1、建筑力學第1頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三 3.3.1 梁的概念平面彎曲的梁： （1）梁具有縱向對稱軸面； （2）外力（包括荷載和反力）均作用在縱向軸面內，與桿軸垂直； （3）桿軸線在縱向軸面內彎成一條平面曲線。一、平面彎曲概念P梁：以彎曲為主的構件。工程中一般為等截面直梁。第2頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三撓曲線 xyqPMVAVBABqPMlABxy縱向對稱面第3頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三二、橫截面上的內力 梁橫截面上的內力，主要為彎矩和剪力。 梁橫截面上的內力，可以用截面法由靜力平衡求出。QaCmmABPl

2、/2l/2VAVB 如圖： 求支座反力：VA=VB=P/2 作 m-m 截面，取左半段為隔離體，為保持平衡，必有：P/2CmmQM y=0 -Q + VA=0 剪力 Q = VA =P/2 MC=0 M VA a = 0 彎矩 M = VA a = Pa/2右半段亦然。CmmP/2PM第4頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三三、剪力、彎矩正負號（規定）剪力彎矩QdxQQQQQdxMMMMMM第5頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三四、求指定截面上的剪力和彎矩運用截面法，利用平衡條件，建立平衡方程。規律： 任一截面上的剪力=截面以左（或右）梁上外力（包括反

3、力）的代數和。 任一截面上的彎矩=截面以左（或右）梁上外力（包括反力）對該截面形心力矩的代數和。 求解時可先假設該截面剪力和彎矩的方向（一般設為正向），然后用平衡方程求出該截面上的剪力和彎矩。 若得出的剪力和彎矩為正值，說明假設方向正確。如果得出的結果為負，則說明假設方向錯誤。第6頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三例1：求梁跨中截面C的剪力和彎矩。6mABCDEVAVBP=12kNq=4kN/mm=6kNm3m2m2mm=6kNmq=4kN/m7kNQCMCP=12kNq=4kN/m29kNQCMC解：（1）求支座反力MB=0 -VA6-6+463-122=0 VA =7

4、kN （）MA=0 VB6-6-463-128=0 VB =29kN （）（2）求截面C的內力左段： y =0 -Qc - 43+7=0 QC = - 5kN MC=0 MC +431.5- 73 - 6=0 MC = 9kN m (下側受拉） 也可用右半段第7頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三 通過以上例題可以找到計算梁內力（彎矩、剪力）的一些規律。 1、梁內任一截面上剪力 Q 的大小，等于該截面左邊梁段（或右邊梁段）上的與截面平行各力（包括外力、反力、內力）的代數和。 2、梁內任一截面上彎矩 M 的大小，等于該截面左邊梁段（或右邊梁段）上所有各力（包括外力、反力、內力

5、）對這個截面形心的力矩代數和。第8頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三補充：剪力 ：左段為隔離體，此段梁上所有向上的外力使該截面產生正號剪力。 此段梁上所有向下的外力使該截面產生負號剪力。 右段為隔離體，此段梁上所有向下的外力使該截面產生正號剪力。 此段梁上所有向上的外力使該截面產生負號剪力。 彎矩 ： 無論取左邊梁段或右邊梁段為隔離體，則梁段上所有向上的力使該截面產生正號彎矩，所有向下的力使該截面產生負號彎矩。 截面左邊的力對截面形心的力矩如為順時針，引起正彎矩。 截面右邊的力對截面形心的力矩為如逆時針，引起正彎矩。剪力：左上右下彎距：左順右逆第9頁，共24頁，2022年

6、，5月20日，8點24分，星期三例2：求梁跨中截面C的剪力和彎矩。6mABCDEVAVBP=12kNq=4kN/mm=6kNm3m2m2m如：從截面 C 左邊外力計算QC =7- 43 = - 5kN MC =6+73 - 431.5= 9kN m如：從截面 C 右邊外力計算QC =12- 29 + 43 = - 5kN MC =293 - 125 - 431.5= 9kN m第10頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三梁的內力圖剪力圖和彎矩圖一、梁的剪力圖和彎矩圖 梁上各截面上的剪力（彎矩）值用圖形表示出來，統稱為內力圖。剪力圖： 表示梁上各截面剪力變化規律的圖形。彎矩圖：

7、 表示梁上各截面彎矩變化規律的圖形。二、剪力方程和彎矩方程 梁上各個截面上的剪力和彎矩是不相同的，它們隨截面位置的變化而變化，可表示為沿梁長 x 的函數。 剪力方程 Q = Q（x） 彎矩方程 M = M（x）第11頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三三、列方程繪制梁的剪力圖和彎矩圖基本做法： 根據Q=Q（x），M=M（x）用數學作函數圖形的方法進行繪制。 在一直角坐標系中，按照選定的比例尺，以梁軸為 x 坐標，剪力（彎矩）為縱坐標，繪Q= Q（x），M= M（x）的圖形。剪力圖： 正號剪力畫在 x 軸的上方； 負號剪力畫在 x 軸的下方。彎矩圖： 正號彎矩畫在 x 軸的下

8、方； 負號彎矩畫在 x 軸的上方。 第12頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三例3 懸臂梁AB，A端受集中力P，作Q、M圖。PABxlxxPQ(x)M(x)xQPQ圖xMPlM圖解：1、列Q =Q（x），M=M（x）方程 A 點作為坐標原點 Q（x）= - P （0 xl） M（x）= - Px （0 xl）2、畫剪力圖3、畫彎矩圖4、危險截面在固定端附近 最大值： Qmax = P Mmax = Pl第13頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三xqxlABxQ(x)M(x)qxQqlQ圖xMql2 /2例4 懸臂梁AB，受均布荷載作用，作Q、M圖。解：1

9、、列Q=Q（x），M=M（x）方程 A 點作為坐標原點 Q（x）= - qx （0 xl） M（x）= - qx2 /2 （0 xl）2、畫剪力圖3、畫彎矩圖4、危險截面在固定端附近 最大值： Qmax = ql Mmax = ql2/2M圖第14頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三xQql/2ql/2Q圖例5 簡支梁AB，受均布荷載作用，作Q、M圖。ABxlxqVAVBxQ(x)M(x)qVA2、列Q=Q（x），M=M（x）方程 A 點作為坐標原點Q（x）= VA qx = ql/2 qx（0 xl）M（x）= VA x qx2 /2=qlx/2 qx2 /2 （0 xl

10、）3、畫剪力圖4、畫彎矩圖5、剪力危險截面在支座附近， 彎矩危險截面在跨中 最大值： Qmax = ql/2 Mmax = ql2/8解：1、求反力 VA = VB = ql/2xMql2/8M圖3ql2/32第15頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三 A 點作為坐標原點，P作用點處，剪力、彎矩方程將不同，分兩段寫方程。xQPb/lPa/lQ圖xMPab/lM圖xVAQ(x)M(x)11VAxPQ(x)M(x)22例6 簡支梁AB，跨中受集中荷載作用，作Q、M圖。 2、列Q=Q（x），M=M（x）方程3、畫剪力圖4、畫彎矩圖5、彎矩危險截面在集中力作用點 附近 最大值： M

11、max = Pab/l1、求反力 VA = Pb/l VB =Pa/l解：Q（x）= VA = Pb/l （0 xa）M（x）= VA x = Pbx/l （0 xa） AC段ABxlxabPVAVB1122CCB段Q（x）= VA - P= -VB = - Pa/l （axl）M（x）= -VA x +M =VB(l-x)=Pa(l-x)x/l （axl） 第16頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三xQM/lQ圖Mb/lxMMa/lM圖xVAQ(x)M(x)11VAxQ(x)M(x)M22例 7 簡支梁AB，受集中力偶作用，作Q、M圖。2、列Q= Q(x)，M=M (x)

12、方程 A 點作為坐標原點，P作用點處，剪力、彎矩方程將不同，分兩段寫方程。3、畫剪力圖4、畫彎矩圖解：Q (x) = -VA = - M/l （0 xa）M (x) = -VA x = - Mx/l （0 xa） AC段CB段Q (x) = - VA = - M/l （axl）M (x) = -VA x +M = - M x / l +M （axl） 1122ABxlxabVAVBMC1、求反力 VA = M/l ( ) VB =M/l ( )第17頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三 3.3.3 剪力、彎矩和分布荷載集度之間的關系一、荷載集度、剪力和彎矩之間的微分關系AB

13、xlxabPVAVByMq(x)dx取小微段dx ，q、Q、M 均為正。dxq(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)Q(x)M(x)O由平衡： y = 0 Q(x) Q(x)+dQ(x)+q(x)dx=0由此： dQ(x)/dx=q(x)MO=0 M(x)+dM(x)-M(x)-Q(x)dx-q(x)(dx)2/2=0略去二階微量 dM(x)/dx=Q(x)由上述公式可得： d2M(x)/dx2 = q(x) 以上公式幾何意義：剪力圖上某點處切線斜率等于該點處荷載集度的大小。彎矩圖上某點的切線斜率等于該點處剪力的大小。第18頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三二、根

14、據內力圖的規律作梁的剪力圖和彎矩圖1、內力圖的形狀是直線 （水平、斜）還是曲線。2、彎矩圖有極值的截面位置3、彎矩圖曲線的凹向4、內力圖的突變。5、梁端鉸支座處的內力特點。6、固定端截面內力特點。7、自由端鄰近截面內力特點第19頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三剪力圖與彎矩圖的形狀特征 （據上面的各種關系推出）梁上情 況內力圖剪力圖彎矩圖無外力區段 常數(水平線)直線變化(平直線或斜直線)均布荷載作用區段斜直線(自左至右)拋物線(凸出方向向同荷載指向)零 極 值集中荷載作用處有突變(突變值為P)有尖角(尖角突出方向同荷載指向)集中力偶作用點處無變化有突變(突變值為力偶大小

15、)鉸處為 零第20頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三注: () 在鉸結點處一側截面上如無集中力偶作用，M。 在鉸結處一側截面上如有集中力偶作用，則該截面彎矩此外力偶值。 () 自由端處如無集中力偶作用，則該端彎矩為零。 自由端處如有集中力偶作用，則該端彎矩此外力偶值。第21頁，共24頁，2022年，5月20日，8點24分，星期三14416113.680M圖 (kN m)VAVBAB2mP=20kNM=160kNmq=20kN/m8mCD2m72 886020Q圖 ( kN )x=5.6m例8：用內力圖規律作梁的剪力圖和彎矩圖解：1、求支座反力2、繪剪力圖3、繪彎矩圖 控制截面：集中力（包括反力）作用點左右；分布荷載起、終點，自由端等等。本題：A右，C左，B左，B右，D 控制截面：集中力（包括反力）作用截面；分布荷載起、終點；集中力偶作用截面