1、構(gòu)造動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答三四章構(gòu)造動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答三四章構(gòu)造動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答三四章第三章多自由度系統(tǒng)試求圖3-10所示系統(tǒng)在均衡地點(diǎn)鄰近作微振動(dòng)的振動(dòng)方程。K5K6m1x1m2x2m3x3K1234KKK圖解：（1）系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo)圖示系統(tǒng)自由度N=2，選x1、x2和x3為廣義坐標(biāo)；2）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程依據(jù)牛頓第二定律，成立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程以下：m1x1K1x1K2(x1x2);m2x2K2(x2x1)K3(x2x3)K5x2K6x2;m3x3K3(x3x2)K4x3;整理以下m1x1(K1K2)x1m2x2K2x1(K2m3x3K3x2(K3寫成矩陣形式K2x20;K3K5K6)x2K3x30;K

2、4)x30;m100 x1(K1K2)K20 x100m20 x2K2(K2K3K5K6)K3x20;（1）00m3x30K3(K3K4)x30（3）系統(tǒng)特點(diǎn)方程設(shè)x1A1sin(t),x2A2sin(t),x3A3sin(t)代入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程（1）得系統(tǒng)特點(diǎn)方程(K1K2m2)K20A012)1K2(K2K3K5K6m2K3A20;（2）0K3(K3K4m32)A30（4）系統(tǒng)頻次方程系統(tǒng)特點(diǎn)方程（2）有非零解的充要條件是其系數(shù)隊(duì)列式等于零，即(K1K2m2)K2012)K2(K2K3K5K6m2K30;0K3(K3K4m2)3睜開得系統(tǒng)頻次方程(K1K2)m2)(K2K3K5K6)m2

3、)(K3K4)m2)123K2(K3K4)m32)K2(K1K2)m2)0;231進(jìn)一步計(jì)算得(K1K2)m12)(K2K3K5K6)m22)(K3K4)m32)K22(K3K4)m32)K32(K1K2)m12)(K1K2)(K2K3K5K6)m12(K2K3K5K6)m2(K1K2)2m1m24)(K3K4)m32)K22(K3K4)m32)K32(K1K2)m12)(K1K2)(K3K4)(K2K3K5K6)(K1K2)(K2K3K5K6)m32(K3K4)(K2K3K52(K2K3K5K6)m1m34K6)m1(3)m2(K1K2)(K3K4)2(K1K2)m2m34(K3K4)m1m

4、24m1m2m36K22(K3K4)K22m32K32(K1K2)K32m1m32mmm36(K1K2)m2m3(K3K4)m1m2(K2K3K5K6)mm)41213(K2m3K2mm3m(K1K2)(K3K4)(K1K2)(K2K3K5K6)m)223123(K1K2)(K3K4)(K2K3K5K6)K22(K3K4)K32(K1K2)6a44a22a00;0;a6此中a6m1m2m3;a4(K1K2)m2m3(K3K4)m1m2(K2K3K5K6)m1m3;a2K22m3K32m1m3m2(K1K2)(K3K4)(K1K2)(K2K3K5K6)m3;a0(K1K2)(K3K4)(K2K3

5、K5K6)K22(K3K4)K32(K1K2);求解方程（3）得系統(tǒng)固有頻次ifi(m1,m2,m3,K1,K2,K3,K4,K5,K6),(i1,2,3);（4）（5）系統(tǒng)固有振型將系統(tǒng)固有頻次代入系統(tǒng)特點(diǎn)方程（2）得系統(tǒng)固有振型，即各階振型之比：1A1(1),1A1(1),1A1(2),1A1(2);1A1(3),1A1(3)（5）(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)(3)(3)(3)(3)2A23A32A23A32A23A3（6）系統(tǒng)振動(dòng)方程x1(1)(2)(3)A1A1A1x2A2(1)sin(1t1)A2(2)sin(2t2)A2(3)sin(3t3)x3A(1)A(2)

6、A(3)333（6）A1(1)A1(2)A1(3)2(1)A1(1)sin(1t1)2(2)A1(2)sin(2t2)2(3)A1(3)sin(3t3)3(1)A1(1)3(2)A1(2)3(3)A1(3)在方程（6）中含有6個(gè)待定常數(shù)：A1(1)、A1(2)、A1(3)、1、2和3。它們由初始條件x1(0)、x1(0)、x2(0)、x2(0)、x3(0)和x3(0)確立。若.題中m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，求該系統(tǒng)的固有頻次和固有振型。解：若m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，則a6m1m2m

7、32m3;a4(K1K2)m2m3(K3K4)m1m2(K2K3K5K6)m1m32m2(K2K)2m2(2KK)m2(2K2K3K3K)6m2K6m2K10m2K22m2K;a2K22m3K32m1m3m2(K1K2)(K3K4)(K1K2)(K2K3K5K6)m34K2m4K2m218K2m30K2m4K2m244mK2a0(K1K2)(K3K4)(K2K3K5K6)K22(K3K4)K32(K1K2)(K2K)(2KK)(2K2K3K3K)4K2(2KK)4K2(K2K)90K312K312K366K3;系統(tǒng)頻次方程（3）成為2m3622m2K4(4K2m244K2m)266K30;化簡(jiǎn)

8、m36m2K4(2K2m222K2m)233K30;11求圖3-11所示的三垂擺作微振動(dòng)的固有頻次和固有振型。解：（1）系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo)圖3-11所示的三垂擺系統(tǒng)自由度N=3，廣義坐標(biāo)取1、2和3；ox（2）系統(tǒng)中A、B、C三質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)1LxALsin1;yALcos1;xBLsin1Lsin2;yBLcos1Lcos2;AmxCLsin1Lsin2Lsin3;yCLcos1Lcos2Lcos3;2L（2）系統(tǒng)中A、B、C三質(zhì)點(diǎn)的速度BmxAL1cos1;yAL1sin1;3LxBL(1cos12cos2);yCmyBL(1sin12sin2);圖xCL(1cos12cos23cos3);

9、yCL(1sin12sin23sin3);（3）系統(tǒng)中A、B、C三質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能TA1yA2)112;m(xA2mL222TB1m(xB2yB2)1mL2(1cos12cos2)2(1sin12sin2)2;22TC1yC2)11cos12cos23cos3)2(1sin2sin23sin3)2;m(xC2mL2(122因?yàn)殛P(guān)于微振動(dòng)有sin11,sin22,sin33,cos11,cos21,cos31;12&212&212&2TmL12mL122mL123；2（4）系統(tǒng)中A、B、C三質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能VmgyAmgyBmgyCmgL3cos12cos2cos3；(5)L=T-V;依據(jù)拉格朗日定理：dL

10、Ldt&0ii得：321&30011L221&g02022111&00133（1）求固有頻次和固有振型：0003213002L221g0200；111001解得固有頻次：1230.6448gL1.5147gLg2.5080L固有振型：111123；1.29210.35291.64501.63082.39810.7669兩頭由彈簧支撐的剛性均質(zhì)桿，質(zhì)量均為沒，在B處用鉸鏈連結(jié)，如圖3-12所示，如選用B點(diǎn)的豎直位移y和兩桿繞B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角1,2為廣義坐標(biāo)，試從特點(diǎn)方程出發(fā)，求系統(tǒng)的固有頻次和固有振型。yABCx21kkkll圖3-12（1）AB桿的動(dòng)能：1l&211Tmy&ml22；&1221212

11、1AB桿的勢(shì)能：V1mgyl；21（2）BC桿的動(dòng)能：1l&21122；T2&212ml&2my222BC桿的勢(shì)能：V2mgyl2；2（3）三根彈簧的勢(shì)能：V31kyl2yl22y2；12（4）LT1T2V1V2V3；由拉格朗日方程可得：2mmlml22&2mg3kklklymlml2y10&klkl201mgl；23122&kl0kl212ml0ml223mgl22mmlml223kklklmlml2令M0Kklkl20；23kl0kl2mlml2023（5）由K2M0令m212166206k133,1233k6m解得：21,223k2m333,3233k6m固有頻次：11.1260k,21

12、.7321k,32.1753k；mmm固有振型：33333l3l123111111試求圖3-13所示系統(tǒng)的振動(dòng)方程，并求其固有頻次和固有振型。解：（1）以1,2,3為廣義坐標(biāo)，1K2K3K成立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：系統(tǒng)的動(dòng)能：I3I3I21&21&21&2T2I112I222I33系統(tǒng)的勢(shì)能：121212V2K112K2212K332；L=T-V；由拉格朗日方程得：I100&K1K2K20110I20&K2K2K3K32200I3&0K3K333（2）當(dāng)I1I2I3I,K1K2K3K時(shí)圖3-13000可得固有頻次：10.4450I,21.2471I,31.8019IKKK固有振型：1111231

13、.8020.4451.2472.2470.8020.555圖3-14所示的兩均質(zhì)桿是等長(zhǎng)的，但擁有不一樣的質(zhì)量，試求系統(tǒng)作微振動(dòng)的振動(dòng)方程，若m1m2m,k1k2k，試求系統(tǒng)的固有頻次和固有振型（設(shè)選用兩桿的轉(zhuǎn)角1和2為廣義坐標(biāo)，此中1以順時(shí)針方向?yàn)檎?以逆時(shí)針方向?yàn)檎?ll44m1k1m2k2lll424圖3-14解：（1）系統(tǒng)的動(dòng)能：112&211212&2T23m1l12(12m2l16m2l)21m1l2&27m2l2&261962（2）系統(tǒng)的勢(shì)能：132112131V2k14l14l22k22l22m1gl14m2gl2(3)成立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：由拉格朗日方程dLL0dtq

14、&iqi1m1l2&333l21m1gl031k1ll124447m2l2&333121m2gl0482k1ll1l2k2l244444由條件m1m2m,k1k2k，將上述方程整理得：1ml20&9kl29kl231161617ml2&92132220klkl481616從系統(tǒng)的特點(diǎn)方程解得固有頻次1mgl；1mgl410.6505k22.6145k；mm固有振型11210.74923.0508試從矩陣方程Kxjj2Mxj1出發(fā)，左乘KM，利用正交關(guān)系證明xiTKM1hKxj0i=1，2，n此中n系自由度數(shù)。解：由式Kxjj2Mxj可得：1Kxj2xjMj；KM1hKxjKM1h1KM1Kxj

15、KM1h1KM1xjKKM1h1K2xjj2KM1h1Kjjxj2hKxjT1hTxiKxj2hxiKxjKMj由正交關(guān)系可知：j2hxiTKxj0ftT1hxiKMKxj0得.3-15中支梁有三個(gè)置于它的四分之一點(diǎn)的量。以細(xì)小的平y(tǒng)1,y2,y3作位移坐，梁的自重忽視不，其曲折度EI。假m1m2m3m，求系的固有率和固有振型，振型范化并畫出各振型。xllll44443-15y解：（1）ij表示在mj點(diǎn)作用單位力而在mi點(diǎn)產(chǎn)生的撓度。利用圖乘法可得：l333l4xx41144dxEI0021x4dxEI3l3256EI同理：11l37l31221；1331；768EI768EI11l3l33l

16、32332；22；33；768EI48EI256EI（2）以各小豎向位移y1,y2,y3為廣義坐標(biāo)，成立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：y1&11m1y112m2y213m3y3y2&21m1y122m2y223m3y3y3&31m1y132m2y233m3y3整理成矩陣形式：3l311l37l3256EI768EI768EI11l3l311l3768EI48EI768EI7l311l33l3768EI768EI256EI固有頻次：&100y1my1&010y20；my2&001y3my34.9330EI,19.5959EI,41.6064EI132ml33ml固有振型：111231.4142011ml3

17、11.41421123正規(guī)化：0.164400TM00.00520000.002311110.16442.5213.923320.8各階振型圖：11振型111-振型211振型3一輕型飛翔器的水安穩(wěn)固器被簡(jiǎn)化為3個(gè)集中質(zhì)量系統(tǒng)的模型，見圖矩陣和固有頻次及模態(tài)形狀已經(jīng)求出。若飛翔器碰到一忽然的陣風(fēng)，3-16，其剛度、質(zhì)量其產(chǎn)生的階躍力為500pt100ft100此中ft是單位階躍力，如圖3-16。（）確立模態(tài)響應(yīng)&0；rt表達(dá)式，假定V0V0（）確立V1t響應(yīng)的表達(dá)式，并指出個(gè)模態(tài)的貢獻(xiàn)。此中0.06560.15380.1220k0.15380.47970.58431050.12200.58431

18、.25934.0001m06.00386008.0259900213300001280314.961.704.085.364.351.103.805.71238400000V1V2V3P1f(t)1P2P3t圖3-16解：（1）進(jìn)行坐標(biāo)變換：xT100M010M001T0.0600KK01.33570106008.40T4673Fpt1564ft9830&00rt11cositfiki1t0.07791cos244.74t2t0.001171cos1153.3t3t0.0001171cos2898.3t2）331cositfrriV111ii1r1ki8.311cos244.74t8.3150

19、04.081001.10100N10.06610N24.961cos1153.3t4.965005.361003.80100N31.33571061.701cos2898.3t1.705004.351005.711008.406100.64721cos244.74tN11cos1153.3tN2N341cos2898.3t一棟三層樓房，如圖3-17，其剛度、質(zhì)量矩陣和固有頻次及振型以下：8008000100k80024001600m0200160040000022251.121200.022548.91231.000001.000000.313860.686140.500000.686140.

20、313860.500001.00000u1m1=1u2k1=800m3=2k2=1600m3=2u3k3=2400圖3-171）確立模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度矩陣M，K；（2）若pt100100100Tcost,確立模態(tài)力Fr；（3）確立穩(wěn)固響應(yīng)r的表達(dá)式；（4）用模態(tài)位移法確立u1的響應(yīng)，并指出各階模態(tài)對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)，并列出當(dāng)激振頻次分別為0,0.51,13時(shí)，u1的振幅隨截取模態(tài)數(shù)變化的表格。12解：（1）MTm2.13860002.000003.040153700K024000007748.9FrT（2）pt2000cost62.772（3）rfr2krmr200cost12.138625370c

21、ost0224002.00262.772cost37748.93.04012（4）31&u1a11a12a13pt21rrr1r2.291671.041670.41667103100cost2200cost33fru1ri1i251.15372.13862r1kimi2i12012000.3138662.772cost2548.97748.93.040121211000.686141000.31386100cost5372.1386110.50.5100cost2400220.313860.31380.686141100cost7748.93.04012200cost5372.13862N10

22、N2N319.7010cost7748.93.04012階數(shù)N=2N=3N=1激振頻次00.511122當(dāng)題中的柔度矩陣為2.291671.041670.416671k1.041671.041670.416671030.416670.416670.416671）用模態(tài)加快度法，確立u1響應(yīng)的表達(dá)式；（2）像3-10題同樣，列出當(dāng)激勵(lì)頻次分別為0,0.5,113時(shí)的u1的振2幅隨截取模態(tài)數(shù)變化的表格，并對(duì)結(jié)果加以剖析。31&解（1）u1a11a12a13pt21rrr1r2.291671.041670.41667103100cost2200cost251.15372.138622012000.3

23、138662.772cost2548.97748.93.040120.37500cost20.7965costN125372.13862NN3020.0077cost7748.93.04012（2）u1的振幅隨截取模態(tài)數(shù)變化的表格階數(shù)N=1N=2N=3激振頻次00.511122和上一題所得結(jié)果比較能夠看出：1）兩種方法所得的結(jié)果基真同樣，且隨項(xiàng)數(shù)增添，二者差異變小。2）用模態(tài)加快度法的收斂速度比位移法要快。比如當(dāng)0時(shí)，用位移法各階模態(tài)相加才收斂到，而用加快度法第一項(xiàng)就收斂到。第四章連續(xù)彈性體的振動(dòng)一端固定，一端自由的平均桿，在自由端有一彈簧常數(shù)為k的軸向彈簧支承（圖4-23），試推導(dǎo)縱向振動(dòng)的

24、頻次方程，并對(duì)兩種極端情況：（1）k0,（2）k,進(jìn)行議論。解：u(x,t)Asin(wx)Bcos(wx)sin(t)aak其界限條件為：m,EAx0處，u(0,t)0；xl處，EAuku。Lx將u(x,t)代入得：圖423B0；EAuEAllksin(lxcos()aaa獲得縱向振動(dòng)頻次方程為EAlcos(l)ksin(l)當(dāng)k0時(shí)，aaacos(l)=0a(k2)a（n1,2,3）當(dāng)kl時(shí)，tan(l)aEA0alKna1,2,3）（nl一均質(zhì)桿，兩頭都是自由端，開始時(shí)在端部用相等的力壓縮，若將力忽然移去，求其縱向振動(dòng)。解：u(x,t)Asin(x)Bcos(x)sin(t)aa無外力作

25、用時(shí)，界限條件為：x0時(shí)，有dU0；xl時(shí)，有dxdU0dx將它們代入振型函數(shù)U(x)Asin(x)Bcos(x)aa得A0；Bsin(l)0aa得各階固有頻次為nna；l各階主振動(dòng)的表達(dá)式為un(x,t)Bcos(nx)sin(ntn)a在一般狀況下，振動(dòng)能夠表示為各階主振動(dòng)的疊加，即u(x,t)Bncos(nx)sin(ntn)n1l當(dāng)t0時(shí)，有upx；EAdu0dt將初始條件代入u(x,t)Bncos(nntn)x)sin(n1l有u(x,0)Bncos(nx)sinnn1lxEAduBnncos(nx)cosn0dtn1l因?yàn)樯鲜揭@得知足，一定有cosn0，這樣致使sinn1，或（1

26、），代入得Bncos(nx)Pxn1lEA為了求出Bn，上式兩邊均乘以mx)，（m1,2cos(）l獲得Bn(1)n14lP，n1,3,5EAn224lPu(x,t)EA(1)nnt)2n2cos(x)cos(n1,3ll圖4-24為一端固定，一端自由的圓等直桿。在自由端作用有扭矩M0，在t=0時(shí)忽然開釋，求桿自由端的振幅。解：x,t(AsinwxBcoswx)sin(wt)a=Gaa無外力作用，示桿的界條件：d|x00dx|xl0m，GJp將其分被代入振型函數(shù)得：B=0;Ocoswl=0;La424得各固有率:wnna=nGn=1,3,5,.2l2l各主振的表達(dá)式:nx,tAnsin(nx)

27、sin(wntn)2l在一般狀況下，振能夠表示各主振的疊加，即x,tAnsin(nx)sin(wntn)i1,3,L2l當(dāng)t0，有|t0M0 xAnsinnxsinGIpi1,3,L2ld|t0Anwnsinnxcos0dti1,3,L2l由（2）式可得cos=0sin1將（3）式代入（1）得：M0 xAnsinnxGIpi1,3,L2l了求出An，上式兩均乘以sinmx,(m正整數(shù))，2l得ln1A2M0 xsinnxdx8lM0(1)2n=1,3,5,.nlGIp02ln22GIpM0 x(1)(2)3）n1x,t8lM0(1)2sin(nx)cos(wnt)2GIpi1,3,Ln22l自

28、由端的振幅是M0n12A8l(1)2GIpi1,3,Ln2一均質(zhì)梁，一端固定，一端簡(jiǎn)支，試導(dǎo)出梁曲折振動(dòng)的頻次方程，并寫出固有振型的表達(dá)式。解：y(x,t)X(x)Y(t)EI圖示梁的界限條件為：xOy|xl0X(l)0ydXLx|xl0dx|xl0y|x00X(0)02y|x002X|x00 x2x2而：X(x)AsinkxBcoskxCshkxDchkxdX(x)AkcoskxBksinkxCkchkxDkshkxdx.Ak2sinkxBk2coskxCk2shkxk2DchkxX(x)代入界限條件得：BD0;BD0AsinklBcosklCshklDchkl0AkcosklBksinkl

29、CkchklDkshkl0由（1），（2）式得B=D=0；由（3），（4）式得AsinklCshkl0AkcosklCkchkl0(1)(2)(3)4）sinklshkl0頻次方程：sinklchklshklcoskl0cosklchkl一平均懸臂梁，在自由端附有一質(zhì)量為M的重物（圖4-25），設(shè)重物的尺寸遠(yuǎn)小于梁長(zhǎng)l,試推導(dǎo)該系統(tǒng)曲折振動(dòng)的頻次方程并議論M?m時(shí)的基本頻次。解：關(guān)于圖示懸臂梁的界限條件為：M，EJMxx0X(x)dX0;Ldxx2y2yEJ3yl20,Mt2x3xy(x,t)X(x)Y(t)(AsinkxBcoskxCshkxDchkx)sin(wt)由界限條件得：BD0AC

30、0AsinkxBcoskxCshkxDchkx0EJk3(AcosklBsinklCchklDshkl)sin(wt)Mw2(AsinklBcosklCshklDchkl)sin(wt)整理得頻次方程：Mw2k31chklcosklEJchklsinklshklcosklM11chklcosklmkchklsinklshklcosklM?mMm頻次方程為chklsinklshklcoskl0查書表4-1得其前五階固有頻次：w13.9272aw310.2102a2l2l216.4937.069213.3522w5l2aw2aw4al2l2一平均簡(jiǎn)支梁，中央作用一橫向力P（如圖）產(chǎn)生撓曲，試確立荷載忽然卸除后梁得自由振動(dòng)。x1Px2解：關(guān)于簡(jiǎn)支梁，其自由振動(dòng)的解為：nm,EJyx,tn1,2,.Ansin(lx)sin(wntn)ll22關(guān)于圖示構(gòu)造，其零初始條件是