1、十年十年高考+大數據預測 I）知，（1）當時，函數在上單調遞增，因為 ，所以 時，符合題意；（2）當時，由，得，所以 函數在上單調遞增，又，所以時，符合題意；（3）當時，由，可得，所以時，函數單調遞減；因為，所以時，不合題意；（4）當時，設，因為時，所以在上單調遞增因此當時，即，可得，當時，此時，不合題意，綜上所述，的取值范圍是考點33 利用導數研究函數零點問題1（2020全國文20）已知函數（1）當時，討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍【答案】（1）減區間為，增區間為；（2）【思路導引】（1）將代入函數解析式，對函數求導，分別令導數大于零和小于零，求得函數的單調增區間和減區間；（

2、2）若有兩個零點，即有兩個解，將其轉化為有兩個解，令，求導研究函數圖像的走向，從而求得結果【解析】（1）當時，令，解得，令，解得，的減區間為，增區間為（2）若有兩個零點，即有兩個解，從方程可知，不成立，即有兩個解令，則有，令，解得，令，解得或，函數在和上單調遞減，在上單調遞增，且當時，而時，當時，當有兩個解時，有，滿足條件的的取值范圍是：2（2020全國文20）已知函數（1）討論的單調性：（2）若有三個零點，求的取值范圍【答案】（1）詳見解析；(2)【思路導引】（1），對分和兩種情況討論即可；（2）有三個零點，由（1）知，且，解不等式組得到的范圍，再利用零點存在性定理加以說明即可【解析】（1）

3、由題，當時，恒成立，在上單調遞增；當時，令，得，令，得，令，得或，在上單調遞減，在，上單調遞增（2）由（1）知，有三個零點，則，且，即，解得，當時，且，在上有唯一一個零點，同理，在上有唯一一個零點，又在上有唯一一個零點，有三個零點綜上可知的取值范圍為3（2017全國卷3，理11）已知函數有唯一零點，則a=（ ）ABCD1【答案】C【解析】函數的零點滿足，設，則，當時，；當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增，當時，函數取得最小值，為設，當時，函數取得最小值，為，若，函數與函數沒有交點；若，當時，函數和有一個交點，即，解得故選C4（2014卷1理11）已知函數=，若存在唯一的零點，且0，則的取值

4、范圍為（ ）（2，+） （-，-2） （1，+） （-，-1）【答案】B【解析1】由已知，令，得或，當時，；且，有小于零的零點，不符合題意當時，要使有唯一的零點且0，只需，即，選B【解析2】由已知，=有唯一的正零點，等價于有唯一的正零根，令，則問題又等價于有唯一的正零根，即與有唯一的交點且交點在在y軸右側記，由，要使有唯一的正零根，只需，選B5（2019全國理20）已知函數，為的導數證明：（1）在區間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點【解析】（1）設，則，當時，單調遞減，而，可得在有唯一零點，設為則當時，；當時，所以在單調遞增，在單調遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點（2）

5、的定義域為（i）當時，由（1）知，在單調遞增，而，所以當時，故在單調遞減，又，從而是在的唯一零點（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，而，所以存在，使得，且當時，；當時，故在單調遞增，在單調遞減又，所以當時，從而 在沒有零點（iii）當時，所以在單調遞減而，所以在有唯一零點（iv）當時，所以0，從而在沒有零點綜上，有且僅有2個零點6（2019全國理20）已知函數（1）討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；（2）設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=ln x 在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線的切線【解析】（1）f（x）的定義域為因為，所以在（0，1），（1

6、，+）單調遞增因為f（e）=，所以f（x）在（1，+）有唯一零點x1，即f（x1）=0又，故f（x）在（0，1）有唯一零點綜上，f（x）有且僅有兩個零點（2）因為，故點B（lnx0，）在曲線y=ex上由題設知，即，故直線AB的斜率曲線y=ex在點處切線的斜率是，曲線在點處切線的斜率也是，所以曲線在點處的切線也是曲線y=ex的切線7（2018全國卷2理21）已知函數（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求【解析】（1）當時，等價于，設函數，則，當時，所以在單調遞減，而，故當時，即（2）設函數，在只有一個零點當且僅當在只有一個零點當時，沒有零點；當時，當時，；當時，在單調遞減，在單調遞增

7、故是在的最小值若，即，在沒有零點；若，即，在只有一個零點；若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當時，所以故在有一個零點，因此在有兩個零點綜上，在只有一個零點時，8（2018全國卷2文21）已知函數（1）若，求的單調區間；（2）證明：只有一個零點【解析】（1）當時，令解得或當時，；當時，故在，單調遞增，在單調遞減（2）由于，所以等價于設=，則，僅當時，所以在單調遞增，故至多有一個零點，從而至多有一個零點又，故有一個零點綜上，只有一個零點9（2017全國課標1理21）已知函數（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求a的取值范圍【解析】（1）的定義域為，（）若，則，所以在單調遞減（）若，則

8、由得當時，；當時，所以在單調遞減，在單調遞增（2）（）若，由（1）知，至多有一個零點（）若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為當時，由于，故只有一個零點；當時，由于，即，故沒有零點；當時，即又，故在有一個零點設正整數滿足，則由于，因此在有一個零點綜上，的取值范圍為10(2016年全國理21) 已知函數 QUOTE 有兩個零點（I）求a的取值范圍；（II）設，是 QUOTE 的兩個零點，證明：【解析】（）（i）設，則，只有一個零點（ii）設，則當時，；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增又，取滿足且，則，故存在兩個零點（iii）設，由得或若，則，故當時，因此在上單調遞增又當時，所以不存在兩個

9、零點若，則，故當時，；當時，因此在上單調遞減，在上單調遞增又當時，所以不存在兩個零點綜上，的取值范圍為（）不妨設，由（）知，又在上單調遞減，所以等價于，即由于，而，所以設，則所以當時，而，故當時，從而，故11（2016年全國I文21）已知函數(I)討論的單調性；(II)若有兩個零點，求的取值范圍【解析】(1)由，得當時，有極小值因為的極值點是的零點所以，又，故因為有極值，故有實根，從而，即時，故在R上是增函數，沒有極值；時，有兩個相異的實根，列表如下+00+極大值極小值故的極值點是從而，因此，定義域為（2）由（1）知，設，則當時，所以在上單調遞增因為，所以，故，即因此（3）由（1）知，的極值點

10、是，且，從而記，所有極值之和為，因為的極值為，所以，因為，于是在上單調遞減因為，于是，故因此的取值范圍為12（2015新課標理21）已知函數， （）當為何值時，軸為曲線的切線；（）用 表示，中的最小值，設函數，討論零點的個數【解析】（）設曲線與軸相切于點，則，即，解得因此，當時，軸是曲線的切線（）當時，從而，在無零點當=1時，若，則，故=1是的零點；若，則，故=1不是的零點當時，所以只需考慮在的零點個數()若或，則在無零點，故在單調，而，所以當時，在有一個零點；當0時，在無零點()若，則在（0，）單調遞減，在（，1）單調遞增，故當=時，取的最小值，最小值為=若0，即0，在無零點若=0，即，則在

11、有唯一零點；若0，即，由于，所以當時，在有兩個零點；當時，在有一個零點綜上，當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點13（2014全國卷2文21）已知函數，曲線在點(0，2)處的切線與軸交點的橫坐標為（）求；（）證明：當時，曲線與直線只有一個交點【解析】（ QUOTE ）=，=，曲線在點（0，2）處的切線方程為由題設知，=-2，=1（）由（）知，設=，=，由題設可知0，當0時，0 ，在（-，0）上單調遞增，=0， =4在（- QUOTE ，0）上有唯一零點；當0時，設=，則=，=，當02時，0，則在（0，2）上單調遞減，當2時，0，則在（2，+）上單調遞增，故當=2時，取極小值=0，當0時，=0，在（0，）上無零點，綜上所述，在（-，+）上有唯一零點，即曲線與直線只有一個交點14（2019全國文21）已知函數證明：（1）存在唯一的極值點；（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數【解析】（1）的定義域為（0，+）因為單調遞增，單調遞減，所以單調遞增，又，故存在唯一，使得又當時，單調遞減；當時，單調遞增因此，存在唯一的極值點（2）由（1）知，又，所以在內存在唯一根由得又，故是在的唯一根綜上，有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數15(