1、二重積分第1頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日2播放求曲頂柱體的體積采用 “分割、取近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示第2頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日3步驟如下：用小平頂柱體體積近似表示小曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區域，曲頂柱體的體積分割近似極限求和第3頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日42.二重積分的定義第4頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日5積分區域積分和被積函數積分變量被積表達式面積元素即第5頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日6 在直角坐標系下用平

2、行于坐標軸的直線網來劃分區域D，故二重積分可寫為D則面積元素為第6頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日73.二重積分的性質下面假定f(x,y),g(x,y)在閉區域D上連續,A為D的面積. 性質2 線性性質 這里A為D的面積. 性質1第7頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日8性質4性質3 區域可加性 推論1推論2第8頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日9性質5 估值性質 證所以于是第9頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日10性質6(二重積分的中值定理) 證由性質5知, 即得證. 第10頁，共52頁，2022年，5月

3、20日，8點29分，星期日11abxyo如果積分區域為D ：其中函數 、 在區間 上連續.1.在直角坐標系下計算二重積分二、二重積分的計算X-型區域第11頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日12應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,第12頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日13積分區域為：一般地， 先對 y 積分，后對 x 積分的累次積分記為abxyo第13頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日14dxyoc如果積分區域為： 先對 x 積分，后對 y 積分的累次積分Y-型區域第14頁，共52頁，2022年，5月20日，8點2

4、9分，星期日15將化為二次積分,其中 D 由直線圍成.解法1先畫出積分區域 D，先 x 后 y ,例1xyo第15頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日16xyo解法2先 y 后 x, 第16頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日17計算其中 D 由直線解 先畫出積分區域 D ，先 y 后 x,例2圍成.第17頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日18解例3先求兩曲線的交點先對 y 積分， 第18頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日19解例4第19頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日20解例5先 x

5、后 y ,兩曲線的交點第20頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日21解例5兩曲線的交點選擇積分次序的原則： 若選擇先 y 后 x ,(1)積分容易； (2)盡量少分塊或不分塊. 麻煩.第21頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日22解例6第22頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日23 改變積分的次序.例7解積分區域為將 D 向 y 軸投影, 改寫為第23頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日24解設則例8交換下面積分的次序:第24頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日25設將 D 向 y 軸投影,第2

6、5頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日26例9交換下面積分的次序:第26頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日27利用對稱性簡化二重積分的計算設積分區域D關于y 軸對稱，yxox-x(1) 若f(x,y)關于 x 是奇函數，則有(2) 若f(x,y)關于x 是偶函數，則有其中 是D的右半區域.第27頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日28設積分區域D關于x 軸對稱，(1) 若f(x,y)關于 y 是奇函數，則有(2) 若f(x,y)關于y 是偶函數，則有其中 是D的上半區域.yxo注意：不僅要考慮區域的對稱性，還要考慮函數的奇偶性.利用

7、對稱性簡化二重積分的計算第28頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日29例10 設有平面區域解oxy第29頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日30解oxy選(A).第30頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日31例11 求二重積分解oxy區域D分別對稱于x軸和y軸， 第31頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日322.在極坐標系下計算二重積分在下述兩種情況下,往往利用極坐標來計算二重積分： 1)當積分區域D為圓域、環域或扇形域等時, D的 邊界用極坐標表示較為簡單； 2)被積函數具有 等形式時,用極坐標積分較為容易. 直

8、角坐標與極坐標的轉換關系為： 第32頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日33所以面積元素為第33頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日34二重積分化為極坐標下二次積分的公式區域特征如圖第34頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日35解例12在極坐標系下,xyo第35頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日36例13解區域D關于y 軸對稱，用極坐標，xyo第36頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日37xyo第37頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日38例14解直接做麻煩, 化為極坐標,

9、第38頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日39例15解所以在極坐標系下, 圓方程為 直線方程為第39頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日40解計算二重積分例16由區域的對稱性和函數的奇偶性，可只考慮第一象限部分，xyo第40頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日41解法1例17xyo第41頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日42所以第42頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日43xyo解法2例17用直角坐標系，先對 x 積分，第43頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日44所以第4

10、4頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日45例18解第45頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日46練習：P317 習題八第46頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日47求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示第47頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日48求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示第48頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日49求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示第49頁，共52頁，2022年，5月20日，8點29分，星期日50求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示第