jiǎn)單！例4行初等變換則這個(gè)子式便是 A 的一個(gè)最高階非零子式.例5解分析：例6解：第二、三行元素成比例，所以，另解因?yàn)镽(A)=2，所以所有的三階子式都等于零。所以例7三、矩陣秩的一些結(jié)論9.例7 設(shè)A為n階矩陣，證明利用(A+E)-(A-E)=2E3 線 性 方 程 組 的 解一、線性方程組有解的判定條件二、線性方程

5、組的解法一、線性方程組有解的判定條件 線性方程組系數(shù)矩陣為線性方程組可記為：復(fù)習(xí)，引入m=n 時(shí), A 是 n 階方陣 , 若 |A| 0 , 則可用克拉默法則求唯一解，或用 A 的逆矩陣表示解 若 解唯一D =|A| 0； 解不唯一或無(wú)解，則D =|A| =0 若|A| =0，則有解時(shí)如何求解？2) 對(duì)一般的情況mn如何判定有沒(méi)有解? 有解時(shí)如何求解?例1 若某方程組經(jīng)同解變換化為顯然，有唯一解.例2 若某方程組經(jīng)同解變換化為顯然，無(wú)解.例3 解方程組解無(wú)解.例4 解方程組解為方程組的全部解. 增廣矩陣經(jīng) 行 初等變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣，該階梯形與方程組解的關(guān)系：行最簡(jiǎn)形矩陣中非零行的行數(shù)未知

6、量個(gè)數(shù)無(wú)窮多解該數(shù)不為零，無(wú)解行最簡(jiǎn)形矩陣中非零行的行數(shù)=未知量個(gè)數(shù)唯一解1. 非齊次線性方程組有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有無(wú)窮多解.bAx=無(wú)解bAx=()()BRAR例5 求解齊次線性方程組二、線性方程組的解法例6 求解齊次線性方程組例7 求解齊次線性方程組2. 齊次方程方程組例8 求解非齊次線性方程組故方程組無(wú)解例9 求解非齊次線性方程組例10 求解非齊次方程組的通解例11 設(shè)有線性方程組解其通解為這時(shí)又分兩種情形：另解:由于方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)可考慮用下面的方法:齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫(xiě)出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫(xiě)出其通解.求解線性方程組步驟:求非齊次線性方程組 練習(xí)：求齊次線性方程組 練習(xí)1： 討論a取何值時(shí)，方程組有唯一解？ 有無(wú)窮多解？無(wú)解？練習(xí)2：方程組何時(shí)有解， 并求其通解 三、推廣到矩陣方程定理7 矩陣方程AX=B有解充要條件是R(A)=R(A,B).定理8 設(shè)AB=C,則定理9 矩陣方程 只有零解的充分必要條件是R(A)=n.()()nBRAR=()()nBRAR=有無(wú)窮多解.bAx=