二次型經可逆線性變換化為標準形和經正交變換化為標準形有什么區別_第1頁
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1、 二次型經可逆線性變換化為標準形和經正交變換化為標準形有什么區別？首先要搞清兩個概念：矩陣的相似和合同矩陣的相似：設A、B為n階矩陣，若存在可逆矩陣P使P-1APB,則A與B相似。相似的性質相似的必要條件：若AB則|A|=(1:r(A)r(B)；3,eA=|九eB即有相同的特征值；=工b.。矩陣的合同：A和B為兩個n階對稱矩陣若存在n階可逆矩陣C使CtAC=B,則稱A與B合同。1例如：A=1,B11,則有CtACB,顯然兩矩陣合同特征值未必相同!2丿 #從而兩矩陣合同未必相似！由實對稱矩陣的性質實對稱矩陣一定能相似對角化。從而一定存在可逆陣P使得P-1APA特別地,1必有正交矩陣Q(Q-1Qt

2、)使Q-1AQQtAQ,i1,2,3為A的特征值，故而任意2iI，丿一個實對稱矩陣A，一定存在正交矩陣Q，使得A不僅合同而且相似于一個對角陣。面看看什么叫可逆線性變化和正交變換？Cc11c21c31c12c22c3213C23，|C|0,若C為可逆矩陣，稱xCy為可逆線性變換;c丿33 # 若C是正交矩陣，稱xCy為正交變換。下面來看看對一個二次型施行可逆線性變換會帶來什么？以三元二次型為例：f(x,x,x)XTAx3xC蘭可逆(Cy)TA(Cy)=yT(CtAC)y=yTBy且Bt(CtAC)t=CtAC=B123故經可逆線性變換f(x,x,x)仍為關于y,y,y的二次型，且原二次型矩陣A和

3、新二次型矩陣B是合同的關123123系，若C是正交矩陣那么CtC1BCtACC1AC所以A,B不僅合同而且相似。對于任意一個實對稱矩陣A，定存在正交矩陣Q(Q-1Qt)使得Q-1AQQtAQ二A=,i1,2,3為A的特征值,i3丿因此若用正交變換xQyxTAxyTAy,1y2+,2y2+,3y2標準形即A與A合同且A與A相似其中A的對角線，1,，3為A的特征值。所以只有用正交變換化二次型為標準形時標準形平方項的系數才是A的特征值。而經一般的可逆線性變換（如配方法）化二次型為標準形，標準形平方項的系數未必為A的特征值。下面來看一個具體的例子：二次型f(x,x,x)x2+5x2+5x2+2xx4x

4、x，213123123二次型的矩陣A(11-2，205丿X，1，12，1X，5020X，5r+2r32X，1，10，1X，52(X，5)20X，5X，1c一2c，1230，5X，5020X，5(X，5)X；-5X，5九（九-5）（X-6），A的特征值為5,6,0，求出A的特征向量再單位化可以組成正 # #交矩陣Q，f(x,x,x)x2+5x2+5x2+2xx4xx經正交變換x=Qy化為5y2+6y2+0y2，1231231213123下面再看配方法：f(x,x,x)x2+5x2+5x2+2xx4xxx2+2x(x2x)+(x2x)2(x2x)2+5x2+5x212312312131123232323y1232x+x化231(x+x2x)2+4x2+4xx+x2(x+x2x

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