1、任意四邊形,梯形與相像模型模型三 蝴蝶模型（任意四邊形模型）任意四邊形中的比例關系 “蝴蝶定理” ：DA S1 S4 S2 O S3 B CS1 : S2 S4 : S3 或者S1 S3 S2 S4 AO : OC S1 S2 : S4 S3 蝴蝶定理為我們供應明白決不規章四邊形的面積問題的一個途徑；通過構造模型,一方面可以使不規章四邊形的面積關系與四邊形內的三角形相聯系；另一方面,也可以得到與面積對應的對角線的比例關系；【例1】 小數報競賽活動試題 如圖,某公園的外輪廓是四邊形ABCD,被對角線AC,BD分成四個部分,AOB面積為1平方千米,BOC面積為2平方千米,COD的面積 為3 平方千

2、米,公園由陸地面積是692 平方千米和人工湖組成,求人工湖的面積是多少平方千米？CB 312平方千米,公園四邊形ABCD 的面積是1231.5 平O A D【分析】依據蝴蝶定理求得SAOD 方千米,所以人工湖的面積是平方千米【鞏固】如圖,四邊形被兩條對角線分成4 個三角形,其中三個三角形的面積已知,求：三角形BGC 的面積；AG: GC ？A 213DG B C【解析】依據蝴蝶定理,S BGC 12 3 ,那么S BGC 6 ；依據蝴蝶定理,AG : GC 12 : 3 6 1: 3 ？ 可編輯word, 供參考版！第 1 頁,共 5 頁【例2】四邊形ABCD 的對角線AC 與BD 交于點O

3、如以下圖 ；假如三角形ABD 的面積等于三角形BCD 的面積的1 ,且AO 2 ,DO 3 ,那么CO 的長度是DO 的長度的倍；3A DA DO HO G B CB C【解析】在此題中,四邊形ABCD 為任意四邊形,對于這種”不良四邊形” ,無外乎兩種處理方法：利用已知條件,向已有模型靠攏,從而快速解決；通過畫幫忙線來改造不良四邊形；看到題目中給出條件S ABD : S BCD 1:3 ,這可以向模型一蝴蝶定理靠攏,于是得出一種解法；又觀看題目中給出的已知條件是面積的關系,轉化為邊的關系,可以得到其次種解法,但是其次種解法需要一個中介來改造這個”不良四邊形” ,于是可以作AH 垂直BD 于H

4、,CG 垂直BD 于G ,面積比轉化為高之比；再應用結論：三角形高相同,就面積之比等于底邊之比,得出結果；請老師留意比較兩種解法,使同學體會到蝴蝶定理的優勢,從而主觀上愿意把握并使用蝴蝶定懂得決問題；解法一：AO : OC S ABD : S BDC 1:3 ,2,8 ,OC 236 ,OC : OD 6:3 2:1 解法二：作AH BD 于H ,CG BD 于G S ABD 11 3S BCD ,AH CG ,3S AOD 11S DOC ,3AO CO ,3OC 236 ,OC : OD 6:3 2:1 【例3】如圖,平行四邊形ABCD 的對角線交于O 點, CEF , OEF , ODF

5、 , BOE 的面積依次是4,4 和6；求：求 OCF 的面積；求 GCE 的面積；A DO G F B E C【解析】依據題意可知, BCD 的面積為244616 ,那么 BCO 和CDO 的面積都是16 2所以 OCF 的面積為844；由于 BCO 的面積 8, BOE 的面積為6,所以 OCE 的面積為為 依據蝴蝶定理,EG : FG S COE : S COF 2 : 4 1: 2 ,所以 S GCE : S GCF 862 ,1: 2 ,EG : FG 那么S GCE 1S CEF 122 3123可編輯word, 供參考版！第 2 頁,共 5 頁【例4】圖中的四邊形土地的總面積是5

6、2 公頃,兩條對角線把它分成了4 個小三角形,其中2 個小三角形的面積分別是6 公頃和7 公頃；那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？D6 C6 E 77A B 【解析】在ABE ,CDE 中有 AEB CED ,所以 ABE ,CDE 的面積比為 AE EB : CE DE ；同理有 ADE ,BCE 的面積比為 AE DE : BE EC ；所以有S ABE S CDE = S ADE S BCE ,也就是說在全部凸四邊形中,連接頂點得到 2 條對角線,有圖形分成上,下,左,右 4 個部分,有：上,下部分的面積之積等于左右部分的面積之積；即S ABE 6 = S ADE 7 ,所以有 AB

7、E ADE 的面積7 6 與比為7 : 6 ,S ABE = 39 21 公頃,S ADE = 39 18 公頃；6 7 67明顯,最大的三角形的面積為 21 公頃；【例5】 2022 年清華附中入學測試題 如圖相鄰兩個格點間的距離是 1 ,就圖中陰影三角形的面積為；A A D DB B O C C【解析】連接 AD ,CD ,BC ；就可依據格點面積公式,可以得到 ABC 的面積為：1 41 2 ,ACD 的面積為：3 31,2 24ABD 的面積為：2 1 3 2所以BO : OD S ABC : S ACD 2 4 : 7 ,所以S ABO 4S ABD 43 12 4 7 11 11

8、【鞏固】如圖,每個小方格的邊長都是 E DA B 1,求三角形ABC 的面積；C【解析】由于BD : CE 2:5 ,且BD CE ,所以DA : AC 2:5 ,S ABC 5,S DBC 5210 2577【例6】 2022 年人大附中考題 如圖,邊長為1 的正方形ABCD 中,BE 2EC ,CF FD ,求三角形AEG 的面積可編輯word, 供參考版！第 3 頁,共 5 頁A E G DA E G DF F B B CC【解析】連接EF 的面積為2 平方厘米,求長由于BE 2EC ,CF FD ,所以S DEF 1 21 31 S ABCD 1 S 2 12 1 1 : 6 :1 ,

9、2 12 ABCD 由于S AED 1S ABCD ,依據蝴蝶定理,AG : GF 2所以S AGD 6 S GDF 6 S 7ADF 61 S 4ABCD 3 S 14 ABCD 7所以S AGE S AED S AGD 1S ABCD 3 S 14 ABCD 2S ABCD 2,277即三角形AEG 的面積是27【例7】如圖,長方形ABCD 中,BE : EC 2:3 ,DF : FC 1: 2 ,三角形DFG 方形ABCD 的面積A G D A G DF F B E C B E C【解析】連接AE ,FE 由于 BE: EC 2:3 ,DF : FC 1: 2 ,所以 S DEF 3 1

10、 1S 長方形ABCD 1S 長方形ABCD 5 3 2 10 由于 S AED 1 S 長方形,AG : GF 1: 1 5:1 ,所以S AGD 5S GDF 10 平方厘米,所以S AFD 12 平2 ABCD 2 10 方厘米由于 S AFD 1 S 長方形,所以長方形 ABCD 的面積是72 平方厘6 ABCD 米【例8】如圖,已知正方形 ABCD 的邊長為10 厘米,E 為AD 中點,F 為CE 中點,G 為 BF 中點,求三角形BDG 的面積A E D A E DO F F G G B C B C【解析】設BD 與CE 的交點為O ,連接BE ,DF 由蝴蝶定理可知 EO : O

11、C S BED : S BCD ,而S BED 1 S ABCD ,S BCD 1 S ABCD ,4 2所以EO : OC S BED : S BCD 1: 2 ,故 EO 1EC 3可編輯word, 供參考版！第 4 頁,共 5 頁由于F 為CE 中點,所以EF 1EC ,故EO: EF 2:3 ,FO : EO 1: 2 AOM ,ABO 和2由蝴蝶定理可知S BFD : S BED FO : EO 1: 2 ,所以S BFD 1S BED 1S ABCD ,28那么S BGD 1S BFD 1 S 16 ABCD 110 10 （平方厘米）216 【例9】如圖,在ABC 中,已知M,N

12、 分別在邊AC ,BC 上,BM 與AN 相交于O , 如BON 的面積分別是3,2,1,就MNC 的面積是A MO C B N【解析】這道題給出的條件較少,需要運用共邊定理和蝴蝶定理來求解依據蝴蝶定理得 S MON S AOM S BON 3 1 3 S AOB 2 2 設S MON x ,依據共邊定理我們可以得3 S ANM S MNC S S MBC ABM ,3 x 2 1 3 3 2 x ,解得x 2【例10】 2022 年迎春杯初賽六年級 正六邊形A1 A2 A3 A4 A5 A6 的面積是2022 平方厘米,B1B2 B3 B4 B5B6 分別是正六邊形各邊的中點；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米A1 B1 A2 A1 B1 A2 B6 B2 B6 O B2 A6 A 3 A 6 A 3B5 B3 B5 B3 A 5 B4 A4 A 5 B4 A4 【解析】如圖,設B6 A2 與B1 A3 的交點為O ,就圖中空白部分由 6 個與 A2OA3 一樣大小的三角形組成,只要求出了 A2OA3 的面積,就可以求出空白部分面積,進而求出陰影部分面積連接A6 A3 ,B6 B1 ,B6 A3 設 A1B1B6 的面積為” 1“,就 B1A2B6面積為” 1“,A1 A2 B6 面積為”