1、- -如何由遞推公式求通項公式高中數學遞推數列通項公式的求解是高考的熱點之一，是一類考查思維能力的題型，要求考 生進行嚴格的邏輯推理。找到數列的通項公式，重點是遞推的思想：從一般到特殊，從特殊 到一般；化歸轉換思想，通過適當的變形，轉化成等差數列或等比數列，達到化陌生為熟悉 的目的。下面就遞推數列求通項的基本類型作一個歸納，以供參考。an 1類型一：an 1 an f(n)或ang(n)分析:利用迭加或迭乘方法。即:an(an an 1) (an 1 an 2)+(a2 ai) aian或an an 1an an 1類型一：an 1 an f(n)或ang(n)分析:利用迭加或迭乘方法。即:a

2、n(an an 1) (an 1 an 2)+(a2 ai) aian或an an 1an 1 an 2a2a1a1例1.(1)已知數列an滿足ai1一，an21an 2an n ,求數列 an的通項公式。a1(2)已知數列1,sn(n 1)an,求數列an的通項公式。an 1 an解：(1)由題知:n(n 1)an (an an 1)(anan2)+(a 2-a1)a1 Q2Sn2sn 11 n)(n12“I(1 1)1 2(n 1)annan 1(n2)兩式相減得:2an(n 1)an nan 1(n 2)an即：an即：an 12)anan anan an 1nan 1an 2n 1a2

3、a1a1211n類型二：an 1 pan q(其中 p,q為常數，pq(p 1) 0)an 1 t p(an t),其中 t=-q分析：把原遞推公式轉為：1 p ,再利用換元法轉化為等比數列求解。例2.已知數列an中，a1 1，an 1 2an 3,求an的通項公式。解：由an 1 2an 3可轉化為：an 1 3 2(an 3)令 bn an 3,貝Ub1=a1+3=4fibn+1=2bnbn是以b1=4為首項，公比為q=2的等比數列bn 4 2n 12n 1n 1 c即 an 23類型三：an 1 pan f(n)(其中p為常數)分析：在此只研究兩種較為簡單的情況，即f(x)是多項式或指數

4、哥的形式。(1) f(x)是多項式時轉為an 1 A(n 1) B p(an An B)，再利用換元法轉為等比數 列n 1 f(x)是指數哥：an 1 pan rq (pqr 0)an 1 anr n 1 n 若p q時則轉化為q q ,再利用換元法轉化為等差數列an 1 tqn 1 p(an tqn),其中 tqr若p q時則轉化為p q例3. (1)設數列an中，a1 1,an 1 3an 2n 1,求an的通項公式。(2)設數列an中，a1 1，an 1 3an 2n,求an的通項公式。解：(1)設 an 1 A(n 1) B 3(an An B)an 1 3an 2An 2B A與原式

5、比較系數得:2A 與原式比較系數得:2A 2A 12B A 1B 1即 an i (n 1) 1 3(an n 1)令 bn an n 1,貝U bn+1=3bn且b1=a+1+1=3bn是b1=3為首項，公比q=3的等比數列bn 3 3n 1 3n即：an 3n n 1設 an 1 12n 1 3(an t2n)n展開后得：an 1 3an 2對比彳導:t 1an 1 2n 1 3(an 2n)令 bn an 2n，貝Ubn 1 3bn,且bg 21 3bn是b1=3為首項，公比q=3的等比數列bn 3 3n 1 3n即：an 3n 2n類型四：a類型四：an 1panr(p 0,an 0)

6、分析：這種類型一般是等式兩邊取對數后得:lga分析：這種類型一般是等式兩邊取對數后得:lgan 1 rlgan lg p,再采用類型二進行求解。例4.設數列a例4.設數列an中,a1 1,an 11 an2(aa0)an -,求a 的通項公式。12an 1 an解：由 a ,兩邊取對數得1t lg- alg an 1 2lg an lg 一 at lg- a設lgan 1 t 2(1g an t)展開后與上式對比得: TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 11原式可轉化為lg an+1+lg2(lg anlg )aabn令，,1bn令(1g an 1g -)bn 1a ,則L1bn，且 b1=1g L1bn，且 b1=1g abn是b1=1g -為首項，公比q=2的等比數列 an1 11nlibn 2 1g 1g an 1g 2 1ga ,即aa1 2n 1也即an af (n)an an 1類型五：g(n)an h(n)分析：這種類型一般是等式兩邊取倒數后再換元可轉化為類型an 1ana1 1,an an例5.已知數列 滿足：3an 1 1 ,求的通項公式。13an 1 1 13 解：原式