35 線性子空間的基和維數_第1頁
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1、5 線性子空間的基與維數基的定義、基的驗證可以表示所有向量的線性無關基的存在性、性質存在（無窮多）基之間的線性表示關系每一組基所含向量的個數相等（維數）維數和秩的概念9/14/20221基的概念且表示方式唯一, 定義 5.1. 設 W是 V的一個 (線性)子空間, 9/14/20222例題5.1證明:且表示方式唯一, 9/14/20223例題 5.2則W中元素可表示成下證表示方式唯一.9/14/20224關于基的說明基于上面的討論, 我們得到結論: 1) 個數足夠多.9/14/20225理論結果(1)proof定理 5.3. 設W 是 V上的一個非零子空間, 則 W 中有一組基.proof推論

2、 5.4 設 W 是 V 上的一個非零子空間, 則W 的所有基都含有相同數目的向量.proof9/14/20226維數，秩例 5.3 9/14/20227理論結果(2)proofproof9/14/20228例題 5.5證明: 由于V 的維數為 n, 只要證明向量組線性無關即可.以向量組的坐標為列的矩陣的行列式9/14/20229引理 5.2的證明證:令9/14/202210引理 5.2的證明(2)下證存在不全為零的使得考慮齊次線性方程組由rs可得上述齊次方程組有非零解.則有back9/14/202211定理 5.3的證明定理 5.3. 設W 是 V上的一個非零子空間, 則 W 中有一組基.證明:由于V中的線性無關向量組中向量的個數不超過n,于是back9/14/202212推論 5.4的證明推論 5.4 設 W 是 V 上的一個非零子空間, 則W 的所有基都含有相同數目的向量.證明：所以 r = s.back9/14/202213命題 5.5的證明證明:back9/14/202214命題5.6的證明證明：因

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