1、線 性 代 數 電子教案之四1第四講 逆矩陣與矩陣的分塊法主要內容可逆矩陣的概念、性質、矩陣可逆的充要條件，以及逆矩陣的求法；分塊矩陣及其運算規律.基本要求理解可逆矩陣的概念、性質，熟悉矩陣可逆的充要條件，會用伴隨矩陣求矩陣的逆陣；知道分塊矩陣及其運算規律；熟悉矩陣的行向量組和列向量組.2一、概念的引入第三節 逆矩陣給定一個從 到 線性變換系數矩陣記為且記則 可寫成問：如果線性變換 可逆，那么它的逆變換，從 到 的線性變換是什么？3假設從 到 的線性變換為線性變換 是線性變換 的逆變換，則有類似有即我們把這樣的 稱為矩陣 的逆矩陣.4二、逆矩陣的定義和記號定義說明此定義表明只有方陣才可能有逆陣

2、； 對于 階矩陣 ，如果有一個 階矩陣 ，使則稱矩陣 是可逆的，并把矩陣 稱為 的逆矩陣，簡稱逆陣.如果矩陣 是可逆的，那么它的逆矩陣唯一， 因此，我們把矩陣 的逆矩陣記作 ，即若 則證明5三、方陣可逆的條件定理1（必要條件）若矩陣 可逆，則證矩陣 可逆，即所以所以有 使 ，故定理2（充分條件）若 ，則矩陣 可逆，且其中 為矩陣 的伴隨陣.6證根據伴隨陣的性質，有當 時，有根據矩陣可逆的定義知，矩陣 可逆，且7說明這兩個定理給出了矩陣可逆的一個充要條件：矩陣 可逆定理2給出了計算逆矩陣的一個方法：1）計算2）計算3）寫出根據這個充要條件，可以將定義中的條件改進 為若則證明8四、例題例1 求二階

3、矩陣 的逆矩陣.解所以，當 時，有說明此例的結果應作為公式記住.9例2 求方陣 的逆陣.解析：這是一個求三階矩陣的逆矩陣的例子，要利用公式所以 存在，再計算 的余子式，1011121314得， 根據余子式和代數余子式的關系15所以說明利用這個公式求矩陣的逆矩陣，計算量較大, 很容易出錯， 為了減少出錯 ，先計算 ， 而不是直接計算 .驗證16五、逆矩陣的運算規律若 可逆，則 亦可逆，且若 可逆，數 ，則 亦可逆，且若 為同階矩陣且均可逆，則 亦可逆， 且若 可逆，則 亦可逆，且17六、矩陣方程和矩陣多項式的求法設 為可逆矩陣，左乘兩邊右乘兩邊左乘兩邊右乘兩邊1. 矩陣方程的求法18例3 設矩陣

4、 滿足其中矩陣解由得19由于得故 可逆，且于是， 用 左乘、右乘 的兩邊，得20 矩陣多項式也是線性代數的重要而基本的內容，雖然計算矩陣多項式比較繁， 但是如果矩陣比較特殊，則有一種特殊的計算法.2. 矩陣多項式的求法21當 時， 則有一般地，22例4 設求其中解所以 存在，因此由 得，于是23又所以再由得 的對角元24因此253. 方陣求冪問題方法基本方法：把 通過可逆陣 與對角陣 聯系起來，根據所給矩陣 ，找出 所滿足的關系式.從具體計算 等等，找出 的冪的規律.26例5 設求解這個結果應當作公式記住27求例6 設解2829例7 設為正整數，求解析：根據此題的特點，要找出 滿足的條件.所以

5、因此30七、小結逆矩陣的計算公式：實數的倒數與矩陣的逆陣的比較：實數集合階矩陣集合零是唯一一個沒有倒數的實數，因而它顯得怪異， 相似地，當 時，稱矩陣 為奇異矩陣，當 時，稱矩陣 為非奇異矩陣.31矩陣可逆的條件：可逆沒有矩陣的除法：其一，有許多矩陣沒有逆陣，其二， 不能確定是表示 ，還是表示 （ 為可逆的方陣）.32伴隨陣是一種很重要的矩陣， 的伴隨陣 繼承 了 的許多性質；伴隨陣的性質有 33一、分塊矩陣的概念第四節 矩陣分塊法 用一些橫線和豎線把矩陣分成若干小塊，這種“操作”稱為對矩陣進行分塊，每一個小塊稱為子塊；這樣處理矩陣的方法稱為分塊法； 矩陣分塊后，以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣

6、.說明分塊矩陣只是形式上的矩陣；分塊法的優越之處是：把大矩陣的運算化為小矩陣的運算.矩陣分塊后，能突出該矩陣的結構，從而可利 用它的特殊結構，使運算簡化.可為某些命題的證明提供方法.34例如得到4個子塊：以這些子塊為元素，于是，得到 的按照這種分法的分塊矩陣：這是一個形式上為 的分塊矩陣35對 還可以進行其它分法，如下面的兩種分法：36二、分塊矩陣的運算規則1. 分塊矩陣的加法設矩陣 與 為同型矩陣，采用相同的分法，有那么說明分塊矩陣的加法，采用相同分法，對應子塊相加.372. 分塊矩陣的數乘設 為數，對矩陣 分塊后，得分塊矩陣為那么說明分塊矩陣的數乘，數乘每一個子塊.383. 分塊矩陣的乘法

7、設 為 矩陣， 為 矩陣， 對 的列的分法與對 的行的分法相同，分塊成則的列數分別等于的行數， 那么39其中說明分塊矩陣的乘法，對左矩陣的列的分法與對右矩陣的行的分法相同，再按普通矩陣的乘法.40例8 設 求解分塊法：把 分塊成 41則42因此說明在計算兩個分塊乘積時，可以把子塊看作“數”；把4階矩陣的乘積化為2階矩陣的乘積，即把大矩 陣的運算化為小矩陣的運算.43例 設A為n階矩陣， 矩陣 ，（1）求證 為矩陣 A 的第j列；（2）若 ，求證： 。44 證 （1）將A按列分塊，設 為A的第j列，則（2）將A按列分塊，則于是45如此類推，可得464. 分塊矩陣的轉置設對矩陣 分塊后，得分塊矩陣

8、為那么說明分塊矩陣的轉置，把行寫成同序號的列，并且每個子塊轉置.475. 分塊對角陣設 為 階矩陣，可分塊成為也就是只有在對角線上有非零子塊，其余子塊都是零矩陣; 如果在對角線上的子塊都是方陣，那么這樣的分塊矩陣稱為分塊對角陣.說明對角陣是分塊對角陣的特殊情形，因此分塊對角陣有與對角陣相似的性質.48分塊對角陣的性質分塊對角陣的行列式分塊對角陣的逆：當 ，即 時，有分塊對角陣的冪：49特別注意例如設則50例9 設求解分塊法： 對 做如下形式的分塊后，得到分塊對角陣:51因此說明由此例可以看出，用分塊法把求3階矩陣的逆陣問 題化為求2階矩陣的逆陣問題，使計算簡便多了.此例顯示出，記住2階矩陣的逆

9、陣，是必要的.52例10 設求解分塊法： 對 做如下形式的分塊后，得到分塊對角陣:因此53由此歸納可得所以54三、幾種常見的分塊方法 在分塊矩陣的運算中，特別要注意分塊矩陣的乘法， 運算的可行性取決于兩個方面：左矩陣的列組數等于右矩陣的行組數；左矩陣子塊的列數等于右矩陣相應子塊的行數，在計算矩陣 與 相乘時，常見的分塊方法有：1. 對 按列分塊，同時對 作“最粗”的分塊55把 本身當作一個子塊說明 稱為矩陣 的列向量， 稱為 的列 向量組；矩陣與列向量組一一對應.應注意，若反過來，對 按列分塊，對 作“最 粗”的分塊，則 是無法 進行分塊矩陣的乘法.下標表示分塊矩陣的行塊數和列塊數，以下相同5

10、62. 對 按行分塊，同時對 作“最粗”的分塊把 本身當作一個子塊57說明 稱為矩陣 的行向量， 稱為 的 行向量組；矩陣與行向量組一一對應.列向量（列矩陣）常用小寫黑體字母 表示，或用希臘字母 表示.行向量（行矩陣）則用列向量的轉置表示. 如583. 對 按列分塊，同時對 作“最細”的分塊當 是對角陣時,常用這樣的分塊. 做“最細”的分塊,即為把每個元素作為一個子塊.說明此結論表明，以對角陣右乘 的結果是 的每一列乘以對角陣中與該列對應的對角元.594. 對 按行分塊，同時對 作“最細”的分塊說明此結論表明，以對角陣左乘 的結果是 的每一行乘以對角陣中與該行對應的對角元.當 是對角陣時,常用

11、這樣的分塊. 605. 對 按行分塊，同時對 按列分塊 是一個數說明 此結果進一步表明了矩陣相乘的定義.61證把 用列向量表示為 ，則因為所以例11 設證明62特別地，有而由和 為實數，得因此此題的結論對于復矩陣不成立63例12 線性方程組記則 稱為系數矩陣， 稱為未知數向量， 稱為常數項向量， 稱為增廣矩陣.或者64利用矩陣乘法，有對 按列分塊，對 作“最細”的分塊，有對 按行分塊，對 作“最粗”的分塊，有65此式相當于把方程組中每個方程寫成66說明(2)、(3)、(4)是線性方程組(1)的各種變形， (2)是 以向量 為未知元的方程，(2)的解稱為(1)的解向 量. 今后，我們將把它們混同使用，并都稱為線性 方程組或線性方程，而且解與解向量亦不加區分.67四、小結矩陣分塊法是矩陣運算的一種技巧.其好處有3點；把大矩陣的運算化為小矩陣的運算.能突出該矩陣的結構，從而可利用它的特殊結 構，使運算簡化.可為某些命題的證明提供方法.分塊矩陣的運算規則與普通矩陣的運算規則類似；常見的分塊法有：按列分塊、按行分塊、作“最 粗”分塊、作“最細”分塊；分塊法求矩陣的逆陣，常用的幾個