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1、第四篇 振動(dòng) 波動(dòng)和波動(dòng)光學(xué)我們生活在波的海洋中感謝:曹海靜老師提供 8/20/2022波動(dòng)是振動(dòng)在空間傳播的過程波動(dòng):物質(zhì)基本運(yùn)動(dòng)形式:機(jī)械振動(dòng)、電磁振蕩機(jī)械波、電磁波振動(dòng)學(xué)是波動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)第11章 振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)注:任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以認(rèn)為是由若干個(gè)簡(jiǎn)單而又基本的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)所合成的。第四篇 振動(dòng) 波動(dòng)和波動(dòng)光學(xué)振動(dòng):德布羅意波幾率波我們生活在波的海洋中。 振動(dòng)是普遍存在的一種運(yùn)動(dòng)形式 任何一個(gè)物理量(物體的位置、電流強(qiáng)度、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度等)在某一定值附近的反復(fù)變化。振動(dòng)(vibration):機(jī)械振動(dòng)(mechanical vibration): 物體在一定位置(中心)附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。E
2、x:鐘擺的擺動(dòng),活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)等。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(simple harmonic motion) :是最基本、最簡(jiǎn)單的振動(dòng)。11-1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述彈簧振子單擺8/20/202211-1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述彈簧振子物體運(yùn)動(dòng)時(shí),離開平衡位置的位移(or角位移)按余弦函數(shù)(or正弦函數(shù))的規(guī)律隨時(shí)間變化。單擺簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng):一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征以彈簧振子為例:彈簧振子:質(zhì)量為m的物體系于一端固定的輕彈簧的自由端,彈簧和物體組成的系統(tǒng)稱為彈簧振子。 彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí),物體受合外力為零,物體處于平衡狀態(tài),物體所在的位置就是平衡位置O點(diǎn)。 若把物體略加移動(dòng)后釋放,由于彈簧被拉長(zhǎng)或收縮,便有指向平衡位置的回復(fù)力作用
3、在物體上,迫使物體返回平衡位置,這樣在彈性力作用下,物體就在其平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。單擺的小角度擺動(dòng)也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。A 平衡位置 Ax=-Av=0a=amaxx=0v=vmaxa=0 x=Av=0a=-amax8/20/2022(一)基本物理量簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式:運(yùn)動(dòng)規(guī)律由余(正)弦函數(shù)描述。1、A:振幅(amplitude) 物體離開平衡位置的最大位移; 單位:m、cm、mm、nm2、:角頻率or圓頻率 (angular frequency) 2秒內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù); 單位:弧度/秒(rad/s)3、t+0:位相或周相(phase) 決定任意時(shí)刻系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物 理量; 單位:弧度(rad)相:“
4、相貌”的意思,即相位決定 了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相貌。(1)0:初相 t=0時(shí)的位相,與初始條件有關(guān);(2)相位差:兩個(gè)振動(dòng):(3)同相:Ex:物體在正向最大處物體在平衡位置處8/20/2022xtO兩個(gè)振動(dòng)步調(diào)相同反相:(3)同相:xtO兩個(gè)振動(dòng)步調(diào)相反(4)超前:第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)超前第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)(第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)落后第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng) )落后:第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)落后第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng) 超前和落后具有相對(duì)性!4、f 或:頻率(frequency) 單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù); 單位:赫茲(Hz)5、T:周期(period) 往復(fù)振動(dòng)一次的時(shí)間。 單位:秒(s)周期、頻率與角頻率關(guān)系:(第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)超前第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)
5、 )8/20/2022(二)振動(dòng)曲線xtOT(三)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度與加速度4、f 或:頻率(frequency) 單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù); 單位:赫茲(Hz)5、T:周期(period) 往復(fù)振動(dòng)一次的時(shí)間。 單位:秒(s)周期、頻率與角頻率關(guān)系:A-A從圖上所獲得的信息: 振幅 A 周期T: t=0 時(shí),速度 or注:t0 時(shí)對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)作曲線的斜率,由斜率判斷V0的正負(fù)。Ex:8/20/2022(四)振動(dòng)表達(dá)式的建立關(guān)鍵:初相位的確定。(1)已知 t =0時(shí),振動(dòng)位移:x = x0 振動(dòng)速度:v = v0基本方程:則振幅:初相位:(三)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度與加速度討論:(1)(2)v 比 x
6、的相位超前 ,a比 v 的 相位超前 。a 比 x 的相位超前(a 和 x 反相)代數(shù)法解:由 式,當(dāng) t =0,得8/20/2022注意:(2)已知t = 0時(shí),和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向(v00或v00)解:由 式得:可求得兩個(gè)值,利用v0的方向和式可定出。若v00必須0若v0 0必須 0總之,只要知道初始條件,即可利用方程 來求得A、 。(3)如果已知的不是 t = 0 時(shí)的 x、v,(四)振動(dòng)表達(dá)式的建立關(guān)鍵:初相位的確定。(1)已知 t =0時(shí),振動(dòng)位移:x = x0 振動(dòng)速度:v = v0基本方程:則振幅:初相位:1、代數(shù)法解:由 式,當(dāng) t =0,得 不是唯一的,需要具體分析(由速度正負(fù)判
7、斷)。同樣可以利用方程 求A、 。 例題: A(2):輔P259 例92(自學(xué)) C(2):輔P202 例1118/20/2022 旋轉(zhuǎn)矢量 的模即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅。 旋轉(zhuǎn)矢量 的角速度即為振動(dòng)的角頻率。 旋轉(zhuǎn)矢量 與x軸的夾角(t+)為 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位。 t =0時(shí), 與x軸的夾角即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相位。xP周期: 旋轉(zhuǎn)矢量 旋轉(zhuǎn)一周,P點(diǎn)完成一次全振動(dòng)。二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量 (rotating vector ) 表示法:簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的幾何描述法P的坐標(biāo)為:在 旋轉(zhuǎn)過程中,M點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng),對(duì)應(yīng)的圓周叫參考圓,故旋轉(zhuǎn)矢量法又稱參考圓法。參考圓:上半圓v0繞O點(diǎn)作逆時(shí)針方向的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。自 OX
8、軸的原點(diǎn)O作一矢量 ,旋轉(zhuǎn)矢量 的端點(diǎn)M在X軸上的投影點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 旋轉(zhuǎn)一周(逆時(shí)針方向),P完成一次全振動(dòng)。8/20/2022旋轉(zhuǎn)矢量 的端點(diǎn)M在X軸上的投影點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 旋轉(zhuǎn)一周(逆時(shí)針方向),P完成一次全振動(dòng)。P的坐標(biāo)為:在 旋轉(zhuǎn)過程中,M點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng),對(duì)應(yīng)的圓周叫參考圓,故旋轉(zhuǎn)矢量法又稱參考圓法。參考圓:上半圓 v0三、相位差xA二個(gè)振動(dòng)的頻率相同時(shí),相位差為初相位差四、旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用:求解振動(dòng)表達(dá)式:時(shí),用于求初相類型:1、文字題已知:當(dāng)t=0時(shí),下半圓上半圓8/20/2022四、旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用:求解振動(dòng)表達(dá)式:時(shí),用于求初相類型:1、文字題已知:當(dāng)t=0
9、時(shí),下半圓上半圓2、圖像題已知:振動(dòng)曲線(余弦或正弦曲線)當(dāng)t=0時(shí),x1/2AxtOA-AEx:由圖知,t=0時(shí),x8/20/2022例題:書P99 例111 ,書P103 例113作業(yè):A(2):書 P 128 11-3,11-4, 11-5,輔 P 274 3,6C(2):書 P 128 11-3,11-4, 11-5,輔 P 211 3,68/20/2022書P99例11-1:一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),振幅為12cm,周期為2s。當(dāng)t = 0時(shí), 位移為6cm,且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求: (1) 振動(dòng)表達(dá)式;(2) t = 0.5s時(shí),質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度;(3)如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x
10、=-0.6cm,且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解:(1)由已知: A=12cm,T=2s,x6cm則振動(dòng)表達(dá)式:(2)(3)t = 0 時(shí),8/20/2022例:一質(zhì)點(diǎn)沿X軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振動(dòng)曲線如圖所示,寫出振動(dòng)表式。解:由圖可知:振動(dòng)表式為:當(dāng)t=0時(shí),A=0.2m,T=1s;x8/20/202211-2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征一、動(dòng)力學(xué)描述1. 彈簧振子理想模型根據(jù)胡克定律:(k為勁度系數(shù))在彈簧形變不大時(shí),彈性力F 和位移x成正比。(2)彈性力F 和位移x 恒反向,始終指向平衡位置。回復(fù)力:始終指向平衡位置的作用力振動(dòng)的條件: (1)存在回復(fù)力;(2)物體具有慣
11、性由牛頓第二定律得:令:得:w由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)(物體的彈性和慣性)所決定,固稱為固有頻率。此微分方程的實(shí)數(shù)解為:振動(dòng)表達(dá)式8/20/2022得:此微分方程的實(shí)數(shù)解為:振動(dòng)表達(dá)式(簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)位移)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程: 任何一個(gè)物理量,如果它隨時(shí)間的變化規(guī)律滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)微分方程,或遵從余弦(或正弦)規(guī)律,則廣義地說,這一物理量在作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。如:交流電壓U為常數(shù)2. 單擺(simple pendulum)的討論 擺球質(zhì)量和細(xì)繩伸長(zhǎng)忽略不計(jì),把擺球從平衡位置拉開一段距離后(擺角50)放手,擺球就在豎直面內(nèi)擺動(dòng)。Ol 8/20/20222. 單擺(simple pendulum)的討論 擺球質(zhì)量和細(xì)繩
12、伸長(zhǎng)忽略不計(jì),把擺球從平衡位置拉開一段距離后(擺角50)放手,擺球就在豎直面內(nèi)擺動(dòng)。Ol mgT取角位移 的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向其中,(負(fù)號(hào)表示 與 方向相反)當(dāng) 很小,并以弧度表示時(shí),即,結(jié)論:?jiǎn)螖[的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。令得8/20/2022以彈簧振子為例,來說明振動(dòng)系統(tǒng)的能量1、系統(tǒng)動(dòng)能:2、系統(tǒng)勢(shì)能:xxov二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量 基本方程:3、系統(tǒng)的總能量討論:(1)振子在振動(dòng)過程中,動(dòng)能和勢(shì)能 分別隨時(shí)間變化,但任一時(shí)刻總 機(jī)械能保持不變。(2)位移最大,勢(shì)能最大,但動(dòng)能最 小。在振動(dòng)曲線的峰值。 位移為0,勢(shì)能為0,但動(dòng)能最大, 在振動(dòng)曲線的平衡位置。8/20/20222、系統(tǒng)勢(shì)能:3、系統(tǒng)
13、的總能量討論:(1)振子在振動(dòng)過程中,動(dòng)能和勢(shì)能 分別隨時(shí)間變化,但任一時(shí)刻總 機(jī)械能保持不變。(2)位移最大,勢(shì)能最大,但動(dòng)能最 小。在振動(dòng)曲線的峰值。 位移為0,勢(shì)能為0,但動(dòng)能最大, 在振動(dòng)曲線的平衡位置。彈簧振子的能量曲線4、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)總的特征(1)線性回復(fù)力;(2)運(yùn)動(dòng)學(xué):(3)機(jī)械能守恒:8/20/2022例題:書P106 114作業(yè):A(2):書P129 1114,輔P275 10 C(2):書P129 1114,輔P215 28/20/2022書P129 1114: 當(dāng)彈簧振子離開平衡位置位移為振幅的一半時(shí),其動(dòng)能,勢(shì)能各占總能量的多少? 振子在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的
14、一半?解:8/20/202211-3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 一般的復(fù)雜振動(dòng)都是由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的,振動(dòng)合成問題比較復(fù)雜,這里我們只討論三種情況振動(dòng)的合成。1、兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成(重點(diǎn))2、兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成3、相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成設(shè):兩個(gè)同方向(都為x方向),同頻率(都為w)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式分別為:一、兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成因兩運(yùn)動(dòng)方向相同,則任意時(shí)刻合振動(dòng)的位移為兩分振動(dòng)位移的代數(shù)和:1、代數(shù)法推導(dǎo)合振動(dòng)8/20/20221、代數(shù)法推導(dǎo)合振動(dòng)結(jié)論:兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振動(dòng)方向和頻率都與原來的兩個(gè)分振動(dòng)相同。合振動(dòng)的振幅:合振動(dòng)的初位相
15、:2、旋轉(zhuǎn)矢量法推導(dǎo)合振動(dòng)x8/20/2022x注意:的具體象限要根據(jù)1、2 確定討論:合振動(dòng)的加強(qiáng)和減弱k=0,1,2,3,合振幅加強(qiáng):2、旋轉(zhuǎn)矢量法推導(dǎo)合振動(dòng)(余弦定理)(三角形全等)1、 位相差 同向旋轉(zhuǎn)矢量表示:xA1A2xA=A1+A2合成 一起以 轉(zhuǎn)動(dòng),保持相對(duì)靜止。8/20/2022旋轉(zhuǎn)矢量表示:xA1A2xA=A2-A1合成討論:合振動(dòng)的加強(qiáng)和減弱k=0,1,2,3,合振幅加強(qiáng):1、 位相差 同向旋轉(zhuǎn)矢量表示:xA1A2xA=A1+A2合成k=0,1,2,3,合振幅減弱:2、 位相差 反向8/20/2022兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成演示8/20/2022例11-5: 兩個(gè)同
16、方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)曲線(如圖所示) (1) 求合振動(dòng)的振幅。(2) 求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。xTt解: t=0時(shí),x1和x2互為反相,合振幅最小由兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖:根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量法:xx1的振動(dòng)表達(dá)式為:由圖知:同理,t=0時(shí),根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量法:xx1的振動(dòng)表達(dá)式為:x合振動(dòng)表達(dá)式為:8/20/2022二、兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成(了解)兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合振動(dòng)與原來的振動(dòng)方向相同,但不再在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。設(shè)兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式分別為:兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為: 相對(duì)于 的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為平行四邊形形狀變化,的大小也在變化,合運(yùn)動(dòng)為非簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。為簡(jiǎn)化問題,設(shè)振幅隨時(shí)間變化振動(dòng)項(xiàng)當(dāng)?shù)舜讼嗖詈苄r(shí), 上式不符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義,所以合運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。8/20/2022合振動(dòng)可看成振幅間緩慢變化,簡(jiǎn)諧因子隨時(shí)間快速變化的近簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。“拍(beat)”振幅隨時(shí)間變化振動(dòng)項(xiàng)當(dāng)?shù)舜讼嗖詈苄r(shí), 上式不符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義,所以合運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。隨時(shí) 把兩個(gè)頻率較大,但頻率之差很小的兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成所產(chǎn)生的合振動(dòng)其振幅周期性變化的現(xiàn)象叫做拍拍的周期:拍的頻率(簡(jiǎn)稱拍頻):8/20/20228/20/2022三、相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成(了解)1. 相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成討論:1、 結(jié)論:質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為直線yx2、結(jié)論:質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為正橢圓 (以坐標(biāo)軸為主軸)設(shè)兩振動(dòng)表達(dá)式分別為
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