1、三角形三條邊的關(guān)系例題精講與同步練習(xí)【基礎(chǔ)知識精講】三角形按邊分類可分為兩大類三小類.不等邊三角形:三條邊兩兩不等的三角形.等腰三角形：三條邊中有兩條邊相等.其中，若有且只有兩條邊相等，稱為等腰三角形，若三邊都相等，稱為等邊三角形或正三角形.關(guān)于等腰三角形、等腰三角形各部分有其特定的名稱相等的兩條邊稱為腰，等三邊稱為底邊兩腰的夾角稱為頂角，另兩個角(腰與底的夾角)稱為底角.關(guān)于等腰三角形與等邊三角形等邊三角形是特殊的等腰三角形，即底邊和腰相等，可把任兩邊看作腰，另一邊看作底.注意：不能認(rèn)為三角形按邊分為不等邊和等邊三角形兩類，這樣就遺漏了等腰三角形這一重要的一類三角形.三角形按邊分類如下表：不

2、等邊三角形三角形牡痂一屆存底和腰不等的等腰三角形等腰三角形陸、亠一比亍十一比亍等邊三角形(正三角形)三邊之間的關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.證：如圖3.2-1，在聯(lián)接A、C兩點的線中，線段AC最短.折線CBA線段AC.即AB+BOAC.推論：三角形兩邊之差小于等三邊.由以上可知，以a，b，c為邊的三角形中，c邊應(yīng)滿足條件|abca+b【重點難點解析】本節(jié)重難點均在三邊不等關(guān)系上，即abcc，則以此三線段為邊是否一定構(gòu)成三角形？為什么？分析考查三線段是否構(gòu)成三角形，要考查三條線段中，任意兩線段之和是否大于第三條線段，不能光憑其中有兩條線段和大于第三線段就判定能構(gòu)成三角形除非此時c邊最長,否

3、則還要看a-b是否小于c.解若c為三線段中最大線段，則三線段為邊一定構(gòu)成三角形.Ta+bc,b+ca顯然成立.否則，不一定構(gòu)成三角形.例如三線段長a=5,b=3,c=2此時雖然a+bc,但三線段不構(gòu)成三角形.例2等腰三角形周長為8,三邊長為整數(shù)，求三邊的長.分析可設(shè)腰長為a,底邊長為b,得方程2a+b=8，這一個二元一次不定方程，要充分注意到條件三邊為整數(shù)，即此時求正整數(shù)解可利用不等式求出a的范圍，求出后，一定要注意檢驗所求的三條線段是否能構(gòu)成三角形.解設(shè)腰長為a,底邊長為b,依題意.2a+b=8又Vb0.2aV8aV4.*.*a為正整數(shù)a=l,2,3.解方程解為又2ab符號條件,.三邊長為3

4、，3，2.例3等腰三角形一邊長為5cm，它比另一邊短6cm,求三角形周長.分析5cm的邊不知是腰還是底，故此題可能有兩解，即5為底和5為腰，但此時依然要注意求出的解是否滿足構(gòu)成三角形的條件.解若腰長為5,則底邊長為5+6=llcm.5+5=10V11不能構(gòu)成三角形.只能底邊長為5,此時腰長5+6=11cm.三角形周長為5+11+11=27(cm)例4如圖3.2-2,O為四邊形ABCD內(nèi)任一點.求證1OA+OB+OC+OD2分析分別考查以0為頂點的四個小三角形，每個里面利用兩邊之和大于第三邊再利用不等式性質(zhì)，即可得結(jié)論.證在AAOB中，OA+OBAB在ABOC中OB+OCBC在厶COD中，OC+

5、ODCD在厶DOA中，OD+OAAD+得2(OA+OB+OC+OD)AB+BC+CD+DA1OA+OB+OC+OD(AB+BC+CD+DA)i*2例5如圖3.2-3P為山ABC內(nèi)任一點.求證PA+PBVCA+CB.分析此時若考慮APAB和ACAB是不可能證出結(jié)論的.而通過輔助線構(gòu)造新的三角形,進(jìn)而在新三角形中利用三邊關(guān)系得出結(jié)論是解決本題的根本之所在證延長AP交BC于D在AACD中AC+CDAD即AC+CDAP+PD在厶BPD中，BD+PDBP.BDBP-PD+AC+CD+BDAP+BP+PD-PD即PA+PBVCA+CB【難題巧解點撥】例1已知三角形的周長為P,且一邊長是另一邊長的2倍，求最

6、短邊的范圍.分析本題解決之關(guān)鍵在于，弄清誰是最短邊？弄清以后，也不可輕率地由最短邊的三1n1倍不大于周長，得最短邊不超過周長3（即最短邊13p）這樣將會把最短邊的范圍擴(kuò)大.要充分利用題中有兩邊比為2:1,這一條件，以及三邊不等關(guān)系解題.解由已知可設(shè)三邊為x,2x,y.*.*3x+y=P.*.xy3x2x-xy2x+x可知，最短邊的長為x.由得y=P-3x代入得xP-3x3x.11一11解得Px.P即最短邊范圍在：PP之間.6464例2三角形周長是偶數(shù)，兩邊長為4和1997滿足上述條件的三角形共多少個？分析本題可從第三邊范圍在19932001之間來著手解決,再結(jié)合周長為偶數(shù)這一條件逐一檢驗，得出

7、結(jié)論，也可先由奇偶性入手，以達(dá)迅速解題之目的解周長為偶數(shù)，兩邊為4,1997，則第三邊為奇數(shù)，設(shè)第三邊為2n+1（n為整數(shù)）得1997-42n+11997+4996n1000.n-997,998,999，故合條件的三角形有三個.注意，本題只問合條件的三角形有多少個，并未涉及求邊長及周周長問題，故不必算出第三邊及周長.例3不等邊三角形周長為30,邊長均為整數(shù)求合條件的所有三角形的三邊之長.分析可設(shè)不等邊三角形三邊a,b,c，且abc*.*cacb由a+b=30-c代入解得.10VcV153ca+b+ccV15由得c10c=11時a+b=19cba9.5VbV11.*.b=10整數(shù)c為11,12，

8、13，14c=11b=10a=9c=12時a+b=189VbV12.=10,11c=12b=10a=8c=12b=11a=7c=13時a+b=178.5VbV13.b=9,10,11,12c=14時a+b=168VbV14.=9,10,11,12,13合條件的三角形共12個它們是a二9a二7a二8a=5a=6a二7b=10b=11b二10b二12b二11b二10c二11c二12c二12c二13c二13c二13a二8a=3a二4a=5a=6a二7b=9b二13b二12b二11b二10b二9c二13c二14c二14c二14c二14c二14【命題趨勢分析】本節(jié)知識點，三邊不等關(guān)系及等腰三角形概念兩個

9、方面經(jīng)常為出題者偏愛，可結(jié)合周長、三邊關(guān)系等知識，注重考查數(shù)形結(jié)合的思想，也可利用三邊關(guān)系不等式進(jìn)行代數(shù)式化簡即采用代數(shù)的方法解決幾何問題（如通過方程及不等式解題），包括計算及簡單的證明各類型題均可能出現(xiàn).【典型熱點考題】例1三角形三邊長為3,1-2a,8,求a的取值范圍.分析此題有兩條解題思路，（1）只利用兩邊之和大于第三邊，當(dāng)采用兩短邊之和大于長邊時，需討論1-2a與8的大小.（2）結(jié)合兩邊之和大于第三邊，同時兩邊之差小于第三邊,利用不等式組求a的范圍，無論以上哪種解法，均借用代數(shù)中不等式組來解決問題12a8解一8為最長邊時812a81-2a為最長邊時仁c-5VaW-3.518+312a綜

10、上-5Vaca+b-c0a-b=0a=bABC為等腰三角形.例3三角形三邊為整數(shù)，周長為180cm,且最短邊為最長邊的;，求三邊的長.4分析可設(shè)三邊中，最短邊為x,則最長邊為4x,另一邊為y,此時可得不等式xWyW4x，再利用三角形三邊不等關(guān)系及已知條件，(周長180cm,邊為正整數(shù))求出x或y的范圍，進(jìn)而求三邊的長.解設(shè)最短邊為x,則最長邊為4x,第三邊為y,則TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark26 o Current Document ”x+y+4x=1804x由得y=l80-5xxy4x.由得3xy4x.將y=180-5x代入x二20Jx二22y=80I

11、y=703xV180-5xW4x解得20Wx22.5Ix二20 x=20,21或22a.()2.三條線段a,b,c,若滿足a-cbbc,只要a-b.6()7.三角形中除了等邊三角形外，其它的三角形均稱為不等邊三角形()8.四邊形四條邊的比不可能是2：3：4：10.二、填空(3分X8=24分)1三角形一邊長為a=2,按三邊不等關(guān)系不等式求得另兩邊中一條邊b7，則第三邊c=.ab的取值范圍是b0）B.三線段之比為1：3：4C.三線段比為3：4：5D.4a,7a,3a+1（a1）等腰三角形底邊長5cm,腰中線將周長分成的兩部分差為3cm,則腰長為A.2cmB.3cmC.8cmD.2cm或8cm若三角

12、形三邊a,b,c滿足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0.則此三角形為（）A.不等邊三角形B.一般等腰三角形C.等邊三角形D.B、C都有可能5若三線段a,b,c滿足abc，若能構(gòu)成一個三角形，則只需滿足條件（）A.a+bcB.b+caC.c+abD.b+cMa6等腰三角形周長50,一邊為另一邊的2倍，則底邊長為：A.10B.20C.25D.107三角形兩邊長為2和9,周長為偶數(shù)，則第三邊長為（）A.7B.8C.9D.10&D為等腰ABC,底邊BC上一點，BC=10，ABC的周長比厶ADB的周長多6,則BD:DC為（）A.1：4B.1：3C.1：2D.1：1四、若a,b,c為三角形的三邊.求證

13、：a4+b4+c42a2b22b2C22c2a20（6分）.五、如圖3.26，B，C為線段AD上兩點，且AB=x，AC=y,AD=z，若AB繞B點旋轉(zhuǎn)，CD點旋轉(zhuǎn)，直至A、D兩點正好重合于點E為止，形成一個三角形，那么，下面三個不等式中哪些必須成立，并證明你的結(jié)論.（6分）zzzxv2yv2yx+亍EABCD圖3.26【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】1求證三角形內(nèi)任一點到三頂點距離之和大于周長的一半而小于周長2三角形三邊長均為整數(shù)a,b,c,且aWbWc.若b=5,求出所有合條件的三角形的另兩邊a,c,合條件三角形共多少個？3.求以1995的質(zhì)因數(shù)為邊的三角形共多少個?請猱寶年業(yè)肓再盲答崇！參考答案:【同步達(dá)綱練習(xí)】一、1.V2.X3.X4.V5.X6.V7.X8.V二、1.532.3VcV1720VPV34.3.44.1175.0VaV306.大于187.a+b+c8.5三、1.D2.B3.C4.C5.B6.A7.C&A四、原式二a42(b2+c2)a2+(b2c2)2二a42(b2+c2)a2+(b+c)2(bc)2.二a2-(b+c)2a2-(b-c)2*.*a,b,c為三角形三邊.丨bc|VaVb+c(b+c)2a2V(b+c)2a2(b+c)20原式VO.五、必須成立.由已知：AB=BE=x,BC=yxCD=CE=zy.由BE+BCCE,BC+CEBE,CE+BEACPC+PAV