1、9 8 多元函數的極值及其求法授課次序 59 教學課題 教學重點 參考教材雙語教學教學基本指標9 7 方向導數與梯度教學方法當堂講授,輔以多媒體教學9 8 多元函數的極值及其求法方向導數與梯度教學難點方向導數與梯度的應用同濟高校編 高等數學 （第 6 版） 作業布置高等數學 標準化作業自編教材 高等數學習題課教程函數： function ；切線： tangent line ；切線方程：tangential equation ；法線： normal line ；切平面： tangent plane；法平面： normal plane ；極值： extreme values 1 懂得方向導數與梯度

2、的概念及其運算方法；課堂教學 目標2 懂得多元函數極值和條件極值的概念,把握多元函數極值存在的必要條件,3 明白二元函數極值存在的充分條件,會求二元函數的極值,4 會用拉格朗日乘數法求條件極值,5 會求簡潔多元函數的最大值和最小值,并會解決一些簡潔的應用問題；教學過程1方向導數與梯度（30min）；15min）；2多元函數極值的概念及多元函數極值存在的必要條件（3二元函數極值存在的充分條件（20min）4條件極值（ 25min）教學基本內容備注欄9 7 方向導數與梯度一、方向導數現在我們來爭論函數 z fx y在一點 P 沿某一方向的變化率問題設 l 是 xOy 平面上以 P0 x0 y0為始

3、點的一條射線 el cos cos 是與 l 同方向的單位向量 射線 l 的參數方程為 x x0 t cos y y0 t cos t 0設函數 z fx y在點 P0 x0 y0的某一鄰域 UP0內有定義 Px0 t cos y0 t cos 為 l 上另一點且 P UP0 假如函數增量 fx0 t cos y0 t cos fx0 y0與 P 到 P0 的距離 |PP0| t 的比值f x 0 t cos , y 0 t cos f x 0 , y 0 當 P 沿著 l 趨于 P0即 t t0 時的極限存在 就稱此極限為t函 數 fx y 在 點 P0 沿 方 向 l 的 方 向 導 數

4、記 作 f即l x 0y 0 f lim f x 0 t cos , y 0 t cos f x 0 , y 0 l x 0y 0 t 0 t從方向導數的定義可知 方向導數 f 就是函數 fx y在點 P0 x0 y0處沿方向 l 的變化率l x 0y 0 方向導數的運算定理假如函數 z fxy在點 P0 x0y0可微分那么函數在該點沿任一方向l 的方向導數都存在且有f x0y 0fxx 0,y0cosfyx 0,y0cosl其中 cos cos 是方向 l 的方向余弦y0tcosfyx0y0tcosot所以簡要證明設 x t cos y t cos 就fx0 tcosy 0 tcos fx0

5、y0 fxx0lim t 0fx 0tcos,y 0tcosfx 0 ,y 0fxx 0,y0cosfyx 0,y 0sint這就證明白方向導數的存在且其值為fx 0y0fxx0 ,y 0cosfyx 0,y 0cosl提示fx 0 x ,y 0yfx0,y0fxx 0 ,y 0 xfy x 0,y 0yo x 2y 2x t cos y t cos x 2y 2t沿 y 軸正向和負向的方向導數如何. 爭論函數 z f x y在點 P 沿 x 軸正向和負向提示沿 x 軸正向時cos cos0ff xl沿 x 軸負向時cos1 cos0fflx例 1 求函數 z xe 2y在點 P1 0沿從點

6、P1 0到點 Q21的方向的方向導數對于三元函數 fx y z來說 它在空間一點 P0 x0 y0 z0沿 el cos cos cos 的方向導數為 f lim f x 0 t cos , y 0 t cos , z 0 t cos f x 0 , y 0 , z 0 l x 0 , y 0 , z 0 t 0 t假如函數 fx y z在點 x0 y0 z0可微分 就函數在該點沿著方向 el cos cos cos 的方向導數為 ffxx0 y0 z0cos fyx0 y0 z0cos f zx0 y0 z0cosl x 0 , y 0 , z 0 例 2 求 fx y z xy yz zx

7、 在點 1 1 2 沿方向 l 的方向導數 其中 l 的方向角分別為 60 4560二 梯度設函數 z fx y在平面區域 D 內具有一階連續偏導數 就對于每一點 P0 x0 y0 D 都可確定一個向量 fxx0 y0i fyx0 y0j 這向量稱為函數 fx y在點 P0 x0 y0的梯度 記作 grad fx0 y0 即grad fx0 y0 fxx0 y0i fyx0 y0j梯度與方向導數假如函數 fx y在點 P0 x0 y0可微分el cos cos 是與方向 l 同方向的單位向量就fx 0y 0fx x 0,y 0cosfyx 0,y 0cos grad fx0 y0 ell| g

8、rad fx0 y0| cosgrad fx0 y0 el這一關系式說明白函數在一點的梯度與函數在這點的方向導數間關系 特殊 當向量 el 與 gradfx0 y0的夾角 0 即沿梯度方向時 方向導數 f 取得最大值 這個最大值就是梯度的模l x 0y 0 |grad fx0 y0| 這就是說 函數在一點的梯度是個向量 它的方向是函數在這點的方向導數取得最大值的方向 它的模就等于方向導數的最大值爭論 f 的最大值l結論 函數在某點的梯度是這樣一個向量 它的方向與取得最大方向導數的方向一樣 而它的模為方向導數的最大值我們知道 一般說來二元函數 z fx y在幾何上表示一個曲面 這曲面被平面 z

9、cc 是常數 所截得的曲線 L 的方程為 z f x , y 這條曲線 L 在 xOy 面上的投影是一條平面曲線 L* 它在z cxOy 平面上的方程為 fx y c 對于曲線 L*上的一切點 已給函數的函數值都是 c 所以我們稱平面曲線 L*為函數 z f x y的等值線如 f x f y 不同時為零 就等值線 fx y c 上任一點 P0 x0 y0處的一個單位法向量為nf x 2 x 0 , y 0 1f y 2 x 0 , y 0 f x x 0 , y 0 , f y x 0 , y 0 這說明梯度 grad fx0 y0的方向與等值線上這點的一個法線方向相同 而沿這個方向的方向導數

10、f 就等于 |grad fx0 y0|n 于是 grad f x 0 , y 0 fn n這一關系式說明白函數在一點的梯度與過這點的等值線、方向導數間的關系 這說是說 函數在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同 它的指向為從數值較低的等值線指向數值較高的等值線 梯度的模就等于函數在這個法線方向的方向導數梯度概念可以推廣到三元函數的情形 設函數 fx y z在空間區域 G 內具有一階連續偏導數就對于每一點 P0 x0 y0 z0 G 都可定出一個向量fxx0 y0 z0i fyx0 y0 z0j fzx0 y0 z0k這向量稱為函數fx y z在點 P0 x0 y0 z0的梯度記為 g

11、rad fx0 y0 z0即grad fx0 y0 z0 f xx0 y0 z0i fyx0 y0 z0j fzx0 y0 z0k結論三元函數的梯度也是這樣一個向量它的方向與取得最大方向導數的方向一樣而它的模為方向導數的最大值假如引進曲面 fx y z c 為函數的等量面的概念 就可得函數 fx y z在點 P0 x0 y0 z0的梯度的方向與過點 P0 的等量面 fx y z c 在這點的法線的一個方向相同 且從數值較低的等量面指向數值較高的等量面 而梯度的模等于函數在這個法線方向的方向導數例 3 求 gradx 2 1y 2 例 4 設 fx y z x 2 y 2 z 2求 grad f

12、1 1 2數量場與向量場 假如對于空間區域 G 內的任一點 M 都有一個確定的數量 fM 就稱在這空間區域 G 內確定了一個數量場 例如溫度場、密度場等 一個數量場可用一個數量函數 fM來確定 假如與點 M 相對應的是一個向量 FM 就稱在這空間區域 G 內確定了一個向量場 例如力場、速度場等 一個向量場可用一個向量函數 F M來確定 而 F M PMi QMj RMk 其中 PM QM RM是點 M 的數量函數利用場的概念 我們可以說向量函數 grad fM確定了一個向量場梯度場 它是由數量場fM產生的 通常稱函數 fM為這個向量場的勢 而這個向量場又稱為勢場 必需留意 任意一個向量場不肯定

13、是勢場 由于它不肯定是某個數量函數的梯度場例 5 試求數量場 m 所產生的梯度場 其中常數 m0 r x 2 y 2 z 2 為原點 O 與點 Mx yrz間的距離解x mr r m2 rx mxr 3 同理y mr myr 3 z mr mzr 3從而 grad mr r m2 r x ir y j zr k 記 e r xr ir y j zr k 它是與 OM 同方向的單位向量 就grad mr r m2 e r上式右端在力學上可說明為 位于原點 O 而質量為 m 質點對位于點 M 而質量為 l 的質點的引力 這引力的大小與兩質點的質量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比 這引力的方向由

14、點 M 指向原點 因此數量場 m 的勢場即梯度場 grad m 稱為引力場 而函數 m 稱為引力勢r r r9 8 多元函數的極值及其求法一、多元函數的極值及最大值、最小值定義 設函數 z fx y在點 x0 y0的某個鄰域內有定義 假如對于該鄰域內任何異于 x0 y0的點x y 都有 fx yfx0 y0 就稱函數在點 x0 y0有極大值 或微小值 fx0 y0極大值、微小值統稱為極值 使函數取得極值的點稱為極值點例 1 函數 z 3x24y2 在點 0 0處有微小值當x y 0 0時 z 0而當 x y 0 0時 z 0因此 z 0 是函數的微小值例 2 函數zx2y 2在點 0 0處有極

15、大值因此 z 0 是函數的極大值當x y 0 0時 z 0而當 x y 0 0時 z 0例 3 函數 z xy 在點 0 0處既不取得極大值也不取得微小值由于在點 0 0處的函數值為零而在點 0 0的任一鄰域內總有使函數值為正的點也有使函數值為負的點以上關于二元函數的極值概念可推廣到n 元函數設 n 元函數 u fP在點 P0 的某一鄰域內有定義假如對于該鄰域內任何異于P0 的點 P都有fPfP 0就稱函數 fP在點 P0 有極大值 或微小值 fP0定理 1必要條件 設函數 z fx y在點 x0 y0具有偏導數且在點 x0 y0處有極值就有 f xx0y0 0 fyx0 y0 0從幾何上看這

16、時假如曲面z fx y在點 x0 y0 z0處有切平面就切平面z z0 fxx0 y0 x x0 f yx0 y0y y0 成為平行于 xOy 坐標面的平面 z z0類似地可推得 假如三元函數 u f x y z在點 x0 y0 z0具有偏導數 就它在點 x0 y0 z0具有極值的必要條件為 fxx0 y0 z0 0 f yx 0 y0 z0 0 fzx0 y0 z0 0仿照一元函數 凡是能使 fxx y 0 fyx y 0 同時成立的點 x0 y0稱為函數 z fx y的駐點從定理 1 可知 具有偏導數的函數的極值點必定是駐點 但函數的駐點不肯定是極值點 例如 函數 z xy 在點 0 0處

17、的兩個偏導數都是零 函數在 0 0既不取得極大值也不取得微小值定理 2充分條件 設函數 z fx y在點 x0 y0的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數又 f xx0 y0 0 fyx0 y0 0 令 fxxx0 y0 A fxyx0 y0 B fyyx0 y0 C就 f x y在x0 y0處是否取得極值的條件如下1 AC B20 時具有極值 且當 A0 時有微小值2 AC B20 就函數具有極值 且當 fxx0時有微小值極值的求法 第一步 解方程組 fxx y 0 fyx y 0 求得一切實數解 即可得一切駐點其次步 對于每一個駐點 x0 y0 求出二階偏導數的值 A、B 和 C第三步 定

18、出 AC B 2 的符號 按定理 2 的結論判定 fx0 y0是否是極值、 是極大值 仍是微小值例 4 求函數 fx y x 3 y 3 3x 2 3y 2 9x 的極值應留意的問題 不是駐點也可能是極值點例如 函數 z x 2 y 2 在點 0 0處有極大值 但0 0不是函數的駐點 因此 在考慮函數的極值問題時 除了考慮函數的駐點外 假如有偏導數不存在的點 那么對這些點也應當考慮最大值和最小值問題 假如 fx y在有界閉區域 D 上連續 就 fx y在 D 上必定能取得最大值和最小值 這種使函數取得最大值或最小值的點既可能在 D 的內部 也可能在 D 的邊界上 我們假定 函數在 D 上連續、

19、在 D 內可微分且只有有限個駐點 這時假如函數在 D 的內部取得最大值最小值 那么這個最大值 最小值 也是函數的極大值 微小值 因此 求最大值和最小值的一般方法是 將函數 fx y在 D 內的全部駐點處的函數值及在 D 的邊界上的最大值和最小值相互比較其中最大的就是最大值 最小的就是最小值 在通常遇到的實際問題中 假如依據問題的性質知道函數 fx y的最大值 最小值 肯定在 D 的內部取得 而函數在 D 內只有一個駐點 那么可以肯定該駐點處的函數值就是函數 fx y在 D 上的最大值 最小值 例 5 某廠要用鐵板做成一個體積為8m3 的有蓋長方體水箱問當長、寬、高各取多少時才能使用料最省從這個

20、例子仍可看出 在體積肯定的長方體中 以立方體的表面積為最小例 6 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？二、條件極值 拉格朗日乘數法對自變量有附加條件的極值稱為條件極值 例如 求表面積為 a2 而體積為最大的長方體的體積問題 設長方體的三棱的長為 x y z 就體積 V xyz 又因假定表面積為 a2 所以自變量 x y z仍必需滿意附加條件 2xy yz xz a2這個問題就是求函數 V xyz 在條件 2xy yz xz a 2 下的最大值問題 這是一個條件極值問題對于有些實際問題 可以把條件極值問題化為無條件極值問題

21、例如上述問題由條件 2 xy yz xz a 2 解得 z a 2 2 xy 于是得 V xy a 2 2 xy 2 x y 2 x y 只需求 V 的無條件極值問題在許多情形下將條件極值化為無條件極值并不簡潔需要另一種求條件極值的專用方法這就是拉格朗日乘數法現在我們來尋求函數 z fx y在條件 x y 0 下取得極值的必要條件假如函數 z fx y在x0 y0取得所求的極值 那么有 x0 y0 0假定在 x0 y0的某一鄰域內 fx y與 x y均有連續的一階偏導數 而 yx0 y0 0 由隱函數存在定理 由方程 x y 0 確定一個連續且具有連續導數的函數 y x 將其代入目標函數 z f x y得一元函數 z f x x于是 x x0 是一元函數 z f x x的極值點 由取得極值的必要條件 有dzdx x x 0 f x x 0 , y 0 f y x 0 , y 0 dydx x x 0 0 即 f x x 0 , y 0 f y x 0 , y 0 xy xx 00 , yy 00 0從而函數 z fx y在條件