1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學期8月診斷調研測試數學試題一、單選題1已知集合，若，則實數的取值范圍是（）ABCD【答案】B【解析】由可得，再對集合分類討論，即可得答案；【詳解】若，則，解得；若，則應滿足：，解得；綜上得故選：B【點睛】本題考查根據集合間的基本關系求參數的取值，考查運算求解能力，求解時注意等號能否取到.2已知，為正實數，則“”是“”的（）A充要條件B必要不充分條件C充分不必要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由，利用均值不等式，可證明；若，舉反例可知不一定成立，即得解【詳解】由，為正實數，當且僅

2、當時等號成立若，可得，故必要性成立；當，此時，但，故充分性不成立；因此“”是“”的必要不充分條件故選：B3已知，則不等式的解集為（）ABCD【答案】B【分析】確定函數的奇偶性，由導數確定單調性，然后由奇偶性變形不等式，由單調性求解【詳解】由題意知的定義域為R，且，得為奇函數，且，且在上單調遞增由得，即解得故選：B41883年，德國數學家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構造過程的圖示，其詳細構造過程可用文字描述為：第一步，把閉區間平均分成三段，去掉中間的一段，剩下兩個閉區間和；第二步，將剩下的兩個閉區間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區間：，；如此不斷的構造下去，最后

3、剩下的各個區間段就構成了三分康托集.若經歷步構造后，不屬于剩下的閉區間，則的最小值是（）A7B8C9D10【答案】A【分析】根據三分康托集的構造過程可知：經歷第步，每個去掉的開區間以及留下的閉區間的區間長度都是，根據規律即可求出屬于，進而根據不等式可求解.【詳解】不屬于剩下的閉區間，屬于去掉的開區間經歷第步，剩下的最后一個區間為，經歷第步，剩下的最后一個區間為，經歷第步，剩下的最后一個區間為，去掉的最后開區間為由化簡得，解得故選:A5已知數列是等比數列，數列是等差數列，若，則的值是A1BCD【答案】D【分析】根據等比數列和等差數列的性質求得和，同時利用下標和的性質化簡所求式子，可知所求式子等價

4、于，利用誘導公式可求得結果.【詳解】是等比數列是等差數列本題正確選項：【點睛】本題考查等差數列、等比數列性質的應用，其中還涉及到誘導公式的知識，屬于基礎題.6若，則（）ABCD【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結合同角三角函數的商數關系即可得解.【詳解】由已知得：,即：，即：,所以,故選：C7已知實數a，b滿足，則的最小值為ABCD【答案】C【詳解】試題分析：由題意，得，代換，代換，則滿足：，即，以代換，可得點，滿足，因此求的最小值即為求曲線上的點到直線的距離的最小值，設直線與曲線相切于點，則，解得，所以切點為,所以點到直線的距離，則的最小值為，綜上所述，選C.【解析】1.利用導數

5、研究曲線的切線性質；2.點到直線距離公式.【方法點睛】本題主要考查的是利用導數研究曲線的切線性質，點到直線的距離公式，推理能力與計算能力，屬于難題，通過換元法可轉化成函數間的問題，通過變形發現變成求的最小值即為求曲線上的點到直線的距離的最小值，因此在曲線上找到一個和平行的直線與之間的距離最小，因此將點到直線距離最小值轉化成直線與直線距離最小值，因此此類題目將已知條件合理轉換是解決問題的關鍵.8如圖，為測量某公園內湖岸邊兩處的距離，一無人機在空中點處測得的俯角分別為，此時無人機的高度為，則的距離為（）ABCD【答案】A【分析】設點P在AB上的投影為O，在RtPOB中，可得，再結合正弦定理和三角恒

6、等變換的公式，化簡求得，得到答案.【詳解】如圖所示，設點P在AB上的投影為O，在RtPOB中，可得，由正弦定理得，所以故選：A.【點睛】本題主要考查了解三角形的實際應用，其中解答中結合圖象把實際問題轉化為數學問題，合理利用正弦定理求解是解答的關鍵，注重考查了推理與運算能力.二、多選題9設扇形的圓心角為，半徑為，弧長為l，面積為S，周長為L，則（）A若，r確定，則L，S唯一確定B若，l確定，則L，S唯一確定C若S，L確定，則，r唯一確定D若S，l確定，則，r唯一確定【答案】ABD【解析】根據弧長、周長及扇形面積公式計算可得；【詳解】解：依題意可得，對于A：若、確定，顯然，唯一確定，故A正確；對于

7、B：若、確定，由，則確定，所以，唯一確定，故B正確；對于C：若、確定，則， 與需要解三次方程，所以、不唯一確定，故C錯誤；對于D：若、確定，則， 即可唯一的求出與，所以、唯一確定，故D正確；故選：ABD10已知a，則使“”成立的一個必要不充分條件是（）ABCD【答案】BC【分析】對于A、D選項，取特殊值說明既不充分也不必要即可；對于B，先取特殊值說明不充分，再同時平方證必要即可；對于C，先取特殊值說明不充分，再結合基本不等式證必要即可；【詳解】對于A，當時，滿足，不滿足，即推不出，不充分；當時，滿足，不滿足，即推不出，不必要；A錯誤；對于B，當時，滿足，不滿足，即推不出，不充分；當時，平方得，

8、又，又，故，即能推出，必要；B正確；對于C，當時，滿足，不滿足，即推不出，不充分；當時，由，即能推出，必要；C正確；對于D，當時，滿足，不滿足，即推不出，不充分；當時，滿足，不滿足，即推不出，不必要；D錯誤.故選：BC.11朱世杰是歷史上偉大的數學家之一，他所著的四元玉鑒卷中“如像招數”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉多七人，每人日支米三升.”其大意為“官府陸續派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤壩的每人每天發放大米3升.”則下列結論正確的有（）A將這1864人派譴完需要16天B第十天派往筑

9、堤的人數為134C官府前6天共發放1467升大米D官府前6天比后6天少發放1260升大米【答案】ACD【分析】記數列為第n天派遣的人數，數列為第n天獲得的大米升數，依題意可得是以64為首項，7為公差的等差數列，是以192為首項，21為公差的等差數列，再根據等差數列的通項公式及前項和公式計算可得；【詳解】解：記數列為第n天派遣的人數，數列為第n天獲得的大米升數，則是以64為首項，7為公差的等差數列，即，是以192為首項，21為公差的等差數列，即，所以，B不正確.設第k天派遣完這1864人，則，解得（負值舍去），A正確；官府前6天共發放升大米，C正確，官府前6天比后6天少發放升大米，D正確.故選：

10、ACD12函數在上的大致圖像可能為（）ABCD【答案】ABC【分析】根據的取值分類討論，研究函數性質后判斷圖象【詳解】當時，為奇函數，由時，時等性質可知A選項符合題意當時，令，作出兩函數圖象，研究其交點數形結合可知在內必有一交點，記橫坐標為，此時，故排除D選項時，；時，若在內無交點，則在恒成立，則圖象如C選項所示，故C選項符合題意若在內有兩交點，同理得B選項符合題意故選：ABC三、填空題13已知內角，的對邊分別為，那么當_時，滿足條件“，”的有兩個（僅寫出一個的具體數值即可）【答案】內任一數【分析】由正弦定理可得，然后可求出的范圍.【詳解】由正弦定理得，所以若滿足條件的有兩個，則且所以故答案為

11、：內任一數14已知，則的最小值為_【答案】【詳解】試題分析：由已知則，當且僅當時，取“=”則此時，由于，解得，,故答案為【解析】1.基本不等式；2.方程組的解法.15若數列滿足，且，則_.【答案】【分析】由題意結合數列的遞推公式，逐步運算即可得解.【詳解】因為，所以，數列是等比數列，首項為，公比為，則通項，可得：，則.故答案為：.【點睛】本題主要考查了數列遞推公式的應用，考查了運算求解能力，屬于中檔題.四、雙空題16已知函數，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交軸于兩點，則_，的取值范圍是_【答案】 【分析】根據題意，分和，結合導數的幾何意義得函數的圖象在點和點的兩條切線分別為和，再

12、結合題意得，進而得第一個空的答案，再求坐標，結合距離公式求和化簡整理得，最后求范圍即可得答案.【詳解】解：當時，故，所以函數的圖象在點處的切線斜率為，切線方程為，所以，當時，所以函數的圖象在點處的切線斜率為，切線方程為所以，因為函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，、所以，即，所以，所以，由于，所以，所以，因為，所以，所以所以的取值范圍是故答案為：；.五、解答題17在，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，內角，的對邊分別為，且滿足_.(1)求；(2)若的面積為，的中點為，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）選，利用正弦定理的邊角互化以及誘導公式可求解；選，利用

13、正弦定理的邊角互化即可求解；選，利用正弦定理的邊角互化以及兩角差的正弦公式即可求解.（2）利用三角形的面積公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.（1）選，由正弦定理可得，又因為，可得，即，所以，又因為，所以，所以，解得.，由正弦定理可得，即，整理可得，又因為，解得，因為，所以.，由正弦定理可得，整理可得，即，即，所以或（舍），即，即，解得.（2），解得，由余弦定理可得，所以 ，當且僅當時，即取等號，所以的最小值為.18函數.（1）當時，求函數在區間上的值域；（2）若任意，對任意，總有不等式成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）當時，利用二次函數的性質，求得在區間上

14、的值域；（2）首先求得在區間上的最大值和最小值，由此得到對任意，不等式恒成立，構造函數，結合一次函數的性質列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，對稱軸，函數在上的值域為. （2），對稱軸，在區間上單調遞增，即對任意，不等式恒成立，設，由于在區間上恒成立，所以則，即，解得或.【點睛】本小題主要考查二次函數在閉區間上的值域的求法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于難題.19已知，.函數的最小正周期為（1）求函數在內的單調遞增區間；（2）若關于的不等式在內恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）、；（2）.【分析】（1）本題首先可根據、得出，然后通過轉化得出，再然后根據最小正周期為

15、得出，最后通過正弦函數單調性即可得出結果；（2）本題首先可將轉化為，然后設，則，最后設，通過求出即可得出結果.【詳解】（1）因為，所以，則，因為最小正周期為，所以，.令，解得，則函數在內的單調遞增區間為、.（2），即，整理得，即在內恒成立，令，則，設，易知當時函數單調遞增，故，的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量的運算法則、三角恒等變換、正弦函數的性質、同角三角函數關系以及利用函數最值求參數的取值范圍，能否通過三角恒等變換得出是解決本題的關鍵，考查化歸與轉化思想，是難題.20已知函數.（1）當時，求的極值；（2）討論函數的單調性.【答案】（1）函數的極大值為，極小值為；（2）討論過程

16、見解析.【分析】（1）根據導數的性質，結合函數極值的定義進行求解即可；（2）根據函數導函數的零點之間的大小關系進行分類討論即可.【詳解】（1）當時，當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增，所以當時，函數有極大值，極大值為：，當時，函數有極小值，極小值為，即函數的極大值為，極小值為；（2），當時，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增；當時，令，得，當時，函數在整個實數集上單調遞增；當時，所以當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增；當時，所以當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增，綜上所述：當時，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增；

17、當時，函數在整個實數集上單調遞增；當時，當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增；當時，當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增.【點睛】關鍵點睛：根據函數導函數的零點的大小分類討論是解題的關鍵.21設等比數列的前n項和為，且，.(1)求數列的通項公式；(2)在與之間插入個實數，使這個數依次組成公差為的等差數列，設數列的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用數列的遞推關系和等比數列的性質，即可求出數列的通項公式；（2）根據等差數列的性質，可得，可得，再利用錯位相減法即可得出（1）解：時，而，由為等比數列，；（2）解： ，22已知函數(1)若，求a的取值范圍；