1、常系數非齊次線性方程解法第1頁，共11頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三提示 =Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)exQ(x)+2Q(x)+2Q(x)ex+pQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 設方程ypyqyPm(x)ex 特解形式為 下頁Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ()則得 Q(x)exQ(x)exqQ(x)ex y*py*qy* 第2頁，共11頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三提示 此時2pq0 要使()式成立 Q(x)應設為m次多項式 Qm(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm

2、(1)如果不是特征方程r2prq0的根 則 y*Qm(x)ex 下頁一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 設方程ypyqyPm(x)ex 特解形式為 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ()則得 第3頁，共11頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三提示 此時2pq0 但2p0 要使()式成立 Q(x)應設為m1次多項式 Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0 xm b1xm1 bm1xbm (2)如果是特征方程r2prq0的單根, 則y*xQm(x)ex 下頁 (1)如果不是特征方程r2prq0的根 則 y*Qm(x)ex 一、 f(x)Pm(x)ex 型

3、y*Q(x)ex 設方程ypyqyPm(x)ex 特解形式為 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ()則得 第4頁，共11頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三提示: 此時2pq0 2p0 要使()式成立 Q(x)應設為m2次多項式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm (3)如果是特征方程r2prq0的重根, 則y*x2Qm(x)ex 下頁 (2)如果是特征方程r2prq0的單根, 則y*xQm(x)ex (1)如果不是特征方程r2prq0的根 則 y*Qm(x)ex 一、 f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 設方程ypyq

4、yPm(x)ex 特解形式為 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ()則得 第5頁，共11頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三結論 二階常系數非齊次線性微分方程ypyqyPm(x)ex有形如y*xkQm(x)ex的特解 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式 而k按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2 下頁第6頁，共11頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三提示 因為f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齊次方程的特解應設為 y*b0 xb1 把它代入所給方程 得 例1 求微分方程y2y3y3x1的一個特解

5、 解 齊次方程y2y3y0的特征方程為r22r30 b0 xb12b0 xb13b0 xb13b0 x2b03b1 2b03b0 x3b1 3b0 x2b03b13x1 提示3b03 2b03b11 特解形式第7頁，共11頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齊次方程y5y6y0的特征方程為r25r 60 其根為r12 r23 提示齊次方程y5y6y0的通解為YC1e2xC2e3x 因為f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的單根 所以非齊次方程的特解應設為 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所給方程 得 2b0 x2b0b1x

6、提示2b01 2b0b10 特解形式第8頁，共11頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三首頁 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齊次方程y5y6y0的特征方程為r25r 60 其根為r12 r23 2b0 x2b0b1x 因此所給方程的通解為 因為f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的單根 所以非齊次方程的特解應設為 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所給方程 得特解形式第9頁，共11頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三 二階常系數非齊次線性微分方程 ypyqyexPl(x)cosxPn(x)sinx有形如 y*xkexR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式 mmaxl n 而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1 二、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型下頁 結論 第10頁，共11頁，2022年，5月20日，6點5分，星期三 解 結束特解形式 例3 求微分方程yyxcos2x的一個特解 因為f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinxxcos2x i2i不是特征方程的根 所以所給方程的特解應設為齊次方程yy0的特征