1、分類號(hào)0152 編號(hào) 2013010616畢業(yè)論文目群同態(tài)與逆同態(tài)的幾點(diǎn)探究學(xué)院專業(yè)姓名班級(jí)學(xué)號(hào)研究類型指導(dǎo)教師提交日期數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)理論研究2013.5.15本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導(dǎo) 教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所 取得的成果。學(xué)位 論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成 果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等均已明確注明出處。除文中已 經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，不包含任何其他個(gè)人或集 體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的科研成果。本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。論文作者簽名：年 月 日論文指導(dǎo)教師簽名：群同態(tài)與逆同態(tài)的幾點(diǎn)探究摘 要：本文主要寫(xiě)了兩方面的內(nèi)容，一方面是利用群同態(tài)基本定理的證明 思路證明某些群的同

2、構(gòu)，另一方面本文從新的角度即用逆同態(tài)來(lái)研究群中元素 之間的關(guān)系，證明了逆同態(tài)的幾個(gè)相關(guān)性質(zhì)及定理，探討了逆同態(tài)與群同態(tài)的 內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別關(guān)鍵詞：群同態(tài)；同構(gòu)；群同態(tài)基本定理；逆同態(tài)分類號(hào)：0152Several inquiries of the homomorphismand anti-homomorphicLI Qiaolia n(School of Mathematics and Statistics Tianshui Normal University，Tian Shui，741000, Gansu)Abstract： In this paper，we talked about two

3、questions.The first one ，some examples have bee n proved with the fun dame ntal homomorphism theorem of group.The second one， several properties and theorems were given of the anti-homomorphism.As the same time，the relationship and differences between an ti-homomorphism and homomorphism in group wer

4、e discussed.Key Words: homomorphism； isomorphism； the fun dame ntal homomorphism theorem of group； anti-homomorphism. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 0引言1 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 1預(yù)備知識(shí)3 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 2主要結(jié)果4 HYPERLINK l bookmark16 o

5、 Current Document 2.1群同態(tài)基本定理的應(yīng)用 4 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 2.2 逆同態(tài)與群同態(tài)的相似性質(zhì) 5 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 2.3逆同態(tài)和群同態(tài)的聯(lián)系與區(qū)別 7 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 參考文獻(xiàn)10數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2013數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2013屆畢業(yè)論文 引言什么是群同態(tài)和逆同態(tài)設(shè)想有兩位學(xué)生，一位中國(guó)學(xué)生，一位英國(guó)學(xué)生在一起做計(jì)算，當(dāng)中國(guó)學(xué)生數(shù)“一, 二，三，四 ”時(shí)，英國(guó)學(xué)生卻說(shuō)“ o

6、ne , two , three , four ”。雖然他們說(shuō)的 是不同的語(yǔ)言，但我們知道，他們所做的是同一件事一一數(shù)數(shù)。同樣，當(dāng)中國(guó)學(xué)生在紙 上寫(xiě)下“一加一等于二”，英國(guó)學(xué)生在紙上寫(xiě)下“ one plus one equals two ”時(shí)，雖然 他們用的是不同的文字，但我們知道，他們也正在做同一件事情一一進(jìn)行數(shù)的加法，并 且計(jì)算的是同一算式，我們?yōu)槭裁粗浪麄冏龅氖峭患履兀磕鞘且驗(yàn)椋覀冊(cè)谥形?與英文之間建立了一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如說(shuō)“一”對(duì)應(yīng)“ one ”，“二”對(duì)應(yīng)“ two ”， “三”對(duì)應(yīng)“ three”，“四”對(duì)應(yīng)“ four”，以及“加”對(duì)應(yīng)“ plus”，“等于”對(duì)應(yīng) “

7、 equal ”等等，而且每一對(duì)應(yīng)中的兩個(gè)詞表示的是同一概念。根據(jù)這個(gè)對(duì)應(yīng)我們可以 把中文的句子統(tǒng)一的翻譯為英文中的句子，不僅如此，我們還可以借助一種語(yǔ)言來(lái)完成 原來(lái)要求在另一種語(yǔ)言下完成的工作，如此，一旦英國(guó)學(xué)生完成了算式“two plus threeequals five ”中國(guó)學(xué)生不用計(jì)算就可以知道“二加三等于五”，這就是說(shuō)，上述對(duì)應(yīng)關(guān) 系不僅建立了中文的詞與英文的詞之間的聯(lián)系，而且當(dāng)我們用詞組合成句子時(shí)，這種聯(lián) 系依然保持不變。兩者的區(qū)別也僅僅在于對(duì)同一概念使用了不同的術(shù)語(yǔ)和記號(hào)，類似的 情況也出現(xiàn)在群論中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣一些群，他們表面上看起來(lái)是那樣不同，他們的 元素不同，運(yùn)算也不同

8、。但我們卻可以在他們的元素之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。而 且這種對(duì)應(yīng)關(guān)系還保持元素間的運(yùn)算關(guān)系。由于群的性質(zhì)是由他的元素和元素之間的運(yùn) 算所唯一確定的，這樣，借助于這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們就可以把一個(gè)群中所證明的 結(jié)論翻譯為另一個(gè)群中對(duì)應(yīng)的結(jié)論，而不必在這個(gè)群中另證一遍。換言之，這兩個(gè)群有 完全相同的結(jié)構(gòu)，所不同的僅僅是表述他們的元素及運(yùn)算它們的術(shù)語(yǔ)和記號(hào)，這樣做的 意義當(dāng)然是十分明顯的。怎樣認(rèn)識(shí)群同態(tài)和逆同態(tài)認(rèn)識(shí)一件事物，通常有三種途徑：一是有局部到整體，而是由整體到局部，三是從 一事物同類事物的聯(lián)系與區(qū)別中去了解事物，近世代數(shù)中也常常采用這樣的研究方法， 而其中的同態(tài)與同構(gòu)則采用第三種方法

9、。在數(shù)學(xué)上，數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系往往是通過(guò)某 種特殊的映射來(lái)反映的，這些映射不但建立了兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的元素之間的聯(lián)系，而且也 要能反映出這兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的某種結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，比如，線性代數(shù)中的線性映射就有這 一特點(diǎn)，它既建立了兩個(gè)線性空間的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)也保持了雙方的某些運(yùn) 算性質(zhì)，群同構(gòu)的概念也具有這一特性。但是，群同構(gòu)的概念對(duì)于討論群之間的關(guān)系來(lái) 說(shuō)條件太強(qiáng)了，它首先要求群與群元素之間有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。因此我們可以說(shuō)群 同態(tài)是群同構(gòu)的自然推廣，通過(guò)群同態(tài)我們可了解一個(gè)群，商群以及它的同態(tài)象之間的 密切聯(lián)系，而這種聯(lián)系，無(wú)論對(duì)于群論本身，還是對(duì)于群的應(yīng)用，都是極為重要的。 群同態(tài)的和逆

10、同態(tài)意義如果說(shuō)兩國(guó)之間有政治關(guān)系，經(jīng)濟(jì)關(guān)系等等許多關(guān)系，則對(duì)于兩個(gè)群之間就有同態(tài)關(guān) 系.單同態(tài)意味著甲群與乙群的一個(gè)子群一樣 （同構(gòu)）,滿同態(tài)說(shuō)明乙群就是甲群的商群 非單非滿的同態(tài)，則說(shuō)甲群的一個(gè)商群與乙群的一個(gè)商群是一樣的，這樣的同態(tài)關(guān)系是群的僅有關(guān)系而子群和商群是這種關(guān)系僅涉及的兩種語(yǔ)言。眾所周知，群論在數(shù)論中起著何等重要的作用。群的同態(tài)與同構(gòu)都是研究群與群之 間關(guān)系的重要手段。同構(gòu)映射是群之間保持運(yùn)算的映射，存在同構(gòu)映射的兩個(gè)群可以看 成同一個(gè)群，因?yàn)樗鼈冇邢嗤娜航Y(jié)構(gòu)。代數(shù)中最基本與最重要的課題就是搞清楚各種 代數(shù)體系在同構(gòu)意義下的分類。而同態(tài)映射只要求保持運(yùn)算，顯然它比同構(gòu)映射更靈活

11、，它能研究?jī)蓚€(gè)不同構(gòu)的群 之間的聯(lián)系。群同態(tài)基本定理告訴我們，一定找得到G的一個(gè)不變子群N，使得G的性質(zhì)和商群G/N的完全一樣，此定理是群論中最重要的定理之一，它是研究群與群之 間關(guān)系的有利工具。在處理一些同構(gòu)問(wèn)題時(shí)，我們也常常反過(guò)用這個(gè)定理，也就是說(shuō)先 構(gòu)造出滿同態(tài)。保持運(yùn)算的映射既然能研究?jī)蓚€(gè)代數(shù)體系之間的一些關(guān)系，那么對(duì)于復(fù) 雜一些的代數(shù)體系我們就可以用一些簡(jiǎn)單的去研究它們。另外，群的逆同構(gòu)和逆同態(tài)也 是研究群的重要手段。本文從新的角度，即用逆同態(tài)來(lái)研究群中元素之間的關(guān)系，同時(shí)探討了逆同態(tài)與同 態(tài)的聯(lián)系與區(qū)別。1預(yù)備知識(shí)定義1.1設(shè)G, 和0/是兩個(gè)群，f是G到G的一個(gè)映射，如果對(duì)任意a

12、, b G ,若f滿足f (a叱)=f(a)pf(b )，則稱f是群的同態(tài)映射.(homomorphism ;若同態(tài) 映射f是滿射，則稱f是群的同態(tài)滿射(或滿同態(tài))(epimorphism).若f是一一映射(即 雙射)，貝U f是群的同構(gòu)映射，此時(shí)也稱群 G與群G同構(gòu)，記做G三G.群G到G的同態(tài)映射與同構(gòu)映射，分別稱為群 G的自同態(tài)與自同構(gòu).定義1.2設(shè)G是一個(gè)群，N是G的一個(gè)子群，如果對(duì)于？ a G , aN二Na，即aNa= N , 則稱N是G的一個(gè)正規(guī)子群(或不變子群)，表示為N G.其中aN =an | n N 稱為 由a決定的N的左陪集；N a=na | n N 稱為由a決定的N的右

13、陪集.當(dāng)aN = N a時(shí)，簡(jiǎn) 稱為N的陪集.定義1.3 群G的正規(guī)子群N的全體陪集對(duì)陪集的普通乘法做成一個(gè)群，稱為G關(guān)于N的商群，記為G/N .定義1.4 設(shè)f是群G到G的一個(gè)同態(tài)映射，G的單位元在f之下的所有逆象做成的 集合，叫做f的核，記為Ker f .定義1.5 設(shè)G是一個(gè)群，設(shè)是G到G的一個(gè)映射，若滿足下列兩個(gè)條件：(e) = e,e是G的單位元；即e在 下保持不變(xy)二(y) (x),? x, y G ；則稱 是群G上的逆同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱逆同態(tài).若 是群G上的逆同態(tài)映射，且是雙射，則稱是群G上的逆同構(gòu)映射，簡(jiǎn)稱逆同構(gòu).定理1.6設(shè)f是G到G的一個(gè)同態(tài)映射，e與e分別是G與G的單位

14、元，a G ,則1 f將G的單位元映到G的單位元，即f e=e ;2 f a= f a ；n3設(shè)n為任一正整數(shù)，則f an = f a ;(4)如果階有限，則f(a)I a ;定理1.7設(shè)G的一個(gè)非空子集做成子群的充要條件是：1 a ba b H2a h=甘 h命題1.8如果f: G f G為群的滿同態(tài)，Ker f =N ,則介于N與G之間的子群H (即) 恰與G的子群H 一一對(duì)應(yīng)，即f H =H, H = fJ H ；而且H是G的正規(guī)子群當(dāng)且僅 當(dāng)H是G的正規(guī)子群.命題1.9設(shè)G與G是群，f是G到G的同態(tài)映射，貝U同態(tài)映射的核Kerf是G的正規(guī)子群定理1.10 (群同態(tài)基本定理)設(shè)G與G為群

15、，f是G到G的滿同態(tài)，貝U,G /Ker f 三 G2主要結(jié)果2.1群同態(tài)基本定理的應(yīng)用基于同態(tài)基本定理的證明思路，提供了證明兩個(gè)商群同構(gòu)的思路和方法：證明一個(gè)商群G/ N與另一個(gè)群G的同構(gòu)，只需要構(gòu)造群G/ N到G的同態(tài)滿射f ,并證明N = Ker f，再利用同態(tài)基本定理即得 G/ N二G .下面應(yīng)用這一思想方法證明群中相關(guān)結(jié)論.例 1 設(shè)G =(a,b) | a,b R, a 工 0是對(duì)乘法(a,b)(c, d) = (ac,ad + b)構(gòu)成的群，K = (1, b) | b R，則 G / K 三 R*.證明：對(duì)？ a,b G ,設(shè)f : G R*a, b ：-； a顯然f是滿射；對(duì)

16、? (a,b),(c,d) G, f (ab)(cd) = f (ac,ad + b) = ac = f (a,b)f (c,d)，因此f是滿同態(tài)，由同態(tài)基本定理知 G / kerf二R* ,又Kerf = (a,b) | f (a,b) =1 = (1,b) | b R = K,故G / K 二R*.例2設(shè)圓群(S,*),其中C|” R , *為數(shù)的乘法，則R / Z三S.證明：由于(Z,+)是(R,+)的正規(guī)子群.(“ +”為數(shù)的普通加法)設(shè)f : R Sxt顯然f是滿射；對(duì)？ X, y R, f (x + y) = e，)= e2曲 e2血=f (x) f ( y),所以f是滿同態(tài)；當(dāng)

17、xw Z 時(shí) e271 =cos2兀x + i sin 2兀x =1故 kerf=fe 二f1 二Z;由群同態(tài)基本定理知G/ ker f = G / Z 二 S .2.2逆同態(tài)與群同態(tài)的相似性質(zhì)定理2.2.1 設(shè)G是群，是G到G的逆同態(tài),e是G的單位元，-aG ,則有1 a -1= a -1 .(2 W(an )M(a )n .(3 )代(a )|a|.證明：(1)對(duì)任意a G,有 e = aaA= a，卜ia = e故有 a4 = a 4.該定理說(shuō)明逆同態(tài)映射 將原像的逆元作用為像的逆元.(2)當(dāng) n =0時(shí)a0 二 e = e = a 門(mén)；當(dāng) n . 0時(shí) 営an =ana = aFan，

18、n_l 丄na a = a ;當(dāng) n v0 時(shí)(a )=f(a，) )=(a)=(a ) ) =(a).rr(3) a =r則艸(a) =(a )=(e)=e；因此怛(a *a .定理2.2.2設(shè)G是群，是G到G的逆同態(tài)，e是G的單位元,記N = J ex =e,x G則n是G的正規(guī)子群.我們知道在同態(tài)中，G的同態(tài)核是G的正規(guī)子集，由此定理知逆同態(tài)核也具有同樣的性質(zhì).定理2.2.3設(shè)G是群，是G到G的逆同態(tài),則 G是G的子群.證明：對(duì)-x, y 6有 x , y 盧G ;又 y x = xy 盧G ,且產(chǎn)iG j x r X rG ;所以 G是G的子群.定理2.2.4設(shè)是群G到G上的逆同態(tài),且

19、是單射,當(dāng)且僅當(dāng)J e證明：必要性是G到G上的逆同態(tài)映射所以 2 e = e4 = e =e又 是單射 G中元素的原像惟一，因此 4 ei=1e1充分性若(e)=e設(shè)在 之下a_ i ：a ,b_ :b當(dāng)a = b時(shí)，必有” a卜b :因若 a i ： b ,則由于 ab_ 二 b1a =、b a 二e.故ab =e,a =b,矛盾！因此，是單射.2.3逆同態(tài)和群同態(tài)的聯(lián)系與區(qū)別定理2.3.1 設(shè)是群G到G的一個(gè)逆同態(tài)，e是G的單位元,則有-2n N，是G上的證明：同態(tài)映射. 當(dāng) k =1 時(shí)，、2 e = e二 e = e;xy j ： r r xy jj ： r r yj X j j ：x

20、 - y，- x, y G ;2滿足群上同態(tài)的定義，即s為G上的同態(tài)映射.假設(shè)當(dāng)k=2 n-2時(shí)，2心是G上的同態(tài)映射.下證當(dāng)k=2n時(shí)，結(jié)論也成立2n e 二 2-2n- e = 2 e =e;2n xy 二 2 .22 沁 二 2 2心 y 2心 x = 2n x 如 y , 一 x, y G .定理2.3.2設(shè)是群G到G的一個(gè)逆同態(tài),e是G的單位元,則有 2n*( N + )是G上證明：的逆同態(tài)映射.2n 1 e：2n e： e產(chǎn)e;2n 1 xy 二2n xy 二2n x 2n y = 2n 1 y 2n 1 x ,_x, y G ;2n 1滿足群上逆同態(tài)的定義，即J 2n 1為G上的

21、逆同態(tài)映射.定理2.3.3 設(shè) ,都是群G到G的逆同態(tài),e是G的單位元,則有.和 都是證明：G上的同態(tài)映射.- e. e e 二 e;Wx, yG(甘珥 x)y = 9 * xy =仲(yX= 創(chuàng)戲 x* T； y綜上由群同態(tài)定義可知，是G上的同態(tài)映射.同理，也是G上的同態(tài)映射.定理2.3.4 若G是有限交換群,則G上的同態(tài)也是逆同態(tài)證明：設(shè) 是群G上的同態(tài)映射，e是G的單位元.(e)= e, xy = yx = y x ,由逆同態(tài)定義可知是G到G的逆同態(tài).定理2.3.5有限循環(huán)群上的自同態(tài)與逆同態(tài)等價(jià)，自同構(gòu)與逆同構(gòu)等價(jià)因?yàn)橛邢扪h(huán)群必為有限交換群i 例1設(shè)G=(a)是n階循環(huán)群,Z是正整數(shù)

22、,定義 z：aJ (az),i=0,1，n1.證明：(1)z是G上的自同態(tài)且為逆同態(tài).(2)z是G上的自同構(gòu)且為逆同構(gòu),當(dāng)且僅當(dāng)n,z =1.證明：(1) z是G到G上的映射.e = a =1 是 G 中單位元.z = az = 1 二 e;i亠jz aaj 二 z ai J = azazia可二 z ai z aJ ;所以z是自同態(tài)，又G為有限循環(huán)群，故z也為逆同態(tài).(2)充分性 z a，= z aJ u z ai aJ 二 e二 (aiJ ) = aT)=e= n(i -j)z若 n, z =1,則 n|：；ij .從而得到 a“ = e即 a =a、可知z是單射，有限集上的單射必為雙射，

23、因此z為自同構(gòu).又z為逆同態(tài)映射故z逆同構(gòu).廣 n、 nzz門(mén) 一必要性 若蚊為逆同構(gòu)，(n,z)=t.z at=(a y =e.k丿n由于 克(e)=e且q具有單射性，因此at =e,從而得到n n,即(n,z)=1. 1定理2.3.6 設(shè) 是群G上的同態(tài)映射，定義-二xx ，-xG，則二是群G上的逆1同態(tài)，反之，若是群G上的逆同態(tài)，定義.x - x ，-xG則工是群G上的同態(tài).證明：設(shè) 是群G上的同態(tài)，則有：11 e=e;4 xy = xy 4 = _ x y 4 = y x 4 = y 二 x , _ x, y G;故4為逆同態(tài).設(shè)是群G上的逆同態(tài)，e = e e exy = xy 二

24、y x = x y =二 x y ,-x,y G.由以上的定理可知，群的同態(tài)與逆同態(tài)可以建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，群的逆同態(tài)研究可以歸于 群同態(tài)的研究.|究/IP協(xié)議棧的實(shí)現(xiàn)圖像采集與處理技術(shù)的研究!統(tǒng)制系統(tǒng)研究與開(kāi)發(fā)勺實(shí)現(xiàn)控制面板的研制系統(tǒng)!|究/IP協(xié)議棧的實(shí)現(xiàn)圖像采集與處理技術(shù)的研究!統(tǒng)制系統(tǒng)研究與開(kāi)發(fā)勺實(shí)現(xiàn)控制面板的研制系統(tǒng)!I用設(shè)計(jì)研究的氣實(shí)踐研究 文性位系統(tǒng)研的系統(tǒng)研究Uft究 隔表面污染測(cè)量?jī)x的研制參考文獻(xiàn)1任禎琴，張良，郭繼東群上的逆同態(tài)伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2009.2牛鳳文，近世代數(shù)基礎(chǔ)M長(zhǎng)春:吉林大學(xué)出版社，2002.86-92.3胡冠章，應(yīng)用近世代數(shù)M北京:清華大學(xué)出版社,1999.102-103.4牛鳳文，抽象代數(shù)M武昌: