1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 18 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁(yè)2022屆內(nèi)蒙古包頭市第一中學(xué)（包頭市）高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1設(shè)集合，則（）ABCD【答案】C【分析】直接由交集得概念求解即可.【詳解】由題意知：.故選：C.2已知i為虛數(shù)單位，若，則（）ABCD【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)乘方和除法運(yùn)算求得的表達(dá)式.【詳解】由得.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)乘方和除法的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述

2、兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為已知星的星等是，星的星等是，則星與星的亮度的比值為（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用代入法，結(jié)合對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋堑男堑仁牵堑男堑仁牵裕蔬x：A4某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的體積為（）A8BC12D【答案】B【分析】根據(jù)三視圖確定幾何體的形狀，結(jié)合棱錐和棱柱的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體是上面是直三棱錐下面是直三棱柱組成的多面體，所以體積為：，故選：B5設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如下表：0

3、12P當(dāng)a在內(nèi)增大時(shí)，則（）A減小B增大C先減小后增大D先增大后減小【答案】A【分析】根據(jù)期望和方差公式表示出、，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】由題意，所以，所以在上隨增大而減小故選：A6等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：；乙：是遞減數(shù)列，則（）A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】取特殊值說(shuō)明不滿足充分性，由，即對(duì)任意成立可得滿足必要性即可求解.【詳解】若，取，易知，即，不是遞減數(shù)列，故甲推不出乙；若是遞減數(shù)列，則時(shí)，有，即對(duì)任意成立，又是等差數(shù)列，故有，即乙能推出甲，故甲是乙的必要

4、條件但不是充分條件.故選：B.7若，則（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二倍角的正弦公式和余弦公式、特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)椋裕谑怯桑獾茫獾茫颍ㄉ崛ィ驗(yàn)椋裕矗蔬x：B8海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞.若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，需要在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD=50，ADB=135，BDC=DCA=15，ACB=120，則A，B兩點(diǎn)的距離為（）ABCD【答案】C【分析】在中，由余弦定理可得AC，在中，由余弦定理可得CE，然

5、后可得BC，最后在中，由余弦定理可得AB.【詳解】記AC與BD的交點(diǎn)為E，由題可知，在中，所以由余弦定理可得則在中，易知，由余弦定理有解得在中，易知，所以在中，由余弦定理可得所以m故選：C9已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，R是C上的一點(diǎn)，且，C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（）ABC6D3【答案】B【分析】由雙曲線定義及分別求出，再由余弦定理得，進(jìn)而結(jié)合C經(jīng)過(guò)點(diǎn)解出即可求解.【詳解】由雙曲線定義可得，又可得，由余弦定理可得，即，化簡(jiǎn)得，又，可得；又C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，即，解得，故C的實(shí)軸長(zhǎng)為.故選：B.10將4個(gè)A和2個(gè)B隨機(jī)排成一行，則2個(gè)B相鄰且不排在兩端的概率為（）ABCD【答案】D【分析】先通過(guò)倍縮法求出

6、總情況有，再通過(guò)插空法求得滿足題意的有，由古典概率即可求解.【詳解】由4個(gè)A不區(qū)分順序、2個(gè)B不區(qū)分順序，可得總情況有種，先排4個(gè)A有1種排法，在形成的3個(gè)中間的空中插入B即可，故2個(gè)B相鄰且不排在兩端的情況有種，故概率為：.故選：D.11已知A，B，C，D是半徑為R的球O的球面上的四個(gè)點(diǎn)，ABC為等邊三角形且它的外接圓的面積為，三棱錐體積的最大值為，則R的值為（）ABC4D6【答案】C【分析】先由外接圓的面積求出ABC的邊長(zhǎng)，進(jìn)而由三棱錐體積的最大值求出此時(shí)的高，再由勾股定理求即可.【詳解】如圖：設(shè)外接圓的半徑為，則，解得，又ABC為等邊三角形，由正弦定理可得，解得，故，又三棱錐體積的最大值

7、為，可知當(dāng)三點(diǎn)共線如圖所示時(shí)，三棱錐高最大，即體積最大，設(shè)此時(shí)高為，故，解得，顯然此時(shí)面，在中可得，解得.故選：C.12設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則（）ABCD【答案】A【分析】直接由為奇函數(shù)得，由為偶函數(shù)得，通過(guò)賦值法得，進(jìn)而求出，再由求解即可.【詳解】由為奇函數(shù)可得，令，可得，令，可得，即；由為偶函數(shù)可得，令，可得，又可得；由解得，故時(shí)，.令，由可得；令，由可得，故.故選：A.二、填空題13已知非零向量，滿足，且，與的夾角為45，則_【答案】【分析】由，則其數(shù)量積為零，可得，將條件代入可得答案.【詳解】由，即，即 所以，即，所以故答案為：14曲線在點(diǎn)處的切線方程為_

8、.【答案】【分析】先求導(dǎo)求出切線斜率，再求切線方程即可.【詳解】，則，故點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.15已知拋物線：的焦點(diǎn)為，斜率為-1的直線與的交點(diǎn)為，若，則的方程為_【答案】【分析】設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)樾甭蕿?1的直線與的交點(diǎn)為，所以設(shè)直線的方程為，所以有，設(shè)，因此有，由，所以直線的方程為，故答案為：16已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則滿足條件的最小正偶數(shù)x為_.【答案】4【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正偶數(shù).【詳解】由圖可知，即

9、，所以；由五點(diǎn)法可得，即；所以.因?yàn)椋凰杂煽傻茫挥桑矗颍獾没颍睿傻没颍宰钚≌紨?shù)為4.故答案為：4.三、解答題17已知數(shù)列的各項(xiàng)均為互不相等的正數(shù)，且，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，從下面中選取兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立數(shù)列是等比數(shù)列；數(shù)列是等比數(shù)列；注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】答案見解析【分析】若由：根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和、等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；若：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；若：根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】已知數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為，又，所以

10、，因?yàn)椋裕鶕?jù)題意可知，所以解得，所以，所以，且，因?yàn)椋詳?shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列設(shè)數(shù)列的公比為，又，根據(jù)題意，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，即，化解得，即，根據(jù)題意且，所以得，從而，所以有已知數(shù)列是等比數(shù)列，因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)和，且，所以，設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題意有且，所以，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)椋裕郑杂校郑裕缘茫驗(yàn)樗詳?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列18為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)現(xiàn)從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的競(jìng)賽成績(jī)（滿分

11、為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖(1)估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績(jī)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），并估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)（精確到0.01）；(2)在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：競(jìng)賽成績(jī)不低于80分為“優(yōu)秀”，競(jìng)賽成績(jī)低于80分為“非優(yōu)秀”請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？求出等高條形圖需要的數(shù)據(jù)，并畫出等高條形圖（按圖中“優(yōu)秀”和“非優(yōu)秀”所對(duì)應(yīng)陰影線畫），利用條形圖判斷競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀與性別是否有關(guān)系？列聯(lián)表優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生10女生50合計(jì)100參考公式及數(shù)據(jù)：，0.100.050.0250.0100

12、.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)平均成績(jī)73，中位數(shù)73.33；(2)表格見解析，沒有；答案見解析，有.【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖，結(jié)合平均數(shù)和中位數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)頻率直方圖完成列聯(lián)表，結(jié)合題中所給的公式進(jìn)行求解即可；根據(jù)列聯(lián)表畫出等高條形圖，再做出判斷即可.【詳解】(1)這100名學(xué)生的平均成績(jī)：，設(shè)成績(jī)的中位數(shù)為，則根據(jù)頻率分布直方圖可知，有，解得；(2)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖得下表優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生104050女生203050合計(jì)3070100根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，因?yàn)?.7626.635，所以沒有99

13、%的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)” 根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可知，樣本中男生優(yōu)秀的頻率為，男生非優(yōu)秀的頻率為；女生優(yōu)秀的頻率，女生非優(yōu)秀的頻率為所畫等高條形圖如圖所示：根據(jù)等高條形圖，比較圖中兩個(gè)用斜紋實(shí)線所畫條的高可以發(fā)現(xiàn)，女生樣本中成績(jī)優(yōu)秀的頻率明顯高于男生樣本中成績(jī)優(yōu)秀的頻率，因此可以認(rèn)為競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)19已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形.，D，E分別為AC和上的點(diǎn)，且，F(xiàn)為棱上的點(diǎn)，.(1)證明：，且；(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值最小？【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證以及即可證得平面，即可證得，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，由即可證得；（2）直

14、接寫出平面的一個(gè)法向量，求出平面DEF的法向量，由夾角公式表示出余弦值，由平方關(guān)系求出二面角的正弦值，結(jié)合二次函數(shù)求解即可.【詳解】(1)因?yàn)椋裕郑遥云矫妫制矫妫?因?yàn)椋栽谥校郑裕桑遥茫↑c(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA，BC，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）.則，設(shè)，則，于是，所以，即.(2)因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，又由（1）知，設(shè)平面DEF的法向量為，則，所以有取，得，于是平面DEF的法向量為，所以，設(shè)平面與平面DEF所成的二面角為，則，故當(dāng)時(shí)，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值取得最小值為.所以當(dāng)時(shí)，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值

15、最小.20設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓C：上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足(1)當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓，并求出該圓的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)的軌跡為圓時(shí)，設(shè)點(diǎn)在直線上，且，證明：過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線過(guò)的右焦點(diǎn)【答案】(1)，；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)共線向量的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合（1）的結(jié)論、平面向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳解】(1)設(shè)，則，由，得，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以有，當(dāng)，即時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓，該圓的方程為；(2)由題意知，設(shè)，則，又，由已知，得，又由（1）知，把此式代入中，得，所以，故，又過(guò)點(diǎn)存在唯一的直線垂直于，所以過(guò)

16、點(diǎn)且垂直于的直線l過(guò)的右焦點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用平面向量共線的性質(zhì)和數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式是解題的關(guān)鍵.21已知m0且m1，函數(shù).(1)當(dāng)m=2時(shí)，求的極值點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，若曲線與直線y=1有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍.【答案】(1)是極小值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)(2)【分析】（1）直接求導(dǎo)，確定單調(diào)性，進(jìn)而求出極值點(diǎn)；（2）先將曲線與直線有且僅有1個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有1個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)性及最大值，結(jié)合圖像即可求解.【詳解】(1)當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)，令，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，令，則或，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí)，曲線與直線有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程有1個(gè)解，即方程有1個(gè)解.設(shè)，則，令，得，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)xe時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故，且當(dāng)xe時(shí)，所以時(shí)，方程有1個(gè)解，所以m=e，又，所以當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，方程也有一個(gè)解，這時(shí)由與m0，得，得到0m1，綜上，當(dāng)時(shí)，若曲線與直線y=1有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是.22在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)當(dāng)時(shí)，曲線是什么曲線？并求的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求與的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)【答案】(1)曲線是以與為端點(diǎn)的線段，（，）；(2).【分析】（