1、高中數學必修+選修知識點概括高三第一輪復習資料序言課程內容：必修課程由5個模塊構成：必修1：會集、函數看法與基本初等函數（指、對、冪函數）必修2：立體幾何初步、平面分析幾何初步。必修3：算法初步、統計、概率。必修4：基本初等函數（三角函數）、平面向量、三角恒等變換。必修5：解三角形、數列、不等式。選修課程有4個系列：系列1：由2個模塊構成。選修11：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用。選修12：統計事例、推理與證明、數系的擴充與復數、框圖系列2：由3個模塊構成。選修21：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。選修22：導數及其應用，推理與證明、數系的擴大與復數選修23：計數

2、原理、隨機變量及其分布列，統計事例。系列3：由6個專題構成。選修31：數學史選講。選修32：信息安全與密碼。選修33：球面上的幾何。選修34：對稱與群。選修35：歐拉公式與閉曲面分類。選修36：三均分角與數域擴大。系列4：由10個專題構成。選修41：幾何證明選講。選修42：矩陣與變換。選修43：數列與差分。選修44：坐標系與參數方程。選修45：不等式選講。選修46：初等數論初步。選修47：精選法與試驗設計初步。選修48：兼顧法與圖論初步。選修49：風險與決策。選修410：開關電路與布爾代數。2重難點及考點：重點：函數，數列，三角函數，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數難點：函數、圓錐曲線高考相

3、關考點：會集與簡單邏輯:會集的看法與運算、簡單邏輯、充要條件函數：映照與函數、函數分析式與定義域、值域與最值、反函數、三大性質、函數圖象、指數與指數函數、對數與對數函數、函數的應用數列：數列的相關看法、等差數列、等比數列、數列乞降、數列的應用三角函數：相關看法、同角關系與引誘公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數的圖象與性質、三角函數的應用平面向量：相關看法與初等運算、坐標運算、數目積及其應用不等式：看法與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應用直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的地址關系、線性規劃、圓、直線與圓的地址關系圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線

4、、拋物線、直線與圓錐曲線的地址關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量擺列、組合和概率：擺列、組合應用題、二項式定理及其應用概率與統計：概率、分布列、希望、方差、抽樣、正態分布導數：導數的看法、求導、導數的應用復數：復數的看法與運算必修1數學知識點第一章：會集與函數看法、會集1、把研究的對象統稱為元素，把一些元素構成的整體叫做會集。會集三因素：確定性、互異性、無序性。2、只要構成兩個會集的元素是相同的，就稱這兩個會集相等。3、常有會集：正整數會集：N*或N，整數會集：Z，有理數會集：Q，實數會集：R.4、會集的表示方法：列

5、舉法、描述法.、會集間的基本關系1、一般地，關于兩個會集A、B，假如會集A中任意一個元素都是會集B中的元素，則稱會集A是集合B的子集。記作AB.2、假如會集AB，但存在元素xB，且xA，則稱會集A是會集B的真子集.記作：AB.3、把不含任何元素的會集叫做空集.記作：.并規定：空會集是任何會集的子集.4、假如會集A中含有n個元素，則會集A有2n個子集，2n1個真子集.、會集間的基本運算1、一般地，由所有屬于會集A或會集B的元素構成的會集，稱為會集A與B的并集.記作：AB.2、一般地，由屬于會集A且屬于會集B的所有元素構成的會集，稱為A與B的交集.記作：AB.3、全集、補集？CUAx|xU,且xU

6、、函數的看法1、設A、B是非空的數集，假如依據某種確定的對應關系f，使關于會集A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數fx和它對應，那么就稱f:AB為會集A到會集B的一個函數，記作：yfx,xA.2、一個函數的構成因素為：定義域、對應關系、值域.假如兩個函數的定義域相同，而且對應關系完整一致，則稱這兩個函數相等.、函數的表示法1、函數的三種表示方法：分析法、圖象法、列表法.、單調性與最大（小）值1、注意函數單調性的證明方法：(1)定義法：設x1、x2a,b,x1x2那么f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數；f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是減函數.步驟：取值作差變形定

7、號判斷格式：解：設x1,x2a,b且x1x2，則：fx1fx2=導數法：設函數yf(x)在某個區間內可導，若f(x)0，則f(x)為增函數；若f(x)0，則f(x)為減函數.、奇偶性1、一般地，假如關于函數fx的定義域內任意一個x，都有fxfx，那么就稱函數fx為偶函數.偶函數圖象關于y軸對稱.2、一般地，假如關于函數fx的定義域內任意一個x，都有fxfx，那么就稱函數fx為奇函數.奇函數圖象關于原點對稱.知識鏈接：函數與導數1、函數yf(x)在點x0處的導數的幾何意義：函數yf(x)在點x0處的導數是曲線yf(x)在P(x0,f(x0)處的切線的斜率f(x0)，相應的切線方程是yy0f(x0

8、)(xx0).2、幾種常有函數的導數C0；(xn)nxn1；(sinx)cosx；(cosx)sinx；(ax)axlna；(ex)ex；(logax)1；(lnx)1xlnax3、導數的運算法規（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）(u)uvuv(v0).vv24、復合函數求導法規復合函數yf(g(x)的導數和函數yf(u),ug(x)的導數間的關系為yxyuux，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.解題步驟:分層層層求導作積還原.5、函數的極值極值定義：極值是在x0周邊所有的點，都有f(x)f(x0)，則f(x0)是函數f(x)的極大值；極值是在x0周邊所有的點

9、，都有f(x)f(x0)，則f(x0)是函數f(x)的極小值.鑒識方法：假如在x0周邊的左邊f(x)0，右邊f(x)0，a10a1圖象(1)定義域：R性（2）值域：（0，+）質（3）過定點（0，1），即x=0時，y=1（4）在R上是增函數（4）在R上是減函數(5)x0,ax1;(5)x0,0ax1;x0,0axxx110,a那么f(x0)是極大值；假如在x0周邊的左邊f(x)0，右邊f(x)0，那么f(x0)是極小值.6、求函數的最值求yf(x)在(a,b)內的極值（極大也許極小值）(2)將yf(x)的各極值點與f(a),f(b)比較，此中最大的一個為最大值，最小的一個為極小值。注：極值是在局

10、部對函數值進行比較（局部性質）；最值是在整體區間上對函數值進行比較(整體性質)。第二章：基本初等函數（）、指數與指數冪的運算1、一般地，假如xna，那么x叫做a的n次方根。此中n1,nN.2、當n為奇數時，nana；當n為偶數時，nana.3、我們規定：nmanama0,m,nN*,m1；an1nn0；a4、運算性質：arasarsa0,r,sQ；ars0,r,sQ；arsaa10a1圖象(1)定義域：（0，+）性（2）值域：R質（3）過定點（1，0），即x=1時，y=0（4）在（0，+）上是增函數（4）在（0，+）上是減函數(5)x1,logax0；(5)x1,logax0；0 x1,log

11、ax00 x1,logax0abrarbra0,b0,rQ.、指數函數及其性質1、記著圖象：yaxa0,a12、性質：、對數與對數運算1、指數與對數互化式：axNxlogaN；2、對數恒等式：alogaNN.3、基天性質：loga10，logaa1.4、運算性質：當a0,a1,M0,N0時：logaMNlogaMlogaN；logaMlogaMlogaN；NlogaMnnlogaM.5、換底公式：logablogcblogcaa0,a1,c0,c1,b0.6、重要公式：loganbmmlogabn7、倒數關系：logab1a0,a1,b0,b1.logba2.、對數函數及其性質1、記著圖象：y

12、logaxa0,a12、性質：、冪函數1、幾種冪函數的圖象：第三章：函數的應用、方程的根與函數的零點1、方程fx0有實根函數yfx的圖象與x軸有交點函數yfx有零點.2、零點存在性定理：假如函數yfx在區間a,b上的圖象是連續不斷的一條曲線，而且有fafb0，那么函數yfx在區間a,b內有零點，即存在ca,b，使得fc0，這個c也就是方程fx0的根.、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.、幾類不一樣增加的函數模型、函數模型的應用舉例1、解決問題的常例方法：先畫散點圖，再用合適的函數擬合，最后檢驗.必修2數學知識點第一章：空間幾何體1、空間幾何體的構造常有的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常有的旋

13、轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球。棱柱：有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形，而且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。2、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光輝照耀下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。3、空間幾何體的表面積與體積圓柱側面積；S側面2rl圓錐側面積：S側面rl圓臺側面積：S側面rlRl體積公式：V柱體Sh；V錐體1Sh；1S上3V臺體S上S下S下h3球的表面積和體積：S球4R2，V球4R3

14、.3第二章：點、直線、平面之間的地址關系1、公義1：假如一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。2、公義2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。3、公義3：假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。4、公義4：平行于同一條直線的兩條直線平行.5、定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。6、線線地址關系：平行、訂交、異面。7、線面地址關系：直線在平面內、直線和平面平行、直線和平面訂交。8、面面地址關系：平行、訂交。9、線面平行：判斷：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行（簡稱線線平行，則線面平行）。

15、性質：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（簡稱線面平行，則線線平行）。10、面面平行：判斷：一個平面內的兩條訂交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行（簡稱線面平行，則面面平行）。性質：假如兩個平行平面同時和第三個平面訂交，那么它們的交線平行（簡稱面面平行，則線線平行）。11、線面垂直：定義：假如一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直。判斷：一條直線與一個平面內的兩條訂交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直，則線面垂直）。性質：垂直于同一個平面的兩條直線平行。12、面面垂直：定義：兩個平面訂交，假如它們所成的二面角

16、是直二面角，就說這兩個平面相互垂直。判斷：一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直（簡稱線面垂直，則面面垂直）。性質：兩個平面相互垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（簡稱面面垂直，則線面垂直）。第三章：直線與方程1、傾斜角與斜率：ky2y1tanx1x22、直線方程：點斜式：yy0kxx0斜截式：ykxb兩點式：yy1y2y1xx1x2x1截距式：xy1ab一般式：AxByC03、關于直線：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有：l1/l2k1k2；b1b2l1和l2訂交k1k2；l1和l2重合k1k2；b1b2l1l2k1k21.4、關于直線：l1:A1xB1y

17、C10,有：l2:A2xB2yC20l1/l2A1B2A2B1；B1C2B2C1l1和l2訂交A1B2A2B1；l1和l2重合A1B2A2B1；B1C2B2C1l1l2A1A2B1B20.5、兩點間距離公式：P1P2x2x12y2y126、點到直線距離公式：Ax0By0CdA2B27、兩平行線間的距離公式：l1：AxByC10與l2：AxByC20平行，C1C2則dB2A2第四章：圓與方程1、圓的方程：標準方程：xa2yb2r2此中圓心為(a,b)，半徑為r.一般方程：x2y2DxEyF0.此中圓心為(D,E)，半徑為22r1D2E24F.22、直線與圓的地址關系直線AxByC0與圓(xa)2

18、(yb)2r2的地址關系有三種:dr相離0;dr相切0;dr訂交0.弦長公式：l2r2d21k2(x1x2)24x1x23、兩圓地址關系：dOO21外離：dRr；外切：dRr；訂交：RrdRr；內切：dRr；內含：dRr.3、空間中兩點間距離公式：P1P2x2x12y2y122z2z1必修3數學知識點第一章：算法1、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言；2、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、辦理框、判斷框、流程線等規范表示方法；3、算法的三種基本構造：當型循環構造次序構造、條件構造、循環構造直到型循環構造次序構造表示圖：語句n語句n+1（圖1）條件構造表示圖：IF-THEN-ELSE格式

19、：滿足條件？否是語句1語句2（圖2）IF-THEN格式：是滿足條件？否語句（圖3）循環構造表示圖：當型（WHILE型）循環構造表示圖：循環體滿足條件？是否（圖4）直到型（UNTIL型）循環構造表示圖：循環體否滿足條件？是（圖5）4、基本算法語句：輸入語句的一般格式：INPUT“提示內容”；變量輸出語句的一般格式：PRINT“提示內容”；表達式賦值語句的一般格式：變量表達式（“=”有時也用“”）.條件語句的一般格式有兩種：IFTHENELSE語句的一般格式為：IF條件THEN語句1ELSE語句2（圖2）IFTHEN語句的一般格式為：IF條件THEN語句ENDIF（圖3）循環語句的一般格式是兩種：

20、當型循環（WHILE）語句的一般格式：WHILE條件循環體（圖4）WEND直到型循環（UNTIL）語句的一般格式：DO循環體LOOPUNTIL條件（圖5）算法事例：展轉相除法結果是以相除余數為0而獲取利用展轉相除法求最大合約數的步驟以下：）：用較大的數m除以較小的數n獲取一個商S0和一個余數R0；）：若R00，則n為m，n的最大合約數；若R00，則用除數n除以余數R0獲取一個商S1和一個余數R1；）：若R10，則R1為m，n的最大合約數；若R10，則用除數R0除以余數R1獲取一個商S2和一個余數R2；挨次計算直至Rn0，此時所獲取的Rn1即為所求的最大合約數。更相減損術結果是以減數與差相等而獲

21、取利用更相減損術求最大合約數的步驟以下：）：任意給出兩個正數；判斷它們能否都是偶數。若是，用2約簡；若不是，執行第二步。）：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。連續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大合約數。進位制十進制數化為k進制數除k取余法k進制數化為十進制數第二章：統計1、抽樣方法：簡單隨機抽樣（整體個數較少）系統抽樣（整體個數許多）分層抽樣（整體中差異明顯）注意：在N個個體的整體中抽拿出n個個體構成樣本，每個個體被抽到的機遇（概率）均為n。N2、整體分布的預計：一表二圖：頻率分布表數據詳確頻率分布直方圖分布直觀頻率分布折線圖便

22、于觀察整體分布趨向注：整體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。莖葉圖：莖葉圖適用于數據較少的狀況，從中便于看出數據的分布，以及中位數、眾位數等。個位數為葉，十位數為莖，右邊數據依據從小到大書寫，相同的數據重復寫。3、整體特色數的預計：均勻數：xx1x2x3xn；n取值為x1,x2,xn的頻率分別為p1,p2,pn，則其均勻數為x1p1x2p2xnpn；注意：頻率分布表計算均勻數要取組中值。方差與標準差：一組樣本數據x1,x2,xn方差：s21n2(xix)；ni11n2x)標準差：s(xini1注：方差與標準差越小，說明樣本數據越堅固。均勻數反響數據整體水平；方差與標準差反響數據的堅固水平。線

23、性回歸方程變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；制作散點圖，判斷線性相關關系線性回歸方程：ybxa（最小二乘法）nxiyinxy注意：線性回歸直線經過定點(x,y)。第三章：概率1、隨機事件及其概率：事件：試驗的每一種可能的結果，用大寫英文字母表示；必然事件、不行能事件、隨機事件的特色；隨機事件A的概率：m(),0P(A)1.PAn2、古典概型：基本領件：一次試驗中可能出現的每一個基本結果；古典概型的特色：所有的基本領件只有有限個；每個基本領件都是等可能發生。古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本領件共有n個，事件A包含了此中的m個基本領件，則事件A發生的概率P(A)m.n3、幾何概型：

24、幾何概型的特色：所有的基本領件是無窮個；每個基本領件都是等可能發生。的測度幾何概型概率計算公式：P(A)d；D的測度此中測度依據題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。4、互斥事件：不行能同時發生的兩個事件稱為互斥事件；假如事件A1,A2,An任意兩個都是互斥事件，則稱事件A1,A2,An相互互斥。假如事件A，B互斥，那么事件A+B發生的概率，等于事件A，B發生的概率的和，即：P(AB)P(A)P(B)假如事件A1,A2,An相互互斥，則有：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)對峙事件：兩個互斥事件中必有一個要發生，則稱這兩個事件為對峙事件。事件A的對峙事件記作AP(A)P(A)

25、1,P(A)1P(A)對峙事件必定是互斥事件，互斥事件未必是對峙事件。必修4數學知識點i1bn2xi2nx第一章：三角函數、任意角i1aybx1、正角、負角、零角、象限角的看法.2、與角終邊相同的角的會集：2k,kZ.、弧度制1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.2、l.r3、弧長公式：lnRR.1804、扇形面積公式：SnR21lR.3602、任意角的三角函數1、設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點Px,y，那么：siny,cosx,ytanx2、設點Ax,y為角終邊上任意一點，那么：（設rx2y2）sinyxyx，cos，tanx，cotrry3、sin，cos，tan在四

26、個象限的符號和三角函數線的畫法.正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT5、特別角0，30，45，60，90，180，270等的三角函數值.023326432342sincostan、同角三角函數的基本關系式1、平方關系：sin2cos21.2、商數關系：tansin.cos3、倒數關系：tancot1、三角函數的引誘公式（概括為“奇變偶不變，符號看象限”kZ）1、引誘公式一：sin2ksin,cos2kcos,（此中：kZ）tan2ktan.2、引誘公式二：sinsin,coscos,tantan.3、引誘公式三：sinsin,coscos,tantan.4、引誘公式四：sinsin,cos

27、cos,tantan.5、引誘公式五：sin2cos,cos2sin.6、引誘公式六：sin2cos,cos2sin.、正弦、余弦函數的圖象和性質1、記著正弦、余弦函數圖象：2、可以比較圖象講出正弦、余弦函數的相關性質：定義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性.3、會用五點法作圖.ysinx在x0,2上的五個重點點為：（0，0）（，1）（，0）（，3，-1）（，2，0）.22、正切函數的圖象與性質1、記著正切函數的圖象：2、記著余切函數的圖象：3、可以比較圖象講出正切函數的相關性質：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性.周期函數定義：關于函數fx，假如存在一

28、個非零常數T，使合適x取定義域內的每一個值時，都有fxTfx，那么函數fx就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期.圖表概括：正弦、余弦、正切函數的圖像及其性質ysinxycosxytanx圖象定義域RRx|x2k,kZ值域-1,1-1,1Rx2k,kZ時，ymax1x2k,kZ時，ymax1最值2無x2k,kZ時，ymin1x2k,kZ時，ymin12周期性T2T2T奇偶性奇偶奇在2k,2k上單調遞加在2k,2k上單調遞加單調性22在(k,k)上單調遞加kZ在2k,2k3上單調遞減在2k,2k22上單調遞減22對稱性對稱軸方程：xk對稱軸方程：xk無對稱軸kkZ2對稱中心(k,0)對稱中

29、心對稱中心(k,0)(,0)22、函數yAsinx的圖象yAsinxB的圖象之間的平移伸縮變1、關于函數：換關系.yAsinxBA0,先平移后伸縮：0有：振幅A，周ysinx平移|個單位期T2，相位x，頻率f12.，初相T（左加右減）2、可以講出函數ysinx的圖象與橫坐標不變ysinxyAsinx縱坐標變為本來的A倍縱坐標不變yAsinx橫坐標變為本來的|1|倍平移|B|個單位yAsinxB（上加下減）先伸縮后平移：ysinx橫坐標不變yAsinx縱坐標變為本來的A倍縱坐標不變yAsinx橫坐標變為本來的|1|倍平移個單位yAsinx（左加右減）平移|B|個單位yAsinxB（上加下減）3、

30、三角函數的周期，對稱軸和對稱中心函數ysin(x)，xR及函數ycos(x)，xR(A,為常數，且A0)的周期T2；函|數ytan(x)，xk,kZ(A,為2常數，且A0)的周期T|.|關于yAsin(x)和yAcos(x)來說，對稱中心與零點相聯系，對稱軸與最值點聯系.求函數yAsin(x)圖像的對稱軸與對稱中心，只要令xk(kZ)與xk(kZ)2解出x即可.余弦函數可與正弦函數類比可得.4、由圖像確定三角函數的分析式利用圖像特色：Aymaxymin，Bymax2ymin.2要依據周期來求,要用圖像的重點點來求.、三角函數模型的簡單應用1、要求熟習課本例題.第三章、三角恒等變換、兩角差的余弦

31、公式記著15的三角函數值：sincostan1262622344、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、sinsincoscossin2、sinsincoscossin3、coscoscossinsin4、coscoscossinsin5、tantantan.1tantan6、tantantan.1tantan、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos，變形：sincos1sin2.22、cos2cos2sin22cos2112sin2.變形以下：1cos22cos2升冪公式：2sin21cos2cos21(1cos2)降冪公式：21sin2(1cos2)23、tan22tan.1

32、tan24、tansin21cos21cos2sin2、簡單的三角恒等變換1、注意正切化弦、平方降次.2、輔助角公式yasinxbcosxa2b2sin(x)（此中輔助角所在象限由點(a,b)的象限決定,tanb).a第二章：平面向量、向量的物理背景與看法1、認識四種常有向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.、向量的幾何表示1、帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個因素：起點、方向、長度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的長度（或稱uuur模），記作AB；長度為零的向量叫做零向量；長度等于1個單位的向量叫做單位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或

33、共線向量）.規定：零向量與任意向量平行.、相等向量與共線向量1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.、向量加法運算及其幾何意義1、三角形加法法規和平行四邊形加法法規.2、abab.、向量減法運算及其幾何意義1、與a長度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形減法法規和平行四邊形減法法規.、向量數乘運算及其幾何意義1、規定：實數與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘.記作：a，它的長度和方向規定以下：aa,當0時,a的方向與a的方向相同；當0時,a的方向與a的方向相反.2、平面向量共線定理：向量aa0與b共線，當且僅當有獨一一個實數，使ba.、平面向量基本定理1、平面向量基本定理

34、：假如e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么關于這一平面內任一直量a，有且只有一對實數1,2，使a1e12e2.、平面向量的正交分解及坐標表示1、axiyjx,y.、平面向量的坐標運算1、設ax1,y1,bx2,y2，則：abx1x2,y1y2，abx1x2,y1y2，ax1,y1，a/bx1y2x2y1.2、設Ax1,y1,Bx2,y2，則：ABx2x1,y2y1.、平面向量共線的坐標表示1、設Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，則線段AB中點坐標為x12x2,y12y2，ABC的重心坐標為x1x2x3,y1y2y3.33、平面向量數目積的物理背景及其含義1、ababcos.2、

35、a在b方向上的投影為：acos.223、aa.、a24a.5、abab0.、平面向量數目積的坐標表示、模、夾角1、設ax1,y1,bx2,y2，則：abx1x2y1y2ax12y12rrrrxxyy0abab02112rrrra/babx1y2x2y102、設Ax1,y1,Bx2,y2，則：ABx2x12y2y12.3、兩向量的夾角公式rrx1x2y1y2cosabrrx12y12x22y22ab4、點的平移公式平移前的點為P(x,y)（原坐標），平移后的對應點為P(x,y)（新坐標），平移向量為uuurPP(h,k)，xxh則yk.y函數yf(x)的圖像按向量r(h,k)平移后的a圖像的分析

36、式為ykf(xh).、平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應用舉例知識鏈接：空間向量空間向量的好多知識可由平面向量的知識類比而得.下邊對空間向量在立體幾何中證明，求值的應用進行總結概括.1、直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量：uuur若A、B是直線l上的任意兩點，則AB為直線l的uuur一個方向向量；與AB平行的任意非零向量也是直線l的方向向量.平面的法向量：r若向量n所在直線垂直于平面，則稱這個向量rrr垂直于平面，記作n，假如n，那么向量n叫做平面的法向量.平面的法向量的求法（待定系數法）：建立合適的坐標系r設平面的法向量為n(x,y,z)求出平面內兩個不共線向量的坐標rura(a

37、1,a2,a3),b(b1,b2,b3)rr0na依據法向量定義建立方程組rr.nb0解方程組，取此中一組解，即得平面的法向量.（如圖）2、用向量方法判斷空間中的平行關系線線平行rr設直線l1,l2的方向向量分別是a、，則要證明l1brrrrl2，只要證明ab，即akb(kR).即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。線面平行（法一）設直線l的方向向量是ra，平面的法向rrr量是u，則要證明l，只要證明au，即rrau0.即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.面面平行

38、rr若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要rrrr證，只要證uv，即證uv.即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3、用向量方法判斷空間的垂直關系線線垂直rr設直線、，則要證明l1,l2的方向向量分別是abrrrrl1l2，只要證明ab，即ab0.即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。線面垂直r（法一）設直線l的方向向量是a，平面的法向rrrrr量是u，則要證明l，只要證明au，即au.r（法二）設直線l的方向向量是a，平面內的兩uruurrur0am個訂交向量分別為m、n，若rr,則l.an0即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內兩條不共線直線的方向向量都

39、垂直。面面垂直rr若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要rrrr證，只要證uv，即證uv0.即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角求異面直線所成的角已知a,b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a,b上的任意兩點，a,b所成的角為，uuuruuurACBD則cosuuuruuur.ACBD求直線和平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角r求法：設直線l的方向向量為a，平面的法向量rrr為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為，則為的余角或的補角的余角.即有：rrsincosaur.au求二面角定義：平面內的一條直線把平面分為兩

40、個部分，此中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發的兩個半平面所構成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線AOl,BOl，則AOB為二面角l的平面角.如圖：ABlOB求法：設二面角OAl的兩個半平面的法向量urrurr分別為m、n，再設m、n的夾角為，二面角urrl的平面角為，則二面角為m、的夾角n或其補角.依據詳盡圖形確定是銳角或是鈍角：urrmn假如是銳角，則coscosurr，mnurrmn即arccosurr；mnurr是鈍角，則coscosmn假如urr，mnurrmn即arccosurr

41、.mn5、利用法向量求空間距離點Q到直線l距離r若Q為直線l外的一點,P在直線l上，a為直線l的ruuur方向向量，b=PQ，則點Q到直線l距離為h1rr2rr2r(|a|b|)(ab)|a|點A到平面的距離若點P為平面外一點，點為平面內任一點，Mr平面的法向量為n，則P到平面的距離就等于uuurrMP在法向量n方向上的投影的絕對值.uuurruuuur即dMPcosn,MPuuuruuurnMPMPruuurnMPuuurnMPrn直線a與平面之間的距離當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉變為求直線上任一點到平面的距離，即轉變為點面距離。P

42、O,O推理模式：PAIAaAOa,aAP概括為：垂直于斜線就垂直于射影.7、三余弦定理設AC是平面內的任一條直線，AD是的一條斜線AB在內的射影，且BDAD，垂足為D.設AB與(AD)所成的角為1，AD與AC所成的角為2，AB與AC所成的角為則coscos1cos2.ruuurnMP即dr.n兩平行平面,之間的距離利用兩平行平面間的距離到處相等，可將兩平行平面間的距離轉變為求點面距離。ruuur即dnMPr.n異面直線間的距離ra,b都垂直，Ma,Pb,設向量n與兩異面直線uuurr則兩異面直線a,b間的距離d就是MP在向量n方向上投影的絕對值。ruuurnMP即dr.n6、三垂線定理及其逆定

43、理三垂線定理：在平面內的一條直線，假如它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直PO,O推理模式：PAIAaPAa,aOA概括為：垂直于射影就垂直于斜線.三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，假如和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直8、面積射影定理已知平面內一個多邊形的面積為SS原，它在平面內的射影圖形的面積為SS射，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則cosS=S射.SS原9、一個結論長度為l的線段在三條兩兩相互垂直的直線上的射影長分別為l1、l2、l3，夾角分別為1、2、3,則有l22222221l1l2l3cos1cos2cos3sin21sin2

44、2sin232.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.必修5數學知識點第一章：解三角形1、正弦定理：abc2R.sinAsinBsinC（此中R為ABC外接圓的半徑）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;sinAa,sinBb,sinCc;2R2R2Ra:b:csinA:sinB:sinC.用途：已知三角形兩角和任一邊，求其余元素；已知三角形兩邊和此中一邊的對角，求其余元素。2、余弦定理：a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB,c2a2b22abcosC.cosAb2c2a2,2bccosBa2c2b2,2accosCa2b2c2.2ab用途：已知三角形兩邊及其

45、夾角，求其余元素；已知三角形三邊，求其余元素。做題中兩個定理常常結合使用.3、三角形面積公式：SABC1absinC1bcsinA1acsinB2224、三角形內角和定理：在ABC中，有ABCC(AB)CAB2C22(AB).2225、一個常用結論：在ABC中，absinAsinBAB;若sin2Asin2B,則AB或AB.特別注意，2在三角函數中，sinAsinBAB不行立。第二章：數列1、數列中an與Sn之間的關系：anS1,(n1)SnSn1,(n注意通項能否合并。2).2、等差數列：定義：假如一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即anan1=d，（n2，nN），那

46、么這個數列就叫做等差數列。等差中項：若三數a、A、b成等差數列abA2通項公式：ana1(n1)dam(nm)d或anpnq(p、q是常數）.前n項和公式：Snna1nn1na1an2d2常用性質：若mnpqm,n,p,qN，則amanapaq；下標為等差數列的項ak,akm,ak2m,，仍構成等差數列；數列anb（,b為常數）仍為等差數列；若an、bn是等差數列，則kan、kanpbn(k、p是非零常數)、apnq(p,qN*)、，也成等差數列。單調性：an的公差為d，則：）d0an為遞加數列；）d0an為遞減數列；）d0an為常數列；數列an為等差數列anpnq（p,q是常數）若等差數列a

47、n的前項和，則、是等差數列。3、等比數列定義：假如一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列。等比中項：若三數a、G、b成等比數列G2ab,（ab同號）。反之不必定建立。通項公式：ana1qn1amqnma11qna1anq前n項和公式：Sn1q1q常用性質若mnpqm,n,p,qN，則amanapaq；ak,akm,ak2m,為等比數列，公比為qk(下標成等差數列,則對應的項成等比數列)數列an（為不等于零的常數）還是公比為q的等比數列；正項等比數列an；則lgan是公差為lgq的等差數列；若an是等比數列，則can，an2，1，ananr(rZ)是

48、等比數列，公比挨次是21r.q，q，qq單調性：a10,q1或a10,0q1an為遞加數列；a10,0q1或a10,q1an為遞減數列；q1an為常數列；q0an為搖動數列；既是等差數列又是等比數列的數列是常數列。若等比數列an的前項和，則、是等比數列.4、非等差、等比數列通項公式的求法種類察見解：已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，找尋規律，從而依據規律寫出此數列的一個通項。種類公式法：若已知數列的前項和與an的關系，求數列an的通項an可用公式anS1,(n1)SnSn1,(n構造兩式作差求解。2)用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種

49、是“合二為一”，即a1和an合為一個表達，（要先分n1和n2兩種狀況分別進行運算，而后考據能否一致）。種類累加法：形如an1anf(n)型的遞推數列（此中f(n)是關anan1f(n1)于n的函數）可構造：an1an2f(n2).a2a1f(1)將上述n1個式子兩邊分別相加，可得：anf(n1)f(n2).f(2)f(1)a1,(n2)若f(n)是關于n的一次函數，累加后可轉變為等差數列乞降;若f(n)是關于n的指數函數，累加后可轉變為等比數列乞降;若f(n)是關于n的二次函數，累加后可分組乞降;若f(n)是關于n的分式函數，累加后可裂項乞降.種類累乘法：形如an1anf(n)an1f(n)型

50、的遞推數列（其ananf(n1)an1an1f(n2)中f(n)是關于n的函數）可構造：an2.a2f(1)a1將上述n1個式子兩邊分別相乘，可得：anf(n1)f(n2).f(2)f(1)a1,(n2)有時若不可以直接用，可變形成這種形式，而后用這種方法求解。種類構造數列法：形如an1panq（此中p,q均為常數且p0）型的遞推式：1）若p1時，數列an為等差數列;2）若q0時，數列an為等比數列;（3）若p1且q0時，數列an為線性遞推數列，其通項可經過待定系數法構造等比數列來求.方法有以下兩種：法一：設an1p(an),張開移項整理得an1pan(p1),與題設an1panq比較系數（待

51、定系數法）得pq,(p0)an1q1p(anpq)1p1anqp(an1pq),即anq構成p11p1qp為公比的等比數列.再利用以a1為首項，以p1等比數列的通項公式求出anq的通項整理可p1得an.法二：由an1panq得anpan1q(n2)兩式相減并整理得an1anp,即an1an構成以anan1a2a1為首項，以p為公比的等比數列.求出an1an的通項再轉變為種類（累加法）即可求出an.形如an1panf(n)(p1)型的遞推式：當f(n)為一次函數種類（即等差數列）時：法一：設anAnBpan1A(n1)B，經過待定系數法確定A、B的值，轉變為以a1AB為首項，以p為公比的等比數列

52、anAnB，再利用等比數列的通項公式求出anAnB的通項整理可得an.法二：當f(n)的公差為d時，由遞推式得：an1panf(n)，anpan1f(n1)兩式相減得：an1anp(anan1)d，令bnan1an得：bnpbn1d轉變為種類求出bn，再用種類（累加法）即可求出an.當f(n)為指數函數種類（即等比數列）時：法一：設anf(n)pan1f(n1)，經過待定系數法確定的值，轉變為以a1f(1)為首項，以p為公比的等比數列anfn，再利用等比數()列的通項公式求出anfnan.()的通項整理可得法二：當f(n)的公比為q時，由遞推式得：an1panf(n)，anpan1f(n1)，

53、兩邊同時乘以q得anqpqan1qf(n1)，由兩式相減得an1anqp(anqan1)，即an1qanp，在轉變為種類即可求出an.anqan1法三：遞推公式為an1panqn（此中p，q均為常數）或an1panrqn（此中p，q,r均為常數）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以qn1，得：an1pan1，引入輔助數列bn（此中qn1?qnqqbnanp1再應用種類的方qn），得：bn1bnqq法解決。當f(n)為任意數列時，可用通法：在an1panf(n)兩邊同時除以pn1可獲取an1anf(n)anbnf(n)pn1pnpn1，令nbn，則bn1pn1，p在轉變為種類（累加法），求出bn以后

54、得anpnbn.種類對數變換法：形如an1paq(p0,an0)型的遞推式：在原遞推式an1paq兩邊取對數得lgan1qlganlgp，令bnlgan得：bn1qbnlgp，化歸為an1panq型，求出bn以后得an10bn.（注意：底數不必定要取10，可依據題意選擇）。種類倒數變換法：一般地，當數列的通項anc形如an1anpan1an（p為常數且p0）的遞推式：兩邊同除于an1an，轉變為11p形式，anan1化歸為an1panq型求出1的表達式，再求an；an還有形如an1man的遞推式，也可采納取倒數方panq法轉變為1m1m形式，化歸為an1panqan1qanp型求出1的表達式，

55、再求an.an種類形如an2pan1qan型的遞推式：用待定系數法，化為特別數列anan1的形式求解。方法為：設an2kan1h(an1kan)，比較系數得hkp,hkq，可解得h、k，于是an1kan是公比為h的等比數列，這樣就化歸為an1panq型。總之，求數列通項公式可依據數列特色采納以上不一樣方法求解，對不可以轉變為以上方法求解的數列，可用概括、猜想、證明方法求出數列通項公式an.5、非等差、等比數列前n項和公式的求法錯位相減法若數列an為等差數列，數列bn為等比數列，則數列anbn的乞降就要采納此法.將數列anbn的每一項分別乘以bn的公比，而后在錯位相減，從而可獲取數列anbn的前

56、n項和.此法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法.裂項相消法(anb1)(anb2)(a,b1,b2,c為常數）時，常常可將an變為兩項的差，采納裂項相消法乞降.可用待定系數法進行裂項：設an，通分整理后與原式相anb1anb2c比較，依據對應項系數相等得，從而可得b2b1cc11=().(anb1)(anb2)(b2b1)anb1anb2常有的拆項公式有：11)11；n(nnn1(2n11)1(11);1)(2n22n12n11b1(ab);aabCnm1Cnm1Cnm;nn!(n1)!n!.分組法乞降有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這種數列合適打開，可分為幾個等差、等

57、比或常見的數列，而后分別乞降，再將其合并即可.一般分兩步：找通向項公式由通項公式確定如何分組.倒序相加法假如一個數列an，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就獲取了一個常數列的和，這種乞降方法稱為倒序相加法。特色：a1ana2an1.記著常有數列的前n項和：123.nn(n1);2135.(2n1)n2;122232.n21n(n1)(2n1).6第三章：不等式、不等關系與不等式1、不等式的基天性質（對稱性）abba（傳達性）ab,bcac（可加性）abacbc（同向可加性）ab,cdacbd（異向可減性）ab,cdacbd（可積性）ab,c0ac

58、bcab,c0acbc（同向正數可乘性）ab0,cd0acbd（異向正數可除性）ab0,0cdabcd（平方法規）ab0anbn(nN,且n1)（開方法規）ab0nanb(nN,且n1)（倒數法規）ab011;ab011abab2、幾個重要不等式a2b22aba，bR,（當且僅當ab時取號）.變形公式：aba2b2.2（基本不等式）ababa，bR,（當2且僅當ab時取到等號）.a2變形公式：ab2ababb.2用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.（三個正數的算術幾何均勻不等式）abc3abc(a、b、cR)（當且僅當bc時取到等號）.a2

59、b2c2abbccaa，bR（當且僅當abc時取到等號）.a3b3c33abc(a0,b0,c0)（當且僅當abc時取到等號）.若ab0,則ba2（當僅當a=b時取等號）ab若ab0,則ba2（當僅當a=b時取等號）abbbm1anaaambnb此中(ab0，m0，n0)規律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.當a0時，xax2a2xa或xa;xax2a2axa.絕對值三角不等式ababab.3、幾個有名不等式均勻不等式：2aba2b2a1b1ab22abR,（當且僅當ab時取號）.，（即調停均勻幾何均勻算術均勻平方均勻）.變形公式：2a2b2abab;22a2b2(ab)2.2冪均勻不等式

60、：a12a22.an21(a1a2.an)2.n二維形式的三角不等式：x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2(x1,y1,x2,y2R).二維形式的柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).當且僅當adbc時，等號建立.三維形式的柯西不等式：2222222(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3).(a12a22.an2)(b12b22.bn2)(a1b1a2b2.anbn)2.向量形式的柯西不等式：urururururur設,是兩個向量，則,當且僅當urkurur是零向量，或存在實數，使k時，等號成立.排序不等式（排序原理）：設a