1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁福建省三明市第一中學2022屆高三6月質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知是虛數單位，若，則的值是（）ABCD12設集合，則（）ABCD3已知一個圓柱的底面直徑與高都等于球O的半徑，則該圓柱的表面積與球O的表面積之比為（）ABCD4已知某地區中小學生人數比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，為了了解該地區中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法隨機抽取的學生進行調查，其中被抽取的小學生有80人，則樣本容量和該地區的高中生近視人數分別為（）

2、A200，25B200，2500C8000，25D8000，25005已知，則（）ABCD6公元五世紀，數學家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數學的偉大成就.某教師為幫助同學們了解“祖率”，讓同學們把小數點后的7位數字1，4，1，5，9，2，6進行隨機排列，整數部分3不變，那么可以得到大于3.14的不同數字的個數為（）A720B1440C2280D40807已知圓，圓，若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則實數的取值范圍是（）ABCD8己知e為自然對數的底數，a，b均為大于1的實數，若，則（）A

3、BCD二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多 項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9設圓錐曲線C的兩個焦點分別為，若曲線C上存在點P滿足，則曲線C的離心率可以是（）ABCD210已知向量，其中，下列說法正確的是（）A若，則B若，則C若與的夾角為鈍角，則D若，向量在方向上的投影為11已知，且，則下列不等式中一定成立的是（）ABCD12已知紅箱內有6個紅球、3個白球，白箱內有3個紅球、6個白球，所有小球大小、形狀完全相同第一次從紅箱內取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回去，依此類推，

4、第次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回去記第次取出的球是紅球的概率為，則下列說法正確的是（）ABC第5次取出的球是紅球的概率為D前3次取球恰有2次取到紅球的概率是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13寫出一個滿足對定義域內的任意x，y，都有的函數：_14已知函數，且方程在內有實數根，則實數a的取值范圍是_15已知正方體中，點E為平面內的動點，設直線與平面所成的角為，若，則點E的軌跡所圍成的面積為_16己知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，連接，若直線與另一條漸近線交于點，且，則_；的周長為_四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫

5、出文字說明、證明過程或演算步驟。17已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(1)求角A；(2)若M為的中點，求面積的最大值18如圖，四邊形為菱形，將沿折起，得到三棱錐，點M，N分別為和的重心(1)證明：平面；(2)當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值19設數列的前n項和為，若(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和20當前，新一輪科技革命和產業變革蓬勃興起，以區塊鏈為代表的新一代信息技術迅猛發展，現收集某地近5年區塊鏈企業總數量相關數據，如下表年份20172018201920202021編號x12345企業總數量y（單位：千個）2.1563.7278.30524.2793

6、6.224(1)根據表中數據判斷，與（其中為自然對數的底數），哪一個回歸方程類型適宜預測未來幾年我國區塊鏈企業總數量？（給出結果即可，不必說明理由），并根據你的判斷結果求y關于x的回歸方程；(2)為了促進公司間的合作與發展，區塊鏈聯合總部決定進行一次信息化技術比賽，邀請甲、乙、丙三家區塊鏈公司參賽比賽規則如下：每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結束，該公司獲得此次信息化比賽的“優勝公司”已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場由甲乙比賽，求甲公司獲得“優勝公

7、司”的概率參考數據：，（其中）附：樣本的最小二乘法估計公式為，21如圖，已知拋物線的焦點為橢圓：（）的右焦點，點為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交拋物線于，兩點，交橢圓于，兩點（，依次排序），且，求直線的方程.22已知函數，（1）當時，求函數的圖象在處的切線方程；（2）若函數在定義域上為單調增函數求最大整數值；證明：PAGE 答案第 = 1頁，共 = sectionpages 2 2頁PAGE 16頁參考答案：1D【解析】【分析】根據復數的運算法則，得到，結合復數相等的條件，求得的值，即可求解.【詳解】由復數的運算法則，可得，因為，即，所以.故選：D.2

8、A【解析】【分析】先求出集合B，然后取并集即可.【詳解】集合則，故選：A3C【解析】【分析】設球的半徑為,分別求出球和圓柱的表面積即可求解.【詳解】設球的半徑為,則該圓柱的底面半徑為，高為所以圓柱的表面積為：,球的表面積為：則圓柱的表面積與球的表面積之比為故選：C4B【解析】【分析】由扇形分布圖觀察小學生在整個樣本中占40，可得樣本的容量為，再以此推出樣本中高中生的人數為，結合抽樣比和條形圖中高中生的近視率占比可算出該地區高中生的近視人數.【詳解】由由扇形分布圖結合分層抽樣知識易知樣本容量為，則樣本中高中生的人數為，易知總體的容量為，結合近視率條形圖得該地區高中生近視人數為.故選：B.5B【解

9、析】【分析】利用誘導公式結合弦化切可求得所求代數式的值.【詳解】.故選：B.6C【解析】【分析】以間接法去求解這個排列問題簡單快捷.【詳解】一共有7個數字，且其中有兩個相同的數字1.這7個數字按題意隨機排列，可以得到個不同的數字.當前兩位數字為11或12時，得到的數字不大于3.14當前兩位數字為11或12時，共可以得到個不同的數字，則大于3.14的不同數字的個數為故選：C7D【解析】【分析】由題意求出的距離，得到 P 的軌跡，再由圓與圓的位置關系求得答案【詳解】由題可知圓O 的半徑為，圓M上存在點P，過點P作圓 O 的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則，在中，所以點 在圓上，由于點 P 也在

10、圓 M 上，故兩圓有公共點.又圓 M 的半徑等于1，圓心坐標，.故選：D.8B【解析】【分析】由題意化簡得到，設，得到，結合題意和函數的單調性，即可求解.【詳解】由，可得，即，設，可得，因為，可得，又因為，所以，即，所以，當時，可得函數在為單調遞增函數，所以，即.故選：B.9AC【解析】【分析】結合橢圓和雙曲線的定義和離心率的求法，即可求得結果【詳解】若曲線是橢圓則其離心率為；若曲線是雙曲線則其離心率為；故選：AC10ABD【解析】【分析】利用共線向量的坐標表示可判斷A選項；利用向量垂直結合向量的模長公式可判斷B選項；由已知且、不共線，求出的取值范圍，可判斷C選項；利用平面向量的幾何意義可判斷

11、D選項.【詳解】對于A選項，若，則，解得，A對；對于B選項，若，則，所以，B對；對于C選項，若與的夾角為鈍角，則，可得，且與不共線，則，故當與的夾角為鈍角，則且，C錯；對于D選項，若，則，所以，向量在方向上的投影為，D對.故選：ABD.11BC【解析】【分析】由不等式的性質與基本不等式判斷.【詳解】，A錯；，成立，即B正確；，得，當且僅當時取等號，同理，當且僅當時取等號，又，即不同時等于1，C正確；當時，D錯.故選：BC12AC【解析】【分析】依題意求出，設第次取出球是紅球的概率為，則白球概率為，即可求出第次取出紅球的概率，即可得到，從而可判斷各個選項.【詳解】依題意， 設第次取出球是紅球的概

12、率為，則白球概率為，對于第次，取出紅球有兩種情況從紅箱取出的概率為，從白箱取出的概率為， 對應，即，故B錯誤；所以，令，則數列為等比數列，公比為，因為，所以，故，所以，故選項A，C正確；第1次取出球是紅球的概率為，第2次取出球是紅球的概率為，第3次取出球是紅球的概率為，前3次取球恰有2次取到紅球的概率是，故D錯誤；故選：AC13（答案不唯一）【解析】【分析】利用對數的運算性質可知函數符合題意.【詳解】若函數，則滿足題意，故答案為：（答案不唯一）14【解析】【分析】由題意可得在內有實數根，a的取值范圍即為函數的值域.【詳解】，方程在內有實數根，即在內有實數根，得，即a的取值范圍是，故答案為：15

13、【解析】【分析】連接交平面于，連接，則有四面體為正三棱錐，由題意可得在平面內的軌跡是以O為圓心，半徑為1的圓即可得答案.【詳解】解：如圖所示，連接交平面于，連接， 由題意可知平面， 所以是與平面所成的角，所以.由可得，即. 在四面體中，,所以四面體為正三棱錐，為的重心，如圖所示： 所以解得 ，,又因為，所以 ，即在平面內的軌跡是以O為圓心，半徑為1的圓，所以.故答案為:.16 【解析】【分析】求出直線的斜率，分析可知，可得出，可求得正數的值，計算出，利用余弦定理可求得，進而可求得的周長.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，如下圖所示：不妨設點在第三象限，則直線的方程為，因為，則，則為的中點，又因為為

14、的中點，則，所以，即，則，解得，所以，即直線的傾斜角為，則，在中，由余弦定理可得，因此，的周長為.故答案為：；.17(1)(2)【解析】【分析】（1）解法一：根據正弦定理邊化角求解即可；解法二：利用余弦定理將用邊表示再化簡即可；（2）解法一：根據基底向量的方法得，兩邊平方化簡后可得，再結合基本不等式與面積公式求面積最大值即可；解法二：設，再分別在，和中用余弦定理，結合可得，再結合基本不等式與面積公式求面積最大值即可(1)解法一：因為，由正弦定理得：，所以，因為，所以，為，所以解法二：因為，由余弦定理得：，整理得，即，又由余弦定理得所以，因為，所以(2)解法一：因為M為的中點，所以，所以，即，即

15、，而，所以即，當且僅當時等號成立所以的面積為即的面積的最大值為解法二：設，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以所以+式得在中，由余弦定理得，而，所以，聯立得：，即，而，所以，即，當且僅當時等號成立所以的面積為即的面積的最大值為18(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）延長交于點P，延長交于O點，連接,證明即可.（2）證明兩兩垂直，以O為坐標原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可.(1)延長交于點P，延長交于O點，連接因為點M，N分別為和的重心，所以點P，O分別為和的中點，所以，又平面，平面，所以平面(2)當三棱錐的體積

16、最大時，點D到底面的距離最大，即平面平面，連接，因為和均為正三角形，于是，又平面平面，所以平面，所以兩兩垂直，以O為坐標原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，所以，又二面角即二面角，設平面的一個法向量為，則可得，取，則，同理設平面的一個法向量為，則,即，取，則，所以，由圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為19(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據及等比數列的定義即可求得答案；（2）由錯位相減法即可求得答案.(1)因為所以，解得當時，所以，所以，即因為也滿足上式，所以是首項為1，公比為2的等比數列，所以(2)由（1）知，所以，所以-得，所以20(1)適宜；(2)【解析】【分析】

17、（1）根據題目中給的數據及公式進行計算可得回歸方程;（2）由概率的加法公式與乘法公式進行計算即可得到答案.(1)根據表中數據適宜預測未來幾年我國區塊鏈企業總數量，令，則，,，由公式計算可知，即.(2)設事件“甲公司獲得“優勝公司”，事件“在一場比賽中，甲勝乙”，事件“在一場比賽中，甲勝丙”，事件“在一場比賽中，乙勝丙”，則，因為兩兩獨立，兩兩互斥，由概率的加法公式與乘法公式得，所以甲公司獲得“優勝公司”的概率為21(1)(2)【解析】【分析】（1）確定拋物線即橢圓的右焦點坐標，繼而求得點，由此列出方程組，即可求得橢圓方程；（2）設直線方程，和拋物線以及橢圓分別聯立，求得相應的弦長，即的表達式，

18、利用，解方程可得答案.(1)由拋物線可知：，故由得： ,故 ，則 ，則對于有： ，解得，故橢圓方程為：；(2)過點的直線 的斜率不存在時，則有不符合題意，故設直線 的斜率為k，則直線方程為 ，聯立拋物線方程： ，整理得： ，設 ，則，故 ，聯立，整理得： ，設,則，則 ，又,故，即，整理得，解得 ，由題中所給圖可知， ，故，故直線的方程為.【點睛】本題考查了橢圓方程的求法，以及直線和橢圓相交時的弦長問題，綜合考查了學生分析問題，解決問題以及計算的能力，解答的關鍵是明確解答的思路，即聯立方程，計算弦長，難點就是計算量大且繁雜，要十分細心.22（1）（2）2見解析【解析】【詳解】試題分析：（1）將代入到函數，再對求導，分別求出和，即可求出切線方程；（2）若函數在定義域上為單調增函數，則恒成立，則先證明，構造新函數，求出單調性，再同理可證，即可求出的最大整數值；由得，令，可得，累加后利用等比數列求和公式及放縮法即可得證.試題