1、第四篇 振動 波動和波動光學我們生活在波的海洋中感謝：曹海靜老師提供 8/20/2022波動是振動在空間傳播的過程波動：物質基本運動形式：機械振動、電磁振蕩機械波、電磁波振動學是波動學的基礎第11章 振動學基礎注：任何復雜的振動都可以認為是由若干個簡單而又基本的簡諧運動所合成的。第四篇 振動 波動和波動光學振動：德布羅意波幾率波我們生活在波的海洋中。 振動是普遍存在的一種運動形式 任何一個物理量（物體的位置、電流強度、電場強度、磁場強度等）在某一定值附近的反復變化。振動（vibration）：機械振動（mechanical vibration）： 物體在一定位置（中心）附近作來回往復的運動。E

2、x：鐘擺的擺動，活塞的往復運動等。簡諧運動(simple harmonic motion) ：是最基本、最簡單的振動。11-1 簡諧運動的描述彈簧振子單擺8/20/202211-1 簡諧運動的描述彈簧振子物體運動時，離開平衡位置的位移（or角位移）按余弦函數（or正弦函數）的規律隨時間變化。單擺簡諧運動：一、簡諧運動的運動學特征以彈簧振子為例：彈簧振子：質量為m的物體系于一端固定的輕彈簧的自由端，彈簧和物體組成的系統稱為彈簧振子。 彈簧處于自然長度時，物體受合外力為零，物體處于平衡狀態，物體所在的位置就是平衡位置O點。 若把物體略加移動后釋放，由于彈簧被拉長或收縮，便有指向平衡位置的回復力作用

3、在物體上，迫使物體返回平衡位置，這樣在彈性力作用下，物體就在其平衡位置附近作往復運動。單擺的小角度擺動也是簡諧運動。A 平衡位置 Ax=-Av=0a=amaxx=0v=vmaxa=0 x=Av=0a=-amax8/20/2022（一）基本物理量簡諧運動表達式：運動規律由余(正)弦函數描述。1、A：振幅(amplitude) 物體離開平衡位置的最大位移； 單位：m、cm、mm、nm2、：角頻率or圓頻率 (angular frequency) 2秒內往復振動的次數； 單位：弧度/秒（rad/s）3、t+0：位相或周相(phase) 決定任意時刻系統運動狀態的物 理量； 單位：弧度（rad）相：“

4、相貌”的意思，即相位決定 了簡諧運動的相貌。（1）0：初相 t=0時的位相，與初始條件有關；（2）相位差:兩個振動：（3）同相：Ex:物體在正向最大處物體在平衡位置處8/20/2022xtO兩個振動步調相同反相：（3）同相：xtO兩個振動步調相反（4）超前：第二個簡諧振動超前第一個簡諧振動（第一個簡諧振動落后第二個簡諧振動 ）落后：第二個簡諧振動落后第一個簡諧振動 超前和落后具有相對性！4、f 或：頻率（frequency） 單位時間內往復振動的次數； 單位：赫茲（Hz）5、T：周期（period） 往復振動一次的時間。 單位：秒（s）周期、頻率與角頻率關系：（第一個簡諧振動超前第二個簡諧振動

5、 ）8/20/2022（二）振動曲線xtOT（三）簡諧運動的速度與加速度4、f 或：頻率（frequency） 單位時間內往復振動的次數； 單位：赫茲（Hz）5、T：周期（period） 往復振動一次的時間。 單位：秒（s）周期、頻率與角頻率關系：A-A從圖上所獲得的信息： 振幅 A 周期T： t=0 時，速度 or注：t0 時對應曲線上的點作曲線的斜率，由斜率判斷V0的正負。Ex:8/20/2022（四）振動表達式的建立關鍵：初相位的確定。（1）已知 t =0時，振動位移：x = x0 振動速度：v = v0基本方程：則振幅：初相位：（三）簡諧運動的速度與加速度討論：（1）（2）v 比 x

6、的相位超前 ，a比 v 的 相位超前 。a 比 x 的相位超前（a 和 x 反相）代數法解：由 式，當 t =0，得8/20/2022注意：（2）已知t = 0時，和質點的運動方向（v00或v00）解：由 式得：可求得兩個值，利用v0的方向和式可定出。若v00必須0若v0 0必須 0總之，只要知道初始條件，即可利用方程 來求得A、 。（3）如果已知的不是 t = 0 時的 x、v，（四）振動表達式的建立關鍵：初相位的確定。（1）已知 t =0時，振動位移：x = x0 振動速度：v = v0基本方程：則振幅：初相位：1、代數法解：由 式，當 t =0，得 不是唯一的，需要具體分析（由速度正負判

7、斷）。同樣可以利用方程 求A、 。 例題： A（2）：輔P259 例92（自學） C（2）：輔P202 例1118/20/2022 旋轉矢量 的模即為簡諧運動的振幅。 旋轉矢量 的角速度即為振動的角頻率。 旋轉矢量 與x軸的夾角(t+)為 簡諧運動的相位。 t =0時， 與x軸的夾角即為簡諧振動的初相位。xP周期： 旋轉矢量 旋轉一周，P點完成一次全振動。二、簡諧運動的旋轉矢量 (rotating vector ) 表示法：簡諧運動的幾何描述法P的坐標為：在 旋轉過程中，M點作勻速圓周運動，對應的圓周叫參考圓，故旋轉矢量法又稱參考圓法。參考圓：上半圓v0繞O點作逆時針方向的勻速轉動。自 OX

8、軸的原點O作一矢量 ，旋轉矢量 的端點M在X軸上的投影點P的運動為簡諧運動。 旋轉一周（逆時針方向），P完成一次全振動。8/20/2022旋轉矢量 的端點M在X軸上的投影點P的運動為簡諧運動。 旋轉一周（逆時針方向），P完成一次全振動。P的坐標為：在 旋轉過程中，M點作勻速圓周運動，對應的圓周叫參考圓，故旋轉矢量法又稱參考圓法。參考圓：上半圓 v0三、相位差xA二個振動的頻率相同時，相位差為初相位差四、旋轉矢量法的應用：求解振動表達式：時，用于求初相類型：1、文字題已知：當t=0時，下半圓上半圓8/20/2022四、旋轉矢量法的應用：求解振動表達式：時，用于求初相類型：1、文字題已知：當t=0

9、時，下半圓上半圓2、圖像題已知：振動曲線（余弦或正弦曲線）當t=0時，x1/2AxtOA-AEx:由圖知，t=0時，x8/20/2022例題：書P99 例111 ，書P103 例113作業：A（2）：書 P 128 11-3，11-4， 11-5，輔 P 274 3，6C（2）：書 P 128 11-3，11-4， 11-5，輔 P 211 3，68/20/2022書P99例11-1:一質點沿x軸作簡諧運動，振幅為12cm，周期為2s。當t = 0時, 位移為6cm，且向x軸正方向運動。求: (1) 振動表達式；(2) t = 0.5s時，質點的位置、速度和加速度；(3)如果在某時刻質點位于x

10、=-0.6cm，且向x軸負方向運動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。解：（1）由已知： A=12cm，T=2s，x6cm則振動表達式：(2)(3)t = 0 時，8/20/2022例：一質點沿X軸作簡諧振動，其振動曲線如圖所示，寫出振動表式。解：由圖可知：振動表式為：當t=0時，A=0.2m，T=1s；x8/20/202211-2 簡諧運動的動力學特征一、動力學描述1. 彈簧振子理想模型根據胡克定律：(k為勁度系數)在彈簧形變不大時，彈性力F 和位移x成正比。(2)彈性力F 和位移x 恒反向，始終指向平衡位置?；貜土Γ菏冀K指向平衡位置的作用力振動的條件: (1)存在回復力；(2)物體具有慣

11、性由牛頓第二定律得：令:得：w由振動系統本身的性質（物體的彈性和慣性）所決定，固稱為固有頻率。此微分方程的實數解為：振動表達式8/20/2022得：此微分方程的實數解為：振動表達式（簡諧運動位移）簡諧運動的微分方程： 任何一個物理量，如果它隨時間的變化規律滿足簡諧運動微分方程，或遵從余弦(或正弦)規律，則廣義地說，這一物理量在作簡諧運動。如：交流電壓U為常數2. 單擺(simple pendulum)的討論 擺球質量和細繩伸長忽略不計，把擺球從平衡位置拉開一段距離后（擺角50）放手，擺球就在豎直面內擺動。Ol 8/20/20222. 單擺(simple pendulum)的討論 擺球質量和細繩

12、伸長忽略不計，把擺球從平衡位置拉開一段距離后（擺角50）放手，擺球就在豎直面內擺動。Ol mgT取角位移 的正方向為逆時針方向其中，（負號表示 與 方向相反）當 很小，并以弧度表示時，即，結論：單擺的振動是簡諧運動。令得8/20/2022以彈簧振子為例，來說明振動系統的能量1、系統動能：2、系統勢能：xxov二、簡諧運動的能量 基本方程：3、系統的總能量討論：（1）振子在振動過程中，動能和勢能 分別隨時間變化，但任一時刻總 機械能保持不變。（2）位移最大，勢能最大，但動能最 小。在振動曲線的峰值。 位移為0，勢能為0，但動能最大， 在振動曲線的平衡位置。8/20/20222、系統勢能：3、系統

13、的總能量討論：（1）振子在振動過程中，動能和勢能 分別隨時間變化，但任一時刻總 機械能保持不變。（2）位移最大，勢能最大，但動能最 小。在振動曲線的峰值。 位移為0，勢能為0，但動能最大， 在振動曲線的平衡位置。彈簧振子的能量曲線4、簡諧運動總的特征（1）線性回復力；（2）運動學：（3）機械能守恒：8/20/2022例題：書P106 114作業：A（2）：書P129 1114，輔P275 10 C（2）：書P129 1114，輔P215 28/20/2022書P129 1114: 當彈簧振子離開平衡位置位移為振幅的一半時，其動能，勢能各占總能量的多少？ 振子在什么位置時其動能和勢能各占總能量的

14、一半？解：8/20/202211-3 簡諧運動的合成 一般的復雜振動都是由簡諧運動合成的，振動合成問題比較復雜，這里我們只討論三種情況振動的合成。1、兩個同方向同頻率簡諧運動的合成(重點)2、兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成3、相互垂直的簡諧運動的合成設：兩個同方向（都為x方向），同頻率（都為w）的簡諧運動表達式分別為：一、兩個同方向同頻率簡諧運動的合成因兩運動方向相同，則任意時刻合振動的位移為兩分振動位移的代數和：1、代數法推導合振動8/20/20221、代數法推導合振動結論：兩個同方向同頻率的簡諧振動的合成仍為簡諧振動，其振動方向和頻率都與原來的兩個分振動相同。合振動的振幅：合振動的初位相

15、：2、旋轉矢量法推導合振動x8/20/2022x注意：的具體象限要根據1、2 確定討論：合振動的加強和減弱k=0，1，2，3，合振幅加強：2、旋轉矢量法推導合振動（余弦定理）（三角形全等）1、 位相差 同向旋轉矢量表示：xA1A2xA=A1+A2合成 一起以 轉動，保持相對靜止。8/20/2022旋轉矢量表示：xA1A2xA=A2-A1合成討論：合振動的加強和減弱k=0，1，2，3，合振幅加強：1、 位相差 同向旋轉矢量表示：xA1A2xA=A1+A2合成k=0，1，2，3，合振幅減弱：2、 位相差 反向8/20/2022兩個同方向同頻率簡諧運動的合成演示8/20/2022例11-5: 兩個同

16、方向的簡諧運動曲線(如圖所示) (1) 求合振動的振幅。(2) 求合振動的振動方程。xTt解: t=0時，x1和x2互為反相，合振幅最小由兩振動的旋轉矢量圖：根據旋轉矢量法：xx1的振動表達式為：由圖知：同理，t=0時，根據旋轉矢量法：xx1的振動表達式為：x合振動表達式為：8/20/2022二、兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成（了解）兩個同方向不同頻率簡諧運動的合振動與原來的振動方向相同，但不再在簡諧運動。設兩簡諧運動表達式分別為：兩振動的旋轉矢量圖為： 相對于 的轉動角速度為平行四邊形形狀變化，的大小也在變化，合運動為非簡諧運動。為簡化問題，設振幅隨時間變化振動項當但彼此相差很小時， 上式不符合簡諧運動的定義，所以合運動不再是簡諧運動。8/20/2022合振動可看成振幅間緩慢變化，簡諧因子隨時間快速變化的近簡諧運動?！芭?beat)”振幅隨時間變化振動項當但彼此相差很小時， 上式不符合簡諧運動的定義，所以合運動不再是簡諧運動。隨時 把兩個頻率較大，但頻率之差很小的兩個同方向簡諧運動合成所產生的合振動其振幅周期性變化的現象叫做拍拍的周期：拍的頻率(簡稱拍頻)：8/20/20228/20/2022三、相互垂直的簡諧運動的合成（了解）1. 相互垂直的同頻率簡諧運動的合成討論：1、 結論：質點運動軌跡為直線yx2、結論：質點運動軌跡為正橢圓 （以坐標軸為主軸）設兩振動表達式分別為