1、第一章 解三角形章節總體設計（一）要求本章的中心內容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解三角形的應用上。通過本章學習，學生應當達到以下學習目標：（ 1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。（ 2）能夠熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的生活實際問題。（二）編寫意圖與特色1數學思想方法的重要性數學思想方法的教學是中學數學教學中的重要組成部分，有利于學生加深數學知識的理解和掌握。本章重視與內容密切相關的數學思想方法的教學，并且在提出問題、思考解決問題的策略等方面對學生進行具體示范

2、、引導。 本章的兩個主要數學結論是正弦定理和余弦定理，它們都是關于三角形的邊角關系的結論。在初中， 學生已經學習了相關邊角關系的定性的知識，就是“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”， “如果已知兩個三角形的兩條對應邊及其所夾的角相等, 那么這兩個三角形全”等。教科書在引入正弦定理內容時，讓學生從已有的幾何知識出發，提出探究性問題： “在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系. 我們是否能得到這個邊、角的關系準確量化的表示呢”， 在引入余弦定理內容時，提出探究性問題 “如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角, 根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形. 我們仍然

3、從量化的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題。”設置這些問題，都是為了加強數學思想方法的教學。2注意加強前后知識的聯系加強與前后各章教學內容的聯系，注意復習和應用已學內容，并為后續章節教學內容做好準備，能使整套教科書成為一個有機整體，提高教學效益，并有利于學生對于數學知識的學習和鞏固。本章內容處理三角形中的邊角關系，與初中學習的三角形的邊與角的基本關系，已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識有著密切聯系。教科書在引入正弦定理內容時，讓學生從已有的幾何知識出發，提出探究性問題 “在任意三角形中有大邊對大角， 小邊對小角. 我們是否能得到

4、這個邊、角的關系準確量化的表示呢”，在引入余弦定理內容 時， 提出探究性問題 “如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角 , 根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形. 我們仍然從量化的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題。” 這樣， 從聯系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上，形成良好的知識結構。課程標準和教科書把 “解三角形”這部分內容安排在數學五的第一部分內容， 位置相對靠后，在此內容之前學生已經學習了三角函數、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識

5、聯系密切的內容，這使這部分內容的處理有了比較多的工具，某些內容可以處理得更加簡潔。 比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對于三角形進行討論，方法不夠簡潔，教科書則用了向量的方法，發揮了向量方法在解決問題中的威力。在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考問題 “勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系， 余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系”，并進而指出， “從余弦定理以及余弦函數的性質可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊

6、所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角. 從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣. ”3重視加強意識和數學實踐能力學數學的最終目的是應用數學，而如今比較突出的兩個問題是，學生應用數學的意識不強， 創造能力較弱。學生往往不能把實際問題抽象成數學問題，不能把所學的數學知識應用到實際問題中去，對所學數學知識的實際背景了解不多，雖然學生機械地模仿一些常見數學問題解法的能力較強，但當面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發現問題、解決問題的科學思維方法了解不夠。針對這些實際情況，本章重視從實際問題出發，引入數學課題，最后把數學知識應用于實際問

7、題。（三）教學內容及課時安排建議正弦定理和余弦定理（約3 課時）應用舉例（約4 課時）實習作業（約1 課時）（四）評價建議1要在本章的教學中，應該根據教學實際，啟發學生不斷提出問題，研究問題。在對于正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應該因勢利導，根據具體教學過程中學生思考問題的方向來啟發學生得到自己對于定理的證明。如對于正弦定理，可以啟發得到有應用向量方法的證明，對于余弦定理則可以啟發得到三角方法和解析的方法。在應用兩個定理解決有關的解三角形和測量問題的過程中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應該鼓勵學生提出自己的解決辦法，并對于不同的方法進行必要的分析和比較。對于一些常見的測量問題甚

8、至可以鼓勵學生設計應用的程序，得到在實際中可以直接應用的算法。2.適當安排一些實習作業，目的是讓學生進一步鞏固所學的知識，提高學生分析問題的解決實際問題的能力、 動手操作的能力以及用數學語言表達實習過程和實習結果能力，增強學生應用數學的意識和數學實踐能力。 教師要注意對于學生實習作業的指導， 包括對于實際測量問題的選擇，及時糾正實際操作中的錯誤，解決測量中出現的一些問題。第1課時課題：1.1.1正弦定理教學目標知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發 ，共同

9、探究在任意三角形中， 邊與其對角的關系，引導學生通過觀察， 推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。情感態度與價值觀：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。教學重點 正弦定理的探索和證明及其基本應用。(圖 1. 1-3)(圖 1. 1-3)教學難點 已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。教學過程I.課題導入如圖1 . 1-1 ,固定 ABC的邊CB如圖1 . 1-1 ,固定 ABC的邊CB及 B,使邊AC繞著

10、頂點思考:C的大小與它的對邊 AB的長度之間有怎樣的數量關系C轉動。顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大。能否用一個等式把這種關系精確地表示出來n.講授新課探索研究用一個等式把這種關系精確地表示出來n.講授新課探索研究圖 1. 1-1)在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中,角與邊的等式關系。如圖1 .Rt ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據銳角三角函數中正弦函數貝品sin B從而在直角三角形ABC 中,a式關系。如圖1 .Rt ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據銳角三角函數中正弦函數貝品sin B從而在直角三角形ABC 中,asi

11、n A cbsinccsin Casin Asin Bcsin C思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立（由學生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況:(圖 思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立（由學生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況:(圖 1. 1-2)如圖1. 1-3,當 ABC是銳角三角形時，設邊定義，有aCD=asin 如圖1. 1-3,當 ABC是銳角三角形時，設邊定義，有aCD=asin B bsin A,貝Usin A同理可得sin C sin B AB上的高是從而sin A sin B sin C思考：是否可以用其它方法證明這

12、一等式由于涉及邊長問題,從而可以考慮用向量來研究這個問題。u urn（證法二）：過點 A作j AC,由向量的加法可得ur uuAB ACuirCB同理，過點從而類似可推出，當.iruirABifuir(ACuuCBir juirABif思考：是否可以用其它方法證明這一等式由于涉及邊長問題,從而可以考慮用向量來研究這個問題。u urn（證法二）：過點 A作j AC,由向量的加法可得ur uuAB ACuirCB同理，過點從而類似可推出，當.iruirABifuir(ACuuCBir juirABifuuuACu uirj CBuurAB cos 90uurCB cos 90acsinA asin

13、C ,即sin A發+曰 b cBC，可行sinB sinCcsinCsin A sin B sin CABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即sin A sin B sin C理解定理（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數 k使a ksinA, b ksinB, c ksinC;(2)sin A sin B sin (2)sin A sin B sin C等價于sin A sin B sin C sin B sin A sin C從

14、而知正弦定理的基本作用為:已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如b已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如bsin A asin B.a .a .sin A -sin B ob解三角形。已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作 例題分析例 1.在 ABC 中，已知 A 32.0, B 81.8, a 42.9cm,解三角形。解：根據三角形內角和定理,C 1800(A B)C 1800(A B)1800一 00(32.0 81.8 )66.20根據正弦定理,.asin Bb sin A42.9sin81.80一.

15、066.20根據正弦定理,.asin Bb sin A42.9sin81.80一.080.1(cm);sin32.0根據正弦定理,asinCc sin A42.9sin66.20 0 74.1(cm).sin32.00評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。例2 .在 ABC中，已知a 20cm, b 28 cm, A 400 ,解三角形(角度精確到 10 ,邊長精確到1cm)。解：根據正弦定理,sinBbsinA 28sin400200.8999.因為 0sinBbsinA 28sin400200.8999.因為 00 v B v 1800 ,所以B 640 ,或 B 1160.當B 6

16、40時,C 1800 C 1800 (A B)1800(40 0 640 ) 760 ,asinC 20sin760 casinC 20sin760 c0sinA sin40030(cm).當B 1160時,C 1800 C 1800 (A B) 1800(400 1 160) 240,13(cm).asinC 20sin24013(cm).c，八.0sinAsin400評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。第4頁練習第1 (1)、2 (1)題。補充練習已知ABC中，sin A：sin B：sin C 1:2:3 ,求 a：b：c(答案：1: 2: 3)W.課時小結

17、(由學生歸納總結)(1)定理的表示形式:a b(1)定理的表示形式:a bsin A sin Bsin C sin A sin B sin C或a ksin A, b ksin B , c ksin C(k 0)(2)正弦定理的應用范圍:已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。V .課后作業第10頁習題A組第1 (1)、2 (1)題。第2課時課題：余弦定理教學目標知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。過程與方法：利用向量的數量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基

18、本的解三角形問題情感態度與價值觀：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯系與辯證統一。教學重點 余弦定理的發現和證明過程及其基本應用;教學難點 勾股定理在余弦定理的發現和證明過程中的作用。教學過程I.課題導入如圖 1. 1-4 教學過程I.課題導入如圖 1. 1-4 ,在 ABC中，設 BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和 C,求邊c(圖 1. 1-4)n .講授新課探索研究聯系已經學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題用正弦定理試求，發現因 A、B均未知，所以較難求邊從而同理可證由于涉及邊長問

19、題,1-5,c2a2b22abcosC從而同理可證由于涉及邊長問題,1-5,c2a2b22abcosC圖 1 . 1-5)b2b22bccosA2 2accosB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2b2c2的余弦的積的兩倍。即a2b2c2 2bccos A2a2a2 c b22accos B2abcosC思考：這個式子中有幾個量從方程的角度看已知其中三個量,可以求出第四個量，能否由三邊求出一角（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論:思考：這個式子中有幾個量從方程的角度看已知其中三個量,可以求出第四個量，能否由三

20、邊求出一角（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論:cosAcosBcosC2bc22cosAcosBcosC2bc22a c2ac22b a2bab2理解定理從而知余弦定理及其推論的基本作用為: 已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊;已知三角形的三條邊就可以求出其它角。余弦定理則指出了一般三角222cab思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系, 余弦定理則指出了一般三角222cab（由學生總結）若ABC中，C=900 ,則cosC 0 ,這時 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。例題分析 例 1 .在 ABC 中，已知 a 2 J3 , cJ

21、6J2, B60,求 b及 A解：- b2 a2 c2 2accosB二 (2.3)2 ( 6 .2)2 2 2 3 ( .6 .2)cos 450=12 ( 62)2 4 3( 3 1)二8b 2.2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法一： cosA b:(2 2)2 ( 62)203)22bc2 2 2 (-6 2)A 600.解法二：: sin A asinB 43sin450, b 2.2又.疾 72 2.4 1.4 3.8,273 2 1.8 3.6, a b ,那么只有一解；如果a b ,那么可以分下面三種情況來討論:(1)若a bsin A,則有兩解；(2)若a bs

22、in A,則只有一解；(3)若a bsin A,則無解。(以上解答過程詳見課本第9： 10頁)評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且bsin A a b時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。隨堂練習1(1)在 ABC中，已知a 80, b 100, A 45,試判斷此三角形的解的情況。1(2)在 ABC中，若a 1, C 2, C 40,則符合題意的b的值有個。(3)在 ABC中，a xcm, b 2cm,B 450,如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（答案：（1）有兩解；（2） 0; （3） 2 x 2應）例2.在 ABC中，已知a 7, b

23、 5, c 3,判斷 ABC的類型。分析：由余弦定理可知a2b2c2A是直角AB（g直角三角形a2b2c2A是鈍角ABC1鈍角三角形a2b2c2A是銳角AB提銳角三角形（注意：A是銳角/ AB（g銳角三角形）解：Q72 52 32,即 a2 b2 c2, AB（g鈍角三角形。隨堂練習2（1）在 ABC（1）在 ABC中，已知 sin A：sinB:sin C1:2:3 ,判斷 ABC的類型。（2）已知 ABC滿足條件acosA bcosB ,判斷 ABC的類型。（答案：（1） AB（g鈍角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）例3.在 ABC中，A 600 , b 1 ,面積為,求/ a 丫

24、k的值2 sin A sin B sin C1 一 11一一一一、一分析：可利用三角形面積定理S 1absin C -acsin Bbcsin A以及正弦定理222a b ca b csin A sin B sin C sin A sin B sin C解：由 S1bcsin A 彳導 c 2 ,22貝U a2 b2 c2 2bccos A =3,即 a 幣,從而a b csin 從而a b csin A sin B sin Casin Am.課堂練習（1）在 ABC中，若a 55, b 16,且此三角形的面積 S 22073 ,求角Ca2 b2 c2（2）在 ABC中，其三邊分別為 a、b、

25、c,且三角形的面積 S ,求角C4(答案：(1) 600 或 120; ( 2) 45)(1)在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；(2)三角形各種類型的判定方法；(3)三角形面積定理的應用。V .課后作業(1)在 ABC中，已知b 4, C 10, B 300,試判斷此三角形的解的情況。(2)設x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數x的取值范圍。(3)在 ABC中，A 60, a 1, b c 2,判斷 ABC的形狀。(4)三角形的兩邊分別為 3cmi 5cm,它們所夾的角的余弦為方程 5x2 7x 6 0的根， 求這個三角形的面積。第4課時課題：解

26、三角形應用舉例教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常用的測量相關術語過程與方法：首先通過巧妙的設疑，順利地引導新課，為以后的幾節課做良好鋪墊。其次結合學生的實際情況，采用“提出問題一一引發思考一一探索猜想一一總結規律一一反饋訓練”的教學過程，根據大綱要求以及教學內容之間的內在關系，鋪開例題，設計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例 2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論， 開放多種思路，引導學生發現問題并進行適當的指點和矯正 情感態度與價值觀： 激發學生學習數學的興趣，并體會數學的應用價值；

27、同時培養學生運用圖形、數學符號表達題意和應用轉化思想解決數學問題的能力教學重點實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解 教學難點根據題意建立數學模型，畫出示意圖 教學過程I.課題導入1、復習舊知復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形2、設置情境請學生回答完后再提問： 前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三

28、角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間， 不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。n.講授新課(1)解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數學模型來求解例題講解(2)例1、如圖，設 A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在 A的同側，在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離

29、是55m, BAC=51 ,ACB=75。求A、B兩點的距離(精確到圖 L2-1啟發提問1: ABC中，根據已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當啟發提問2:運用該定理解題還需要那些邊和角呢請學生回答。分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據三角形的內角和定理很容易根據兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。解：根據正弦定理，得AB = ACsin ACBsin ABCAB = ACsin ACBsin ABC= 55sin ACB sin ABC=55sin75sin(180_51750=55sin7

30、5sin54(m)答:A、B兩點間的距離為米變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站 C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30 ,燈塔B在觀察站C南偏東60 ,則A B之間的距離為多少老師指導學生畫圖，建立數學模型。解略： 2 a km例2、如圖，A B兩點都在河的對岸(不可到達)，設計一種測量A、B兩點間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定C D兩點。根據正弦定理中已知三角形的任意兩個內角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計算出AB的距離。圖 1. 2-2解：測量者可以在河岸邊選

31、定兩點C D,測得CD=a并且在G D兩點分別測得BCA=,ACD= , CDB= , BDA =,在 ADC BDC中，應用正弦定理得AC=asin( )= asin()sin180 ()sin()BC=a sin=asinsin180 ()sin()計算出AC和BC后，再在 ABC中，應用余弦定理計算出 AB兩點間的距離AB =. AC 2 BC 2 2AC BC cos分組討論：還沒有其它的方法呢師生一起對不同方法進行對比、分析。變式訓練：若在河岸選取相距 40米的C、D兩點，測得 BCA=60 , ACD=30 , CDB=45 ,BDA =60略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，

32、得 AB=206評注：可見，在研究三角形時，靈活根據兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優的方法， 最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。學生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應例子。m.課堂練習課本第13頁練習第1、2題W .課時小結解斜三角形應用題的一般步驟：(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖(2)建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數學模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數學模型的解(4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實

33、際意義，從而得出實際問題的解V .課后作業課本第19頁第1、2、3題第5課時課題：解三角形應用舉例教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關底部不可到達的物體高度測量的問題過程與方法：本節課是解三角形應用舉例的延伸。采用啟發與嘗試的方法，讓學生在溫故知新中學會正確識圖、 畫圖、想圖，幫助學生逐步構建知識框架。通過3道例題的安排和練習的訓練來鞏固深化解三角形實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導一一討論一一歸納，目的不在于讓學生記住結論，更多的要養成良好的研究、探索習慣。作業設計思考題， 提供學生更廣闊的思考空間情感態度與價值觀： 進一步培養學生學習數學、應用數學的意

34、識及觀察、歸納、類比、概括的能力教學重點結合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題教學難點能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關鍵條件 教學過程I.課題導入提問：現實生活中，人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂的海拔高度呢今天我們就來共同探討這方面的問題n .講授新課范例講解 例3、AB是底部B不可到達的一個建筑物， A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法。圖 L 2-1圖 L 2-1分析：求AB長的關鍵是先求 AE在 ACE中，如能求出 C點到建筑物頂部 A的距離CA再H、G兩點用測角儀器測測出由C點觀察AH、G兩點用測角儀器測解：

35、選擇一條水平基線 HG使H G B三點在同一條直線上。由在得A的仰角分別是得A的仰角分別是,CD= a,測角儀器的高是 h,那么，在ACD中，根據正弦定理可得AC = asinsin( )AB = AE + hACsin + hasin sin + 卜 sin( ),在塔底C處測得A處例4、如圖，在山頂鐵塔上 B處測得地面上一點 A的俯角 =54 40 的俯角 =50 1 。已知鐵塔BC部分的高為 m,求出山高CD,在塔底C處測得A處圖 1.2-5圖 1.2-5ABD中求CDABD中求CD.根據正弦定則關鍵需要求出哪條邊呢生：需求出BD邊。師：那如何求BD邊呢生：可首先求出 AB邊，再根據 B

36、AD= 求得。解：在 ABC中,BCA=90 + , ABC=90 -, BAC= -, BAD=理，BC = ABsin( ) sin(90 )所以AB= BCsin(90) = BCcossin( ) sin()解 Rt ABD中，得 BD =ABsinBAD=BCc0s sinsin()將測量數據代入上式，得27.3cos501sin5440BD =sin5440 501)=27.3cos501sin5440sin4 39= 177 (m)CD =BD -BC= =150(m)答：山的高度約為150米.師：有沒有別的解法呢生：若在 ACD中求CD可先求出 AC師：分析得很好，請大家接著思

37、考如何求出AC生：同理，在ABC中，根據正弦定理求得。（解題過程略）例5、如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時測得公路南側遠處一山頂在東偏南15的方向上，行駛5km后到達B處，測得此山頂在東偏南 25的方向上，仰角為8求此山的高度CD.師：欲求出CD大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢生：在 BCD中師：在 BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據條件，易計算出哪條邊的長生：BC邊解：在 ABC中，A=15 , C= 25 -15 =10，根據正弦定理，BC AB=, sinA sinC八 ABsin A 5sin15BC =sinC sin10（km）CD=BC tan D

38、BO BC tan8 =1047（m）答：山的高度約為1047米m.課堂練習課本第15頁練習第1、2、3題,要懂得從所給的利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據題意畫方位圖 背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當的簡化。,要懂得從所給的V .課后作業1、課本第19頁練習第6、7、8題2、為測某塔AB的高度，在一幢與塔 AB相距20m的樓的樓頂處測得塔頂 A的仰角為30 ,測得塔基B的俯角為45 ,則塔AB的高度為多少 m答案：20+當衛勤）第6課時課題：解三角形應用舉例教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關計算角度的實際問題過程與方法：本節課是在學

39、習了相關內容后的第三節課，學生已經對解法有了基本的了解，這節課應通過綜合訓練強化學生的相應能力。除了安排課本上的例1,還針對性地選擇了既具典型性有具啟發性的 2道例題，強調知識的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現學生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導疑、導思讓學生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學生自主發現規律，舉一反三。情感態度與價值觀： 培養學生提出問題、 正確分析問題、獨立解決問題的能力， 并在教學過程中激發學生的探索精神。教學重點能根據正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關系教學難點靈活運用正弦定理和余弦定理解關于角度的問題教學過程I .課題導入創設情

40、境提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中，人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢今天我們接著探討這方面的測量問題。n .講授新課范例講解例6、如圖，一艘海輪從 A出發，沿北偏東75的方向航行n mile后到達海島B,然后從B出發，沿北偏東32的方向航行n mile 后達到海島C.如果下次航彳T直接從 A出發到達C,此船應該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到，距離精確到mile）學生看圖思考并講述解題思路教師根據學生的回答歸納分析：首先根據三角形的內角和定理

41、求出AC邊所對的角 ABC即可用余弦定理算出 AC邊，再根據正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB解：在 ABC中， ABC=180 - 75+ 32 =137 ,根據余弦定理，AC= AB2 BC2 2AB BC cos ABC _2_2=.67.52 54.02 2 67.5 54.0 cos137根據正弦定理BC = ACsin CAB sin ABCsinCsinCAB = BCsin ABCAC54.0sin 137113.15所以75CAB =,所以75CAB =答：此船應該沿北偏東的方向航行，需要航行mile 補充例1、在某點B處測得建筑物 AE的頂端A的仰角為 ，沿BE方向前進

42、30m,至點C處 測得頂端A的仰角為2 ,再繼續前進10 J3 m至D點，測得頂端A的仰角為4 ,求的大小和建筑物AE的高。師：請大家根據題意畫出方位圖。生：上臺板演方位圖（上圖）教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法,讓學生動手練習，請三位同學用三種不同方法板教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法,讓學生動手練習，請三位同學用三種不同方法板演，然后教師補充講評。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD 解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD 中, TOC o 1-5 h z AC=BC=30,AD=DC=10 3 ,30ADC =180 -4,3010 3 =sin2 sin(1804

43、因為 sin4 =2sin2cos28s2二30二15因為 sin4 =2sin2cos28s2二30二15在RtADE中，AE=ADsin60 =15答：所求角 為15 ,建筑物高度為15m解法二：（設方程來求解）設DE= x, AE=h在 Rt ACE中,(103 + x) 2 + h 2 =30 2在 RtADE 中,x 2解法二：（設方程來求解）設DE= x, AE=h在 Rt ACE中,(103 + x) 2 + h 2 =30 2在 RtADE 中,x 2 +h2 =(10 ,3)2兩式相減，得x=5 , 3 ,h=15在RtACE中,tan2h _ 3=10.3 x 32 =30

44、 ,=15答：所求角 為15 ,建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設建筑物高為AE=8,由題意，得BAC= , CAD=2 ,AC = BC =30m , AD = CD =103mx在 Rt ACE中，sin2 =30在 Rt ADE中,sin4= 4=,103得 cos2 = ,2 =30答：所求角 為15 ,建筑物高度為15m=15 , AE=ADsin60 =15補充例2、某巡邏艇在 A處發現北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛,巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追需要多少時間才

45、追趕上該走私船師：你能根據題意畫出方位圖教師啟發學生做圖建立數學模型分析：這道題的關鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。解：如圖，設該巡邏艇沿 AB方向經過x小時后在B處追上走私船，則CB=10 x, AB=14x,AC=9,ACB=75 +45 =120（14x） 2 = 9 2 + （10 x）2 -29 10 xcos12016化簡得 32x 2 -30 x-27=0 ,即 x= 3，或 x=- 2 （舍去）16BCsin120 15 又因為 sin BAC =BCsin120 15 又因為 sin BAC =. 3 5.3AB 21214BAC =38 13，或 BAC

46、=141 47 （鈍角不合題意，舍去），38 13 +45 =83 13答：巡邏艇應1沿北偏東 83 13方向去追，經過小時才追趕上該走私船.評注：在求解三角形中，我們可以根據正弦函數的定義得到兩個解，但作為有關現實生活的應用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解m .課堂練習課本第16頁練習W .課時小結解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。V .課后作業1、課本第20頁練習第

47、9、10、11題2、我艦在敵島 A南偏西50相距12海里的B處，發現敵艦正由島沿北偏西 10的方向以10海里/小時的速度航行.問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用 2小時追上敵艦（角度 用反三角函數表示）第7課時課題：解三角形應用舉例教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、 余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題，掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用過程與方法：本節課補充了三角形新的面積公式，巧妙設疑，引導學生證明，同時總結出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關的題型。另外本節課的證明題體現了前面所學知識的生動運用，教師要放手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定

48、理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。情感態度與價值觀：讓學生進一步鞏固所學的知識， 加深對所學定理的理解， 提高創新能力；進一步培養學生研究和發現能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗教學重點推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目教學難點利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題 教學過程I.課題導入創設情境師：以前我們就已經接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學習它的另一個表達公式。在ABC中，邊BC CA AB上的高分別記為ha、hb、hc,那么它們如何用已知邊和角表示生：ha =bsin C=csin Bhb=csin

49、A=asin Chc=asin B=bsina A師：根據以前學過的三角形面積公式S=1ah，應用以上求出的高的公式如h a =bsin C代入，1可以推導出下面的三角形面積公式，S=1absinC,大家能推出其它的幾個公式嗎2生：同理可得，S=1 bcsin A S= S= -2根據正弦定理，S= -2根據正弦定理，22師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解n .講授新課范例講解例7、在 ABC中，根據下列條件，求三角形的面積S (精確到2)(1)已知 a=,c=,B=;(2)已知 B= ,

50、C= ,b=;(3)已知三邊的長分別為a=,b=,c=分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關系，我們可以應用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。1解：(1)應用 S= acsinB，得b 二 csin B sin C=bsinC sin BS = 1 bcsin A = 1 b答：這個區域的面積是 sinCsinA答：這個區域的面積是2 sin B TOC o 1-5 h z A = 180-(B + C)= 180- += HYPERLINK l bookmark122 o Current Document

51、12 sin 65.8 sin 51.52-(cm )2sin62.7(3)根據余弦定理的推論，得 22.2cab cosB =2ca HYPERLINK l bookmark240 o Current Document 22 一 238.7241.4227.322 38.7 41.4sinB =Mi cos2 B 5 0.76972 1，r應用 S=- acsinB ,得 2S = 12例8、如圖，在某市進行城市環境建設中，要把一個三角形的區域改造成室內2公園，經過測量得到這個三角形區域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區域的面積是多少(精確到2 )師：你能把這一實際問題化歸為一

52、道數學題目嗎 生：本題可轉化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。 由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結。解：設a=68m,b=88m,c=127m,根據余弦定理的推論,2 c 2 c cosB=2 u2 a b2ca一 2_ 2212726828822 127 68sinB= 1 0.75322 應用 S=1 acsinB2S =J (m2)2例3、在 ABC中，求證:(1)sin(1)sin2 A sin2 Bsin2 C2. 22 a +b +c =2 (bccosA+cacosB+abcosC)分析：這是一道關于三角形邊角關系恒等式的證明問題，觀察式子左右

53、兩邊的特點，聯想到用正弦定理來證明證明：(1)根據正弦定理，可設a = b = c = k sinA sin B sinC顯然k 0,所以一為 a +c2- a 2)+(c 2+a2-b 2)+(a 2+b2 -c +c2- a 2)+(c 2+a2-b 2)+(a 2+b2 -c 2)=a2 +b2 +c2 =左邊變式練習1:已知在 ABC中， B=30 ,b=6,c=6 J3 ,求a及 ABC的面積S提示：解有關已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數。答案：a=6,S=9 3 ;a=12,S=18、3變式練習2:判斷滿足下列條件的三角形形狀,(1) acosA = bcosB

54、左邊二一2一 2一2c2k2sin2 Csin2sin2 A sin2 Bsin2 C=右邊(2)根據余弦定理的推論，(2)根據余弦定理的推論，,22右邊二2(bc 2bc222. 22. 22a , c a b .a b c、+ca+ab)2ca2ab二(b(2)sinC =sin A sin Bcos A cos B提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”師：大家嘗試分別用兩個定理進行證明。生1:(余弦定理)得.22222.2b c a , c a b=b 2ca2bc2ca222442222c (a b ) a b =(a b )(a b )a2 b2 或 c2 a2 b

55、2根據邊的關系易得是等腰三角形或直角三角形生 2：(正弦定理)得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,A=B根據邊的關系易得是等腰三角形師：根據該同學的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學的做法有兩種，請大家思考，誰的正確呢生：第一位同學的正確。第二位同學遺漏了另一種情況，因為sin2A=sin2B, 有可能推出2A與 2B 兩個角互補，即2A+2B=180 ， A+B=90(解略)直角三角形m.課堂練習課本第 18 頁練習第1 、 2 題w.課時小結利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉化為只含邊的式子或只含角的三角函數式，然后化簡并考察邊或角的關系，從而確定

56、三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。v.課后作業課本第 20 頁練習第12、 14、 15 題第8課時（復習課）一.教學重點.理解正弦定理及余弦定理的推導證明過程，能夠熟練運用正、余弦定理解三角形。.根據實際情況設計測量距離、高度、角度等的測量方案，并能利用正、余弦定理解 決實際問題.靈活運用正、余弦定理進行邊角轉化求角度、判斷三角形形狀等有關三角形的問題。二.教學難點：正、余弦定理的推導證明，應用定理解三角形。設計測量距離、高度、 角度等的測量方案， 并能利用正、余弦定理解決實際問題，在現實生活中靈活運用正、余 弦定理解決問題。進行邊角轉化三.教學過程2

57、、例題講解:例1.在 ABC中，已知B 45 , C 60 , c 1。試求最長邊的長度。例2.在 ABC中，已知a:b:c 3:、/7:2，試判斷此角形的形狀并求出最大角與最小角的 和。例3.如圖，我炮兵陣地位于 A處，兩觀察所分別設于 C、D,已知 ABC為邊長等于a的正 三角形，當目標出現于 B時，測得離AR三、鞏固練習CDB 45 , BCD 75，試求炮擊目標的距3:2:4試試判斷此角形的形狀并求出最小角。.在 ABC中，a,b,c分別是 A,C的對邊，且cosBcosCb2a c（1）CDB 45 , BCD 75，試求炮擊目標的距3:2:4試試判斷此角形的形狀并求出最小角。.在

58、ABC中，a,b,c分別是 A,C的對邊，且cosBcosCb2a c（1）求角B的大小;2）若b 8a c 4 ,求a的值。. a,b,c分別是 ABC的三邊，若a2 c2b2 73ac ,則角B為度。A處測得塔頂CA處測得塔頂C的仰角40 ,再前進20米到B點，這時測得C的仰角為60，試求此塔的高度 CD（第1課時）課題數列的概念與簡單表示法教學目標 知識與技能：理解數列及其有關概念，了解數列和函數之間的關系；了解數列的通項公式，并會用通項公式寫出數列的任意一項；對于比較簡單的數列， 會根據其前幾項寫出它的個通項公式。過程與方法：通過對一列數的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式，培養學

59、生的觀察能力和抽象概括能力.情感態度與價值觀： 通過本節課的學習，體會數學來源于生活，提高數學學習的興趣。教學重點數列及其有關概念，通項公式及其應用 教學難點根據一些數列的前幾項抽象、歸納數列的通項公式 教學過程.課題導入三角形數：1, 3, 6, 10,正方形數：1, 4, 9, 16, 25,n .講授新課.數列的定義：按一定次序排列的一列數叫做 數列.注意：數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數列；定義中并沒有規定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現.數列的項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項.各項依次叫做這個數

60、列的第1項（或首項），第 2項，第n項,例如，上述例子均是數列，其中中，“ 4”是這個數列的第1項（或首項），“ 9”是 這個數列中的第6項.數列的一般形式：a1，a2，a3， ,an，,或簡記為 an ,其中an是數列的第n項結合上述例子，幫助學生理解數列及項的定義.中，這是一個數列，它的首項是“1”，1“ 1 ”是這個數列的第“ 3”項，等等.3下面我們再來看這些數列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系這一關系從而發現數列的通項公式）對可否用一個公式表示 （引導學生進一步理解數列與項的定義, 于上面的數列，第一項與這一項的序號有這樣的對應關系:從而發現數列的通項公式）對 TOC o