1、1.4三角函數的圖象與性質1.4.1正弦函數、余弦函數的圖象教學案整體設計教學分析研究函數的性質常常以圖象直觀為基礎，這點學生已經有些經驗，通過觀察函數的圖象，從圖象的特征獲得函數的性質是一個基本方法，這也是數形結合思想的應用.正弦函數、余弦函數的教學也是如此.先研究它們的圖象，在此基礎上再利用圖象來研究它們的性質.顯然，加強數形結合是深入研究函數性質的基本要求.由于三角函數是刻畫周期變化現象的數學模型，這也是三角函數不同于其他類型函數的最重要的地方，而且對于周期函數，我們只要認識清楚它在一個周期的區間上的性質，那么它的性質也就完全清楚了，因此，教科書把對周期性的研究放在了首位.另外，教科書通

2、過“旁白”，指出研究三角函數性質“就是要研究這類函數具有的共同特點”，這是對數學思考方向的一種引導.由于正弦線、余弦線已經從“形”的角度描述了三角函數，因此利用單位圓中的三角函數線畫正弦函數圖象是一個自然的想法.當然，我們還可以通過三角函數的定義、三角函數值之間的內在聯系性等來作圖，從畫出的圖形中觀察得出五個關鍵點，得到“五點法”畫正弦函數、余弦函數的簡圖.三維目標通過實驗演示，讓學生經歷圖象畫法的過程及方法，通過對圖象的感知，形成正弦曲線的初步認識，進而探索正弦曲線準確的作法，養成善于發現、善于探究的良好習慣.學會遇到新問題時善于調動所學過的知識，較好地運用新舊知識之間的聯系，提高分析問題、

3、解決問題的能力.通過本節學習，理解正弦函數、余弦函數圖象的畫法.借助圖象變換，了解函數之間的內在聯系.通過三角函數圖象的三種畫法:描點法、幾何法、五點法，體會用“五點法”作圖給我們學習帶來的好處，并會熟練地畫出一些較簡單的函數圖象.通過本節的學習，讓學生體會數學中的圖形美，體驗善于動手操作、合作探究的學習方法帶來的成功愉悅.滲透由抽象到具體的思想，加深數形結合思想的認識，理解動與靜的辯證關系，樹立科學的辯證唯物主義觀.重點難點教學重點:正弦函數、余弦函數的圖象.教學難點:將單位圓中的正弦線通過平移轉化為正弦函數圖象上的點；正弦函數與余弦函數圖象間的關系.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.（

4、復習導入）遇到一個新的函數，非常自然的是畫出它的圖象，觀察圖象的形狀，看看有什么特殊點，并借助圖象研究它的性質，如:值域、單調性、奇偶性、最大值與最小值等我們也很自然的想知道y=sinx與丁=3$%的圖象是怎樣的呢？回憶我們在必修1中學過的指數函數、對數函數的圖象是什么？是如何畫出它們圖象的（列表描點法:列表、描點、連線）？進而引導學生通過取值，畫出當xWO,2兀時，y=sinx的圖象.思路2（情境導入）請學生動手做一做章頭圖表示的“簡諧運動”實驗.教師指導學生將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗，再掛在架子上，就做成了一個簡易單擺.在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸.把漏

5、斗灌上沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖象.物理中把簡諧運動的圖象叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”.它表示了漏斗對平衡位置的位移s（縱坐標）隨時間t（橫坐標）變化的情況.有了上述實驗，你對正弦函數、余弦函數的圖象是否有了一個直觀的印象？畫函數的圖象，最基本的方法是我們以前熟知的列表描點法，但不夠精確.下面我們利用正弦線畫出比較精確的正弦函數圖象.推進新課新知探究提出問題問題:作正弦函數圖象的各點的縱坐標都是查三角函數表得到的數值，由于對一般角的三角函數值都是近似值，不易描出對應點的精確位置.我們如何得到任意角的三角函數值并用線段長（

6、或用有向線段數值）表示x角的三角函數值？怎樣得到函數圖象上點的兩個坐標的準確數據呢？簡單地說，就是如何得到ly=sinx,xWO,2兀的精確圖象呢？問題:如何得至y=sinx，xWR時的圖象？活動:教師先讓學生閱讀教材、思考討論，對于程度較弱的學生，教師指導他們查閱課本上的正弦線此處的難點在于為什么要用正弦線來作正弦函數的圖象,怎樣在x軸上標橫坐標？為什么將單位圓分成12份？學生思考探索仍不得要領時，教師可進行適時的點撥.只要解決了y=sinx，xWO,2兀的圖象，就很容易得至血二sinx,xR時的圖象了.對問題，第一步，可以想象把單位圓圓周剪開并12等分，再把x軸上從0到2n這一段分成12等

7、份.由于單位圓周長是2龍，這樣就解決了橫坐標問題.過0O上的各分點作x軸的兀兀兀兀垂線，就可以得到對應于0、刀、了、廳、2斎角的正弦線，這樣就解決了縱坐6432標問題（相當于“列表”）第二步，把角x的正弦線向右平移，使它的起點與x軸上的點x重合,這就得到了函數對（x,y）（相當于“描點”）.第三步，再把這些正弦線的終點用平滑曲線連接起來，我們就得到函數y=sinx在0,2n上的一段光滑曲線（相當于“連線”）.如圖1所示（這一過程用課件演示，讓學生仔細觀察怎樣平移和連線過程.然后讓學生動手作圖，形成對問題，因為終邊相同的角有相同的三角函數值，所以函=sinx在xW2kn,2（k+1）n,kGZ且

8、kM0上的圖象與函數y=sinx在x0,2n上的圖象的形狀完全一致，只是位置不同于是我們只要將函數y=sinx,xW0,2n的圖象向左、右平行移動（每次2n個單位長度），就可以得到正弦函數y=sinx,xGR的圖象（這一過程用課件處理，讓同學們仔細觀察整個圖的形成過程，感知周期性）_V=sinx,XWR圖2討論結果:利用正弦線，通過等分單位圓及平移即可得至血二sinx,xW0,2n的圖象.左、右平移，每次2n個長度單位即可.提出問題如何畫出余弦函數y=cosx,xWR的圖象？你能從正弦函數與余弦函數的關系出發，利用正弦函數圖象得到余弦函數圖象嗎？活動:如果再用余弦線作余弦函數的圖象那太麻煩了，

9、根據已學的知識，教師引導學生觀察誘導公式，思考探究兩個函數之間的關系，通過怎樣的坐標變換可得到余弦函數圖象？讓學生從函數解析式之間的關系思考，進而學習通過圖象變換畫余弦函數圖象的方法.讓學生動手做一做，體會正弦函數圖象與余弦函數圖象的異同，感知兩個函數的整體形狀，為下一步學習正弦函數、余弦函數的性質打下基礎.討論結果:把正弦函數ysinx,xR的圖象向左平移2個單位長度即可得到余弦函數圖象.如圖3.正弦函數：y=sinx，xR的圖象和余弦函=cosx,xR的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線點.提出問題問題：以上方法作圖，雖然精確，但不太實用，自然我們想尋求快捷地畫出正弦函數圖象的方法.你認為哪些

10、點是關鍵性的點？問題:你能確定余弦函數圖象的關鍵點，并作出它在0,2n上的圖象嗎？活動:對問題，教師可引導學生從圖象的整體入手觀察正弦函數的圖象，發現在0，2n上有五個點起關鍵作用，只要描出這五個點后，函數y=sinx在0,2n上的圖象的形狀就基本上確定了.這五點如下:(0，0)，(，1)，(n,0)，(三，-1)，(2n,0).因此，在精確度要求不太高時，我們常常先找出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線將它們連接起來，就可快速得到函數的簡圖.這種近似的“五點(畫圖)法”是非常實用的，要求熟練掌握.對問題，引導學生通過類比，很容易確定在0,2n上起關鍵作用的五個點，并指導學生通過描這五個點作出在0

11、,2n上的圖象.討論結果:略.冗3兀關鍵點也有五個，它們是：(0,1),(,0),(n,-1),(-牙,0),(2n,1).應用示例思路1例1畫出下列函數的簡圖(1)y=1+sinx,xW0,2n；(2)y=-cosx,xW0,2n.活動:本例的目的是讓學生在教師的指導下會用“五點法”畫圖，并通過獨立完成課后練習1領悟畫正弦、余弦函數圖象的要領，最終達到熟練掌握.從實際教學來看，“五點法”畫圖易學卻難掌握，學生需練好扎實的基本功.可先讓學生按“列表、描點、連線”三步來完成.對學生出現的種種失誤，教師不要著急，在學生操作中指導一一糾正，這對以后學習大有好處.解:(1)按五個關鍵點列表:7=sin

12、x,xe0,2n圖4(2)按五個關鍵點列表:A=-cosx,xe0,2ny=cosx,xw0,2n圖5點評:“五點法”是畫正弦函數、余弦函數簡圖的基本方法，本例是最簡單的變化.本例的目的是讓學生熟悉“五點法”.如果是多媒體教學，要突破課件教學的互動性，多留給學生一些動手操作的時間，或者增加圖象糾錯的環節，效果將會令人滿意，切不可教師畫圖學生看.完成本例后，讓學生閱讀本例下面的“思考”，并回答如何通過圖象變換得出要畫的圖象，讓學生從另一個角度熟悉函數作圖的方法.變式訓練2007山東臨沂一摸統考17(1)在給定的直角坐標系如圖6中，作出函數f(xX、込cos(2x+-)在區間0,刃上的圖象.解:列

13、表取點如下:x03兀5兀7n2x+寸冗n3兀2n9兀f(x)10-勺201圖7思路2描點連線作出函嘰7cos（2x+4）在區間，刃上的圖象如圖7所示.例1畫出函數y=|sinx|,xR的簡圖.活動:教師引導學生觀察探究y=sinx的圖象并思考丨sinx丨的意義，發現只要將其x軸下方的圖象翻上去即可進一步探究發現，只要畫出y=|sinx|，x0,刃的圖象，然后左、右平移（每次兀個單位）就可以得到y=|sinx|，xR的圖象.讓學生嘗試尋找在0,刃上哪些點兀起關鍵作用，易看出起關鍵作用的點有三個：（0，0），（-，1），（n，0）.然后列表、描點、連線，讓學生自己獨立操作完成，對其失誤的地方再予以

14、一一糾正.解:按三個關鍵點列表:x0冗nsinx010y=|sinx|010描點并將它們用光滑的曲線連接起來（圖8）./一一2兀一警一7tn_207T兀乎2兀X圖8點評:通過本例，讓學生更深刻地理解正弦曲線及“五點法”畫圖的要義，并進步從圖象變換的角度認識函數之間的關系，也為下一步將要學習的周期打下伏筆.x變式訓練方程sinx=10的根的個數為（）A.7B.8C.9D.10解:這是一個超越方程，無法直接求解，可引導學生考慮數形結合的思想方法，將其轉x化為函數丁=jo的圖象與y=sinx的圖象的交點個數問題，借助圖形直觀求解解好本題的關鍵是正確地畫出正弦函數的圖象.如答案:A2.用五點法作函數y

15、=2sin2x的圖象時，首先應描出的五點橫坐標可以是（)冗3兀3兀A.0，-，2nB.0，n22424兀2兀C.0，n，2n，3n，4nD.0，-，6323答案:B知能訓練課本本節練習解答:可以用單位圓中的三角函數線作出它們的圖象，也可以用“五點法”作出它們的圖象還可以用圖形計算器或計算機直接作出它們的圖象.兩條曲線形狀相同，位置不同，例如函兀3兀數丁=$2加，x0,2刃的圖象，可以通過將函數丁=咖%,x,的圖象向右平行移動兀-個單位長度而得到（圖10）.1圖10點評:在同一個直角坐標系中畫出兩個函數圖象，利于對它們進行對比，可以加強正弦函數與余弦函數的聯系.通過多種方法畫圖，滲透數形結合思想

16、，強化學生對數學概念本質的認識.兩個函數的圖象相同.點評:先用“五點法”畫出余弦函數的圖象，再通過對比函數解析式發現另一函數的圖象的變化規律，最后變換余弦曲線得到另一函數的圖象（圖11）.課堂小結以提問的方式，先由學生反思學習內容并回答，教師再作補充完善.i怎樣利用“周而復始”的特點，把區間o,2n上的圖象擴展到整個定義域的？如何利用圖象變換從正弦曲線得到余弦曲線？這節課學習了正弦函數、余弦函數圖象的畫法.除了它們共同的代數描點法、幾何描點法之外，余弦函數圖象還可由平移交換法得到.“五點法”作圖是比較方便、實用的方法，應熟練掌握.數形結合思想、運動變化觀點都是學習本課內容的重要思想方法.作業課本習題1.4A組1.預習下一節:正弦函數、余弦函數的性質.設計感想本節課操作性強，學生活動量較大.新課從實驗演示入手，形成圖象的感知后，升級問題，探索正弦曲線準確的作法，形成理性認識.問題設置層層深入，引導學生發現問題，