1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一個針對高速公路收費廣場的單車輛交互模型-一個針對高速公路收費廣場的單車輛交互模型IvanCorwinSheelGanatraNikitaRozenblyumHarvardUniversityCambridge,MA指導老師：CliffordH.Taubes摘要針對于一定數目的高速公路車道，我們找到了最適宜的，能將汽車平均等待時間最小化的收費站數目。基于對車輛和收費站的同質性的假設，我們創造了單車輛模型來描述車輛時的安全性考量和反應時間。多車輛交互模型，一個實時交通模擬模型，考慮了在接近收費站和合流區是

2、全球的車輛行為。根據來自奧蘭多-奧蘭治縣高速公路管理局的數據，我們模擬了真實的條件。對于交通密度高的情形，最適宜的收費站數目約超過高速公路車道數目的50%，而對于低交通密度的情形最適宜的收費站數目等于車道數目。定義和關鍵詞1.一個有著n條車道的收費廣場用空間d,d1,.,n來表示，其中集合01,.,n被稱為收費亭并且d是收費廣場的半徑。記收費站0i為i。子空間d,0)1,.,n被視作進入區間，離開區間則是(0,d1,.,n。2.一個高速公路/收費站廣場用空間H=(,d)1,.,md,d1,.,n(d,)1,.,m來表示，其中收費廣場（見上文）是子空間d,d1,.,n，高速公路的兩個分支則用(,

3、d)1,.,m和(d,)1,.,m表示。集合1,.,m,1,.,n中的元素分別是高速公路車道和收費站車道，R集中的元素是高速公路位置。在實際中，我們取mn。高速公路/收費廣場的叉點，是由高速公路位置-d確定的，在這個點所有的高速公路車道轉變為收費車道。相應地，高速公路/收費廣場的匯合點，由高速公路位置+d確定，在這個點所有的收費車道轉變為高速公路車道。一輛車C是用四元函數(L,a+,a,abrake)和位置函數p=(x,k):RH表示（其中x(t)對于所有t都連續）。在這里x(t)刻畫的是在高速公路上車輛C的前端所在位置，k(t)是高速公路或收費站車道的數目。令L為C的長度（單位為米），a+為

4、恒定舒適正加速度，a為恒定舒適制動加速度，abrake為最大剎車加速度。在一個固定的時間點，在C前面的區域H為有著較C而言更長的H部分，而在車C后面的區域則是C所具備的的最長的H區域減去L。H的速度限制vmax任何車輛在H所能行駛的最大速度。t時刻H的交通密度用(t)表示，是指平均每秒每車道通過高速公路的車輛數目，如果該位置沒有收費廣場。7.收費站Ti的平均服務速率s是指每秒鐘停下來，付過路費，離開的車輛的平均數目。表格一變量定義單位n收費站數目無交通密度車/秒T全部拖延時間秒X位置米V速度米/秒Xo初始減速時的位置米To初始減速的時間秒Xf到達速度上限時的位置米TfC車的位置秒x1C的位置米

5、x2C的位置米v1C的速度米/秒v2C的速度米/秒x1C減速后的位置米X2c減速后的位置米V1C減速后的速度米/秒V2C減速后的速度米/秒G安全距離米G減速后安全距離米T時間秒t額外時間秒c從汽車/安全間隙重疊補償減速米/秒的平方o從障礙/安全間隙重疊補償減速米/秒的平方X位置米V速度米/秒Ci收費站線路i的大小輛Li收費站線路i的長度米TserveC進入離開區域的時間秒TmergeC離開匯合點的時間秒Vout離開匯合點時C車的速度米/秒表格二常數含義單位d收費廣場的半徑米m高速公路車道的數目無單位a+舒適加速米/秒的平方a-舒適減速米/秒的平方Abrake急剎車減速米/秒的平方L車輛長度米V

6、max速度限制米/秒s平均服務速率車/秒對服務時間的標準偏差秒/車t預計反應時間秒意外的反應時間秒E行間距米一般假設時間時間的流逝用大小為T的時間來離散地表示。收費廣場的幾何特點高速公路是筆直平坦的，并且在收費廣場前后沿一個方向無限延伸。公路是無障礙的而且有一個固定的速度最高上限vmax。關于無限長高速公路的假設是基于收費站之間的距離足夠遠以致于一個收費站的擁堵不會明顯影響到鄰近收費站的通行。一輛車的位置僅有車道和水平位置來決定。從而，在一段有m條車道的路段上，車輛的位置有有序對(x,i)R1,.,m決定。收費站和線路一輛車在到達收費站是到達完全靜止。加速和減速從而移動位置所需要的時間是短于該

7、條線的服務時間的。從而，離開一條線路所需的平均時間是一個關于平均服務時間和線路上車輛數目的函數。一輛車不可能進入收費站除非之前的車全部離開收費站。所有的收費站都有同樣的遵從正態分布（平均值=1/s標準差為）的服務時間。叉點和匯合點高速公路和收費站之間的轉換是瞬間的。當從叉點進入到收費站車道時，車輛自動進入到最短的收費站線路。關于車輛的分流不會產生額外的延遲。從收費站車道進入匯合點的過程被稱作匯合，因為我們假設收費站車道的數目不少于高速公路車道的數目從而產生瓶頸效應進而出現延遲。最佳性對最佳性的測量應包括最低平均延遲，平均延遲，事故率，被延遲車輛比例的標準分布（Edie1954）。我們假設當車輛

8、經歷最低平均延遲時出現最佳性。特別的，對于一輛車C，令xo,to為車輛達到速度上限后第一次減速進入收費站的位置和時間，令xf,tf為再次到達高速公路以后C達到速度上線以后的位置和時間。那么車輛所經歷的延遲，或者說通過收費廣場而非無阻礙的通過所花費的時間是：其次我們更傾向于有著最低建造和運行成本的收費廣場。例如，有著更少收費站的收費廣場。特別地，針對一段給定高速公路，如果兩個n（收費站的數目）的值都能達到足夠接近的平均延遲時間那我們傾向于使用n值更低的那個值。讓我們換一種表達方式來描述這種問題：對于一個有著m條車道的高速公路和一個已知的交通密度模型，試求出能最小化車輛經過收費站時的平均延遲的收費

9、站的最小值。我們模型的期望對于足夠低的交通密度，由于收費站的等待隊伍不會增長，也沒有匯合困難，所以每輛車的延遲時間是相對固定且接近于理論最低值的。我們認為針對于低密度情形下最佳的收費站數目等于或者稍微超過車道的數目。對于高交通密度的情況，由于收費站的等待隊伍不足以應對車輛的流入，所以每輛車的延遲時間很長并且會持續增長。等待時間大致會以線性方式增長。我們認為針對于高密度的情形，最佳的收費站數目遠超車道數目。過多的收費站數目將會導致車輛低效匯合，從而在離開區域產生重大延遲。單車輛模型附加定義和假設一個對于C的障礙是指高速公路上的一個點，車輛C必須減速才能躲避撞擊。唯一一個納入考量的障礙是在特定條件

10、下的匯合點。在某個時間，對C的最大的危險是指最近的障礙或者C前面的車。意料之外的反應時間是指司機發現意外情形（突然停車）到身體做出反應（剎車，加速，轉向等）所花的時間。預計的反應時間t指司機發現預計情形（光線改變，車輛剎車，收費站）到身體做出反應（剎車，加速，轉向等）所花的時間。車輛都是同質的，也就是說都擁有相同的L,a+,a,abrake、所有的車輛都朝著一個正方向行進。所有的車輛都遵循最大速度上限vmax。并且除非受到限制，一輛車要么以這個速度行駛，要么正加速以達到此速度。特別地，在收費廣場鄰近區域外的地方，所有的車輛都以速度vmax行駛。除非受到限制，否則所有的車輛都以恒定的加速度a+，

11、a來加速或減速。除非是在叉點或者匯合點，否則車輛不會嘗試變道。也就是說，對于車輛C，k(t)是一個分段的常值函數，只會在x(t)=d或d時才改變。車輛C傾向于其前端和最近的物體保持一定距離，從而如果C以最大加速度abrake減速但卻不會撞擊到附近的物體。我們把這段距離稱作安全距離。已知C的位置,根據車輛C位置加上安全距離G從而確定安全位置。如果車輛C的安全位置和最近的安全風險不產生重疊，那么我們就可以把車輛C視作不受限的。一輛汽車能夠直接估計自己以及前面的車輛的位置和速度和匯合點的距離。如果車輛C和一個靜止車輛的距離足夠小達到E，那么C停止。最小值E固定。對于每輛汽車都存在延遲，反應時間，即是

12、指需要減速/加速的時間和實際作出調整的時間的差。Green將反應時間分成三種。涉及到我們的場景的有，預計反應時間t和意外反應時間（定義見上文）。盡管實際中每個人的反應時間存在差異，我們做出這樣一個簡化假設：所有的車輛都有同樣的反應時間：t=1s，=2s。反應時間為將時間離散為間隔為t提供了最夠的理由。司機不可能反應的更快。安全距離我們提出了針對于車輛C的安全距離G的公式，主要取決于最近的威脅C的速度。令C，C的實時速度為v1,v2.現假設C以加速度abrake減速。在時間v2/abrake后，車輛C停止。同時它行駛了距離：如果在意外反應時間后才是剎車，它將在時間+v1/abrake內停下，經過

13、距離：因此在過去的時間里，C和C間的距離將減少：因而這是C前端和C尾部避免撞擊的最小距離。考慮到車輛長度C，C和C間的最小距離，也就是安全距離是：現假設最近的威脅是一個障礙，特別地，匯合點。與其以最大加速度abrake減速，車輛C希望保持安全距離G從而能用正常減速度a減速。現在既然減速方式已知，車輛C會選擇以正常舒適加速度a減速。并且由于車輛C此時面臨的事件為預計事件，反應時間是t。又已知障礙的速度和長度皆為零。安全距離為：個體車輛的行為一輛車可能會在以下幾種情形：安全距離內不存在車輛或障礙，也就是說C是不受限制的。自然而然的，除非達到速度上限vmax，C將以加速度a+加速。在剎車距離內有收費

14、站，因為這是預計事件所以汽車以加速度a-減速。另一輛車C在安全距離內，所以C以加速度c減速這樣在下一個時間點，C就不在安全距離之內。C對c的取值取決于速度v1,v2,位置，x1,x2.如果C假定C仍然以相同速度前進，那么在下一個時間點t，新的位置和速度是：新的安全距離為：為了讓C2的新位置不在安全距離之內，我們必須使得：代入等式中我們便可得到：解出c的公式和C位于C后的情形下的平方根，我們可以得到：匯合點在在安全距離范圍內。安全距離的等式不同于之前的汽車追擊問題（使用abrake和）而是a和t。因此，根據上文里相同的理由，加速度為：最后，只要我們確定了C的新加速度，我們就能改變它下一個時間點的

15、位置和速度如下（令x,v,x,v分別為新舊速度和位置）：計算延遲的時間我們通過將車輛通過收費廣場的過程分為幾個步驟來計算C的延遲時間T。第一個階段是車輛臨近收費站開始減速，第二個是重新匯合到高速車道，第三個是加速到達速度上限。基于我們之前的假設：車輛不更改車道并且車輛均勻分布在各車道中，車輛在叉點的分流不會耗費任何時間。我們發現進入一個收費站的過程可以拆分如下：從速度上限減速直到停止。我們假設車輛達到收費站車道和收費站時完全靜止。因此車輛接近收費廣場的第一個動作就是減速為零。以恒定加速度a-，車在vmax/a-的時間里從速度上限減到零，行駛過的距離為v2max/2a。線路分配當車輛接近收費廣場

16、時，它會被分到當時最短的序列。令c1為在車道i中汽車的數目。每輛汽車之間都相隔間距e。因此只要排隊線路長度小于d，我們就可以得到派對線路的長度為Li=ci*(L+e),其中L為車輛的長度。如果ci*(L+e)d，那么這條排隊線路就會延伸到叉點區域，其中叉點區域有m條車道而非n條。現假設排隊線路的長度大致相等，最小排隊線路長度增加一輛小車，則排隊車輛的總數目就增加n。從而叉點區域的m條車道每一條都會有額外二等n/m輛汽車。Li遵循如下公式：通過收費站線路的運動車輛C進入到收費站線路，如果它被指派的那條線路存在。也就是說長度Li是正值。在這樣的情況下，C必須等待直到之前的整條線路上的車輛都接受過服

17、務。令Tserve為車輛在經過收費站服務后進入離開區域的時間。如果在匯合區域存在太多車輛以致于C不能離開收費站，Tserve就是之前的隊伍離開的距離足夠遠，C實際離開收費站的時間。在離開區域的運動有幾種不同的可能情形會在離開區域發生：一旦C進入離開區域，它就持續加速直到另外一輛汽車或者匯合點出現在安全距離內。如果另外一輛車C進入到C的安全距離，C會減速跟著C直到C匯合，此時匯聚點剛好在安全距離之內。當C的安全位置到達匯聚點時，如果遇到剛好前面有車則C會減速從而避開匯合點和安全距離重合，把這個匯合點視作一個障礙。這是為了讓其他已經開始匯合的車輛能夠順利完成匯合。當上述情況不存在時，C匯合并且不受

18、限地在離開區域加速直到達到速度上限。令Tmerge為C匯合的時間，Vout為當時的速度。則有：根據（1），C所經歷的延遲是：多車輛交互模型我們現在來試著確定在一定時間內進入收費廣場的一定數目的車輛的平均延遲時間。我們模擬一群車輛按著特定的時間表到達并且均分他們的延遲時間。這里有兩個復雜事項：決定到達的時間表（不同車輛的分布）和兩個變量Tmerge，Vout(在上文的延遲時間公式里出現)。為了能用計算機得到平均拖延時間，我們必須使用交通密度函數（t）來產生車輛到達時間表。我們通過函數隨機指定到達時間從而產生車輛到達時間表。我們通過這份表格可以確定在指定時間點哪輛車開始減速。不幸的是這個任務并不如

19、決定一輛車的到達時間小于現在時間點那樣簡單。到達時間表提供了不受限情況下車輛到達0位置（高速公路上）的時間。我們希望得到當一輛車達到和收費站線路一定距離時的時間。也就是說給定一輛車在時間t位于集合點（0也就是收費站）,我們希望求得車輛通過收費站線路的前端時的t。這就變成了一個伽利略相對論的問題，易知t=tli(t)/vmax。現在li(t)已知，我們可以精確得知車輛何時進入收費站線路。因為長度隨車輛加入增加，離開減少，為了跟蹤記錄收費站線路的長度，我們用線路2和差等式來表示車輛流入：當車輛抵達時間到達時，我們立即將車輛分派到當時最短的收費站線路。我們引入正態分布（1/s,）。其中s是指服務速率

20、，的值為1/6s。第二個在模擬多車輛過程之中需要考慮的是如何確定每輛車的Tmerge,Vout.我們的時間點模型允許我們重復地更新每輛車從而在每個時間點決定單個車輛的行動。遵從之前模塊的規則，我們精確的知道在何時怎樣地加速(a+)或者減速(c,o)。并且我們觀察到收費站里的第一輛車接近匯合點時會加入到一個匯合隊伍（和最多n個車輛）。唯一一次（在隊伍中的）車輛不把隊伍視作障礙（并減速）是當高速公路無車并且車輛被允許加速通過匯合點。當車道里的車加速L+e通過匯合點。給定一條m車道的高速公路，交通密度函數，各個常數值，憑借這個多車輛交互模型我們可以通過一種方法來計算收費站車道n的最佳數量。我們可以在

21、有限范圍內估算最佳數目n的可能取值。每一個n值都被我們代入進模型，計算每一輛車經歷的延遲并將其平均到每輛車上從而取得平均拖延。之后我們比較每一個n值得平均拖延，選定最小的n使得平均延遲和最小值的差不大于1s。案例分析為了在測試中使用，常數和密度函數需要是合理確定的值。大部分的數據取自奧蘭多-奧蘭治縣高速公路管理局2004和大量關于汽車的報告。我們先從幾個關于交通密度函數的基本假設入手。1.為了決定最佳平均延遲，計算出選定的合適的一天的平均延遲即可滿足，只當天存在高低密度的交通函數。這樣做是合理的因為在大多是情況交通形勢總是遵循相識的模式。因此我們限制的定義域0,360024。2.函數（t）是分

22、段常值函數，基于小時而變化。這樣做是合理的，因為車輛是離散的，（t）是一個大量時間取平均的函數因而必定是分段常值函數。3.新出現的一輛車和之后的一輛車應該遵循標準正態分布。奧蘭多-奧蘭治縣高速公路管理局的2004年度報告讓我們建立了一個用于測試的實時交通密度函數。報告包含了幾條弗羅里達州公路每小時的車輛數量，之前被用于關于正常到達時間從而研究出車輛在高速公路上的到達時間表。我們對之前定義的常數假定了幾個具有現實意義的值。(表格三)表格三測試中用到的常數的值常數名稱符號值舒適加速度a+2m/s2舒適減速度a2m/s2急剎車減速度abrake8m/s2車輛長度L4m速度上限vmax30m/s線路行

23、距e1m我們的模型假設平均來看每一個收費站都在以一個大約為s輛車每秒的速度工作。但是每一種類型的收費站，人工操縱的，機器操縱的，激光操縱的（例如EZpass）都有不同的服務速率。我們嘗試著通過求得一個復合值s來代表各種各種不同的收費站的服務速率。根據Edie1954年的研究，人工操縱的收費站平均等待時間（服務速率的倒數）是每輛汽車12秒，根據奧蘭多-奧蘭治縣高速公路管理局的數據，他們的激光操縱收費站，也就是Epass,的平均服務速率是每輛汽車2秒。相似的，來自于德克薩斯州交通局2001年關于休斯頓的統計數據顯示：人工操縱收費站和機器操縱收費站的工作速率分別為每輛車10秒和7秒。觀察這些數據可知

24、合理地平均等待時間為每輛車5秒，也就是說平均服務速率為0.2輛車每秒。為了驗證結論的正確性，我們考核了6條弗羅里達州高速公路的每小時交通流量，從2車道到4車道和不同的交通流量（奧蘭多-奧蘭治縣高速公路管理局）。我們使用這些數據來獲取（t）并且測試我們模型的不同組成部分。在模型調試之后，我們用我們的模型來確定最佳的收費站分布。我們觀察了兩個典型案例。一個半徑為250米的收費廣場是相當標準的（奧蘭多-奧蘭治縣高速公路管理局）。六條高速公路上的每小時交通密度都遵循相同的形式，他們主要在范圍而非形態上出現差距。因此，我們將模型應用于這樣的標準高速公路，4車道HollandWest(高密度)和三車道Be

25、eLine(低密度)。我們將這些模型外推到從1車道到7車道的模型上。對于m條車道，我們把數據調節為m/4（HollandWest）,m/3（BeeLine）。這樣做能在增加接近收費廣場的車輛總數時保持模型的形狀和車輛密度。此處應有截圖對交通模擬模型的驗證基于最佳性的衡量標準，針對于不同的測試場景我們決定出最小的收費站數量使得每天的平均延遲時間和最小值的差不大于1秒。具體數據見表4。針對于三個收費廣場的模擬接近于真是結果，其他的三個則只和標準值有些微差距。在DeanRoad的案例中，四個收費站（實際案例）而非五個收費站有著更長的平均等待時間（70s相較于25s）。針對于BeeLine和Holla

26、ndWest的案例，差距至多只有1秒。這樣的結果說明我們的模型大致符合真實世界。模型預測的最佳收費站數目和實際的收費站數目比較高速公路收費站比較Hiawassee相同Parkway相同DeanRoad不同BeeLine接近HollandWest接近HollandEast相同結果和討論根據來自奧蘭多-奧蘭治縣高速公路管理局的真實數據，我們設想出了14種場景，從1-7條車道的高低交通密度。對于每一個場景n（收費站數目n）我們測試了從m（高速公路收費站數目）到2m+2的每一個值（就經驗來說我們發現這個范圍之外的測試無意義）并發現在哪一個n值有著最少的平均延遲時間。我們將我們關于最佳性的研究結果呈現與

27、表格5中。針對于高交通密度以及大于兩條車道的情形，最佳收費站數目一般超過高速公路數目50%，這樣的數據看起來可以匹配收費廣場的現行設計。針對低密度，最佳收費站數目等于高速公路車道數目。表格5最佳收費站數目高密度低密度車道12345671234567收費站345689111234567針對于高密度但卻只有一樣多的收費站和車道情形，平均延遲時間大約為500s，大約是最佳收費站數目的20倍（25s）。所以我們強烈反對在高密度情形下建造一樣多的車道和收費站。但如果是低密度情形那么這是合理的（22s）。進一步研究為了更精確的模擬真實世界的場景，我們可以：考慮異質的車輛和收費站的效應。把車輛，有著自己的尺

28、寸和加速度，而非只有汽車納入考量。將廣場半徑設為變量。模型的優點多車輛交互模型的優點主要是來自我們對單車輛行為全面真實的研究。安全距離以及加速度選擇，預計情況和意外情況的發生都能在交通理論中找到支撐Gartner1992。匯合點的主意以及一輛車在接近匯合點時的行為都是在模仿實際中道路行駛權的應用和小心接近車道匯合點。我們關于時間點的假設真實地滿足了普通決策所需要的條件，使得我們不僅可以在局部，細微的范圍理解收費廣場的全貌，還可以理解到整體的趨勢。最后，通過允許對服務時間和到達時間里的特定元素使用正態分布，我們得以理解在交通里的一些不確定性。我們模型的一個重大優勢便是結果的準確性，我們的模型滿足了我們之前所有的期望還預測了非常接近現實世界的最佳收費站數目，意味著我們的模型接近于真實世界。最后多車輛交互模型為進一步改善提供了一個