1、第四篇 振動(dòng) 波動(dòng)和波動(dòng)光學(xué)我們生活在波的海洋中感謝：曹海靜老師提供 8/20/2022波動(dòng)是振動(dòng)在空間傳播的過程波動(dòng)：物質(zhì)基本運(yùn)動(dòng)形式：機(jī)械振動(dòng)、電磁振蕩機(jī)械波、電磁波振動(dòng)學(xué)是波動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)第11章 振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)注：任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以認(rèn)為是由若干個(gè)簡(jiǎn)單而又基本的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)所合成的。第四篇 振動(dòng) 波動(dòng)和波動(dòng)光學(xué)振動(dòng)：德布羅意波幾率波我們生活在波的海洋中。 振動(dòng)是普遍存在的一種運(yùn)動(dòng)形式 任何一個(gè)物理量（物體的位置、電流強(qiáng)度、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度等）在某一定值附近的反復(fù)變化。振動(dòng)（vibration）：機(jī)械振動(dòng)（mechanical vibration）： 物體在一定位置（中心）附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。E

2、x：鐘擺的擺動(dòng)，活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)等。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(simple harmonic motion) ：是最基本、最簡(jiǎn)單的振動(dòng)。11-1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述彈簧振子單擺8/20/202211-1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述彈簧振子物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移（or角位移）按余弦函數(shù)（or正弦函數(shù)）的規(guī)律隨時(shí)間變化。單擺簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征以彈簧振子為例：彈簧振子：質(zhì)量為m的物體系于一端固定的輕彈簧的自由端，彈簧和物體組成的系統(tǒng)稱為彈簧振子。 彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)，物體受合外力為零，物體處于平衡狀態(tài)，物體所在的位置就是平衡位置O點(diǎn)。 若把物體略加移動(dòng)后釋放，由于彈簧被拉長(zhǎng)或收縮，便有指向平衡位置的回復(fù)力作用

3、在物體上，迫使物體返回平衡位置，這樣在彈性力作用下，物體就在其平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。單擺的小角度擺動(dòng)也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。A 平衡位置 Ax=-Av=0a=amaxx=0v=vmaxa=0 x=Av=0a=-amax8/20/2022（一）基本物理量簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式：運(yùn)動(dòng)規(guī)律由余(正)弦函數(shù)描述。1、A：振幅(amplitude) 物體離開平衡位置的最大位移； 單位：m、cm、mm、nm2、：角頻率or圓頻率 (angular frequency) 2秒內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)； 單位：弧度/秒（rad/s）3、t+0：位相或周相(phase) 決定任意時(shí)刻系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物 理量； 單位：弧度（rad）相：“

4、相貌”的意思，即相位決定 了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相貌。（1）0：初相 t=0時(shí)的位相，與初始條件有關(guān)；（2）相位差:兩個(gè)振動(dòng)：（3）同相：Ex:物體在正向最大處物體在平衡位置處8/20/2022xtO兩個(gè)振動(dòng)步調(diào)相同反相：（3）同相：xtO兩個(gè)振動(dòng)步調(diào)相反（4）超前：第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)超前第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)落后第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng) ）落后：第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)落后第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng) 超前和落后具有相對(duì)性！4、f 或：頻率（frequency） 單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)； 單位：赫茲（Hz）5、T：周期（period） 往復(fù)振動(dòng)一次的時(shí)間。 單位：秒（s）周期、頻率與角頻率關(guān)系：（第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)超前第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)

5、 ）8/20/2022（二）振動(dòng)曲線xtOT（三）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度與加速度4、f 或：頻率（frequency） 單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)； 單位：赫茲（Hz）5、T：周期（period） 往復(fù)振動(dòng)一次的時(shí)間。 單位：秒（s）周期、頻率與角頻率關(guān)系：A-A從圖上所獲得的信息： 振幅 A 周期T： t=0 時(shí)，速度 or注：t0 時(shí)對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)作曲線的斜率，由斜率判斷V0的正負(fù)。Ex:8/20/2022（四）振動(dòng)表達(dá)式的建立關(guān)鍵：初相位的確定。（1）已知 t =0時(shí)，振動(dòng)位移：x = x0 振動(dòng)速度：v = v0基本方程：則振幅：初相位：（三）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度與加速度討論：（1）（2）v 比 x

6、的相位超前 ，a比 v 的 相位超前 。a 比 x 的相位超前（a 和 x 反相）代數(shù)法解：由 式，當(dāng) t =0，得8/20/2022注意：（2）已知t = 0時(shí)，和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向（v00或v00）解：由 式得：可求得兩個(gè)值，利用v0的方向和式可定出。若v00必須0若v0 0必須 0總之，只要知道初始條件，即可利用方程 來求得A、 。（3）如果已知的不是 t = 0 時(shí)的 x、v，（四）振動(dòng)表達(dá)式的建立關(guān)鍵：初相位的確定。（1）已知 t =0時(shí)，振動(dòng)位移：x = x0 振動(dòng)速度：v = v0基本方程：則振幅：初相位：1、代數(shù)法解：由 式，當(dāng) t =0，得 不是唯一的，需要具體分析（由速度正負(fù)判

7、斷）。同樣可以利用方程 求A、 。 例題： A（2）：輔P259 例92（自學(xué)） C（2）：輔P202 例1118/20/2022 旋轉(zhuǎn)矢量 的模即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅。 旋轉(zhuǎn)矢量 的角速度即為振動(dòng)的角頻率。 旋轉(zhuǎn)矢量 與x軸的夾角(t+)為 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位。 t =0時(shí)， 與x軸的夾角即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相位。xP周期： 旋轉(zhuǎn)矢量 旋轉(zhuǎn)一周，P點(diǎn)完成一次全振動(dòng)。二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量 (rotating vector ) 表示法：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的幾何描述法P的坐標(biāo)為：在 旋轉(zhuǎn)過程中，M點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的圓周叫參考圓，故旋轉(zhuǎn)矢量法又稱參考圓法。參考圓：上半圓v0繞O點(diǎn)作逆時(shí)針方向的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。自 OX

8、軸的原點(diǎn)O作一矢量 ，旋轉(zhuǎn)矢量 的端點(diǎn)M在X軸上的投影點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 旋轉(zhuǎn)一周（逆時(shí)針方向），P完成一次全振動(dòng)。8/20/2022旋轉(zhuǎn)矢量 的端點(diǎn)M在X軸上的投影點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 旋轉(zhuǎn)一周（逆時(shí)針方向），P完成一次全振動(dòng)。P的坐標(biāo)為：在 旋轉(zhuǎn)過程中，M點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的圓周叫參考圓，故旋轉(zhuǎn)矢量法又稱參考圓法。參考圓：上半圓 v0三、相位差xA二個(gè)振動(dòng)的頻率相同時(shí)，相位差為初相位差四、旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用：求解振動(dòng)表達(dá)式：時(shí)，用于求初相類型：1、文字題已知：當(dāng)t=0時(shí)，下半圓上半圓8/20/2022四、旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用：求解振動(dòng)表達(dá)式：時(shí)，用于求初相類型：1、文字題已知：當(dāng)t=0

9、時(shí)，下半圓上半圓2、圖像題已知：振動(dòng)曲線（余弦或正弦曲線）當(dāng)t=0時(shí)，x1/2AxtOA-AEx:由圖知，t=0時(shí)，x8/20/2022例題：書P99 例111 ，書P103 例113作業(yè)：A（2）：書 P 128 11-3，11-4， 11-5，輔 P 274 3，6C（2）：書 P 128 11-3，11-4， 11-5，輔 P 211 3，68/20/2022書P99例11-1:一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t = 0時(shí), 位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求: (1) 振動(dòng)表達(dá)式；(2) t = 0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；(3)如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x

10、=-0.6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：（1）由已知： A=12cm，T=2s，x6cm則振動(dòng)表達(dá)式：(2)(3)t = 0 時(shí)，8/20/2022例：一質(zhì)點(diǎn)沿X軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)曲線如圖所示，寫出振動(dòng)表式。解：由圖可知：振動(dòng)表式為：當(dāng)t=0時(shí)，A=0.2m，T=1s；x8/20/202211-2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征一、動(dòng)力學(xué)描述1. 彈簧振子理想模型根據(jù)胡克定律：(k為勁度系數(shù))在彈簧形變不大時(shí)，彈性力F 和位移x成正比。(2)彈性力F 和位移x 恒反向，始終指向平衡位置。回復(fù)力：始終指向平衡位置的作用力振動(dòng)的條件: (1)存在回復(fù)力；(2)物體具有慣

11、性由牛頓第二定律得：令:得：w由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)（物體的彈性和慣性）所決定，固稱為固有頻率。此微分方程的實(shí)數(shù)解為：振動(dòng)表達(dá)式8/20/2022得：此微分方程的實(shí)數(shù)解為：振動(dòng)表達(dá)式（簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)位移）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程： 任何一個(gè)物理量，如果它隨時(shí)間的變化規(guī)律滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)微分方程，或遵從余弦(或正弦)規(guī)律，則廣義地說，這一物理量在作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。如：交流電壓U為常數(shù)2. 單擺(simple pendulum)的討論 擺球質(zhì)量和細(xì)繩伸長(zhǎng)忽略不計(jì)，把擺球從平衡位置拉開一段距離后（擺角50）放手，擺球就在豎直面內(nèi)擺動(dòng)。Ol 8/20/20222. 單擺(simple pendulum)的討論 擺球質(zhì)量和細(xì)繩

12、伸長(zhǎng)忽略不計(jì)，把擺球從平衡位置拉開一段距離后（擺角50）放手，擺球就在豎直面內(nèi)擺動(dòng)。Ol mgT取角位移 的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向其中，（負(fù)號(hào)表示 與 方向相反）當(dāng) 很小，并以弧度表示時(shí)，即，結(jié)論：?jiǎn)螖[的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。令得8/20/2022以彈簧振子為例，來說明振動(dòng)系統(tǒng)的能量1、系統(tǒng)動(dòng)能：2、系統(tǒng)勢(shì)能：xxov二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量 基本方程：3、系統(tǒng)的總能量討論：（1）振子在振動(dòng)過程中，動(dòng)能和勢(shì)能 分別隨時(shí)間變化，但任一時(shí)刻總 機(jī)械能保持不變。（2）位移最大，勢(shì)能最大，但動(dòng)能最 小。在振動(dòng)曲線的峰值。 位移為0，勢(shì)能為0，但動(dòng)能最大， 在振動(dòng)曲線的平衡位置。8/20/20222、系統(tǒng)勢(shì)能：3、系統(tǒng)

13、的總能量討論：（1）振子在振動(dòng)過程中，動(dòng)能和勢(shì)能 分別隨時(shí)間變化，但任一時(shí)刻總 機(jī)械能保持不變。（2）位移最大，勢(shì)能最大，但動(dòng)能最 小。在振動(dòng)曲線的峰值。 位移為0，勢(shì)能為0，但動(dòng)能最大， 在振動(dòng)曲線的平衡位置。彈簧振子的能量曲線4、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)總的特征（1）線性回復(fù)力；（2）運(yùn)動(dòng)學(xué)：（3）機(jī)械能守恒：8/20/2022例題：書P106 114作業(yè)：A（2）：書P129 1114，輔P275 10 C（2）：書P129 1114，輔P215 28/20/2022書P129 1114: 當(dāng)彈簧振子離開平衡位置位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能，勢(shì)能各占總能量的多少？ 振子在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的

14、一半？解：8/20/202211-3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 一般的復(fù)雜振動(dòng)都是由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的，振動(dòng)合成問題比較復(fù)雜，這里我們只討論三種情況振動(dòng)的合成。1、兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成(重點(diǎn))2、兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成3、相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成設(shè)：兩個(gè)同方向（都為x方向），同頻率（都為w）的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式分別為：一、兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成因兩運(yùn)動(dòng)方向相同，則任意時(shí)刻合振動(dòng)的位移為兩分振動(dòng)位移的代數(shù)和：1、代數(shù)法推導(dǎo)合振動(dòng)8/20/20221、代數(shù)法推導(dǎo)合振動(dòng)結(jié)論：兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方向和頻率都與原來的兩個(gè)分振動(dòng)相同。合振動(dòng)的振幅：合振動(dòng)的初位相

15、：2、旋轉(zhuǎn)矢量法推導(dǎo)合振動(dòng)x8/20/2022x注意：的具體象限要根據(jù)1、2 確定討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)和減弱k=0，1，2，3，合振幅加強(qiáng)：2、旋轉(zhuǎn)矢量法推導(dǎo)合振動(dòng)（余弦定理）（三角形全等）1、 位相差 同向旋轉(zhuǎn)矢量表示：xA1A2xA=A1+A2合成 一起以 轉(zhuǎn)動(dòng)，保持相對(duì)靜止。8/20/2022旋轉(zhuǎn)矢量表示：xA1A2xA=A2-A1合成討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)和減弱k=0，1，2，3，合振幅加強(qiáng)：1、 位相差 同向旋轉(zhuǎn)矢量表示：xA1A2xA=A1+A2合成k=0，1，2，3，合振幅減弱：2、 位相差 反向8/20/2022兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成演示8/20/2022例11-5: 兩個(gè)同

16、方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)曲線(如圖所示) (1) 求合振動(dòng)的振幅。(2) 求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。xTt解: t=0時(shí)，x1和x2互為反相，合振幅最小由兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖：根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量法：xx1的振動(dòng)表達(dá)式為：由圖知：同理，t=0時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量法：xx1的振動(dòng)表達(dá)式為：x合振動(dòng)表達(dá)式為：8/20/2022二、兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成（了解）兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合振動(dòng)與原來的振動(dòng)方向相同，但不再在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。設(shè)兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式分別為：兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為： 相對(duì)于 的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為平行四邊形形狀變化，的大小也在變化，合運(yùn)動(dòng)為非簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。為簡(jiǎn)化問題，設(shè)振幅隨時(shí)間變化振動(dòng)項(xiàng)當(dāng)?shù)舜讼嗖詈苄r(shí)， 上式不符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義，所以合運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。8/20/2022合振動(dòng)可看成振幅間緩慢變化，簡(jiǎn)諧因子隨時(shí)間快速變化的近簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。“拍(beat)”振幅隨時(shí)間變化振動(dòng)項(xiàng)當(dāng)?shù)舜讼嗖詈苄r(shí)， 上式不符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義，所以合運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。隨時(shí) 把兩個(gè)頻率較大，但頻率之差很小的兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成所產(chǎn)生的合振動(dòng)其振幅周期性變化的現(xiàn)象叫做拍拍的周期：拍的頻率(簡(jiǎn)稱拍頻)：8/20/20228/20/2022三、相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成（了解）1. 相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成討論：1、 結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為直線yx2、結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為正橢圓 （以坐標(biāo)軸為主軸）設(shè)兩振動(dòng)表達(dá)式分別為