1、帶電粒子在電場和磁場中的運動及電磁力的求解 碩士學位論文重慶師范大學 二00九年四月摘 要帶電粒子在電場和磁場中的運動對于物理學和科學技術的許多重要領域都有重大意義。例如，質譜儀，示波器，電視顯像管，粒子加速器等儀器應用都與之有密切關系。此外，研究帶電粒子在電場和磁場中的運動已經成為等離子體物理理論研究的一個重要組成部分。關于帶電粒子在電場和磁場中的運動，許多人進行了大量的工作。在前人的工作中，基本上是從經典電磁場理論和經典力學出發研究帶電粒子的經典軌道，也很少有人對存在彈性界面的情況進行分析。本文將考慮存在彈性界面的情況，同時考慮帶電粒子的經典運動和相對運動，并通過求解帶電粒子的哈密頓正則方

2、程及Mathematica科學計算軟件程序包來描繪帶電粒子的運動軌跡。 本文還求解了磁標量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程，利用邊值問題求解電磁場，并且應用麥克斯韋應力張量來計算某些電磁作用力。本項目的研究成果對開拓和擴展電磁場理論應用的新領域具有一定的參考作用。 本文主要闡述了五個方面的內容。一，帶電粒子在電場和磁場中的經典運動；二，帶電粒子在電場和磁場中的相對論運動；三，帶電粒子在平行電場和磁場及彈性界面附近的運動；四，求解某些磁標量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程；五，應用麥克斯韋應力張量計算某些電磁作用力。關鍵詞：帶電粒子，電磁場，洛倫茲力，彈性界面，電勢，

3、邊值關系The Movements of Charged Particles in Electric and Magnetic Fields and the Solutions of Electromagnetic ForceABSTRACTStudy the movements of charged particles in the electric and magnetic fields with a great significance in many important areas of physics and scientific technology. For example, t

4、he applications of mass spectrometers, oscilloscopes, TV picture tubes, particle accelerators and other equipments are closely related to this study. In addition, study the movements of charged particles in the electric and magnetic fields have become an important component of the theory research in

5、 plasma physics. Many people carried out a lot of work about the movements of charged particles in the electric and magnetic fields. Most previous work basically started from the theory of classical electromagnetic field and classical mechanics to study the classical track of charged particles, but

6、few people analyzed the situation of flexible interface when it existed. This article will both consider the condition of the existence of a flexible interface and the classical and relative motion of charged particles, and then use the quantum theory to solve the particles Schrdinger eigen equation

7、 .This article will introduce the solutions of the Laplace equation when the magnetic scalar meet it and the Helmholtz equation when the electromagnetic vector satisfy it. This paper also solves the electromagnetic field through the use of boundary value problem and calculates certain electromagneti

8、c force through the application of Maxwell stress tensor. Research results of this project have a great reference significance to explore and expanse new areas of the application of electromagnetic theory.This article focuses on five aspects, it is arranged as follows:1. The classical movement of Ch

9、arged particles in electric and magnetic fields.2. The relative movement of Charged particles in electric and magnetic fields.3. The movement of Charged particles in parallel electric and magnetic fields and near the flexible interface.4. Solutions of the Laplace equation when certain magnetic scala

10、r meet it and the Helmholtz equation when the electromagnetic vector satisfy it.5. Calculate certain electromagnetic force by the application of Maxwell stress tensor.key words: Charged particles, Electromagnetic Field, Lorentz force, Flexible interface, electric potential , The relationship between

11、 boundary value目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc227770780 摘 要 PAGEREF _Toc227770780 h I HYPERLINK l _Toc227770781 ABSTRACT PAGEREF _Toc227770781 h II HYPERLINK l _Toc227770782 1引言 PAGEREF _Toc227770782 h 1 HYPERLINK l _Toc227770783 1.1 課題研究的背景及意義 PAGEREF _Toc227770783 h 1 HYPERLINK l _Toc22777078

12、4 1.2 本論文的主要工作及主要成果 PAGEREF _Toc227770784 h 1 HYPERLINK l _Toc227770785 2帶電粒子在電場和磁場中的經典運動 PAGEREF _Toc227770785 h 2 HYPERLINK l _Toc227770786 2.1 問題的提出 PAGEREF _Toc227770786 h 2 HYPERLINK l _Toc227770787 帶電粒子在電磁場中運動方程的分析 PAGEREF _Toc227770787 h 2 HYPERLINK l _Toc227770788 普遍情況 PAGEREF _Toc227770788

13、h 2 HYPERLINK l _Toc227770789 2.3.1 空間僅存在電場 PAGEREF _Toc227770789 h 3 HYPERLINK l _Toc227770790 2.3.2 空間僅存在磁場 PAGEREF _Toc227770790 h 3 HYPERLINK l _Toc227770791 2.3.3 電場與磁場同方向 PAGEREF _Toc227770791 h 4 HYPERLINK l _Toc227770792 電場與磁場垂直 PAGEREF _Toc227770792 h 4 HYPERLINK l _Toc227770793 2.4 討論 PAGE

14、REF _Toc227770793 h 5 HYPERLINK l _Toc227770794 3帶電粒子在電場和磁場中的相對論運動 PAGEREF _Toc227770794 h 6 HYPERLINK l _Toc227770795 3.1 問題的提出 PAGEREF _Toc227770795 h 6 HYPERLINK l _Toc227770796 電磁場相對論變換的一種推導 PAGEREF _Toc227770796 h 6 HYPERLINK l _Toc227770797 3.2.1 和的變換式的推導 PAGEREF _Toc227770797 h 6 HYPERLINK l

15、_Toc227770798 3.2.2 和的變換式的推導 PAGEREF _Toc227770798 h 8 HYPERLINK l _Toc227770799 帶電粒子在電磁場中的相對論運動的求解 PAGEREF _Toc227770799 h 10 HYPERLINK l _Toc227770800 討論 PAGEREF _Toc227770800 h 14 HYPERLINK l _Toc227770801 4帶電粒子在平行電場和磁場及彈性界面附近的運動 PAGEREF _Toc227770801 h 15 HYPERLINK l _Toc227770802 4.1 問題的提出 PAGE

16、REF _Toc227770802 h 15 HYPERLINK l _Toc227770803 4.2 理論模型和公式推導 PAGEREF _Toc227770803 h 15 HYPERLINK l _Toc227770804 4.2.1 帶電粒子在平行電場和磁場中的運動方程 PAGEREF _Toc227770804 h 15 HYPERLINK l _Toc227770805 4.2.2 帶電粒子在平行電場和磁場及存在兩個彈性界面時閉合軌道形成的條件 PAGEREF _Toc227770805 h 16 HYPERLINK l _Toc227770806 帶電粒子在平行電場和磁場及存在

17、兩個彈性界面時閉合軌道的模擬 PAGEREF _Toc227770806 h 19 HYPERLINK l _Toc227770807 4.3.1 粒子沒有碰到任何界面時的閉合軌道 PAGEREF _Toc227770807 h 19 HYPERLINK l _Toc227770808 4.3.2 粒子只碰到上界面時的閉合軌道 PAGEREF _Toc227770808 h 19 HYPERLINK l _Toc227770809 4.3.3 粒子只碰到下界面時的閉合軌道 PAGEREF _Toc227770809 h 20 HYPERLINK l _Toc227770810 4.4 討論 P

18、AGEREF _Toc227770810 h 21 HYPERLINK l _Toc227770811 5求解某些磁標量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程 PAGEREF _Toc227770811 h 23 HYPERLINK l _Toc227770812 5.1 問題與分析 PAGEREF _Toc227770812 h 23 HYPERLINK l _Toc227770813 5.2 雙環電荷的面電荷密度的表象與勒讓德函數形式級數展開 PAGEREF _Toc227770813 h 24 HYPERLINK l _Toc227770814 分區解拉普拉斯方程并用邊界條件與邊

19、值關系確定系數 PAGEREF _Toc227770814 h 24 HYPERLINK l _Toc227770815 5.4 特例與拓展 PAGEREF _Toc227770815 h 26 HYPERLINK l _Toc227770816 5.4.1 特例 PAGEREF _Toc227770816 h 26 HYPERLINK l _Toc227770817 5.4.1 拓展 PAGEREF _Toc227770817 h 27 HYPERLINK l _Toc227770819 6應用麥克斯韋應力張量計算某些電磁作用力 PAGEREF _Toc227770819 h 28 HYPE

20、RLINK l _Toc227770820 問題的提出 PAGEREF _Toc227770820 h 28 HYPERLINK l _Toc227770821 麥克斯韋方程的一種討論 PAGEREF _Toc227770821 h 28 HYPERLINK l _Toc227770822 麥克斯韋應力張量 PAGEREF _Toc227770822 h 33 HYPERLINK l _Toc227770823 6.4 .用應力張量計算磁作用 PAGEREF _Toc227770823 h 34 HYPERLINK l _Toc227770824 用虛功原理計算單芯偏心電纜單位長度的靜電力 P

21、AGEREF _Toc227770824 h 36 HYPERLINK l _Toc227770825 6.6橫截面為透鏡形的柱狀分布電荷的電場 PAGEREF _Toc227770825 h 39 HYPERLINK l _Toc227770826 6.7結論 PAGEREF _Toc227770826 h 43 HYPERLINK l _Toc227770828 7結論與展望 PAGEREF _Toc227770828 h 44 HYPERLINK l _Toc227770835 參考文獻 PAGEREF _Toc227770835 h 45 HYPERLINK l _Toc2277708

22、36 致 謝 PAGEREF _Toc227770836 h 47 HYPERLINK l _Toc227770837 攻讀碩士學位期間發表的論文及科研情況 PAGEREF _Toc227770837 h 481引言1.1 課題研究的背景及意義帶電粒子在電場和磁場中的運動對于物理學和科學技術的許多重要領域都有重大意義。磁場對運動粒子的洛倫茲力有許多實際應用。雖然因為與v垂直而不做功，但它會改變粒子運動的方向。在某些情況下巧妙的配以適當的電場E可以非常有效的控制帶電粒子的運動，從而達到各種既定的目的。例如，質譜儀，示波器，電視顯像管，粒子加速器等儀器應用都與之有密切關系。此外，研究帶電粒子在電場

23、和磁場中的運動已經成為等離子體物理理論研究的一個重要組成部分。關于帶電粒子在電場和磁場中的運動，許多人進行了大量的工作。在前人的工作中，基本上是從經典電磁場理論和經典力學出發研究帶電粒子的經典軌道，也很少有人對存在彈性界面的情況進行分析。本文將考慮存在彈性界面的情況，同時既考慮帶電粒子的經典運動和相對運動，又通過用量子理論求解帶電粒子的哈密頓正則方程。電磁理論早些時候多用于軍事領域，其發展和無線電通信，雷達的發展應用密不可分。如今，電磁理論的應用已經很廣，涉及到地理科學，材料科學和信息科學等很多科學技術領域。計算電磁場研究的內容涉及面也很廣，與電磁場工程，電磁場理論相互聯系，相互依賴。對電磁場

24、工程而言，計算電磁場要解決的是實際電磁場工程中越來越復雜的建模和仿真，優化設計等問題。對電磁場理論而言，計算電磁場可以為其研究提供復雜的數值及解析運算的方法、手段和計算結果。近幾十年來，電磁理論的發展，無一不是與計算電磁場的發展相聯系的。目前，計算電磁場已為電磁理論的深入研究開辟了新的途徑，并極大地推動了電磁工程的發展。本項目的研究成果對開拓和擴展電磁場理論應用的新領域具有重要的參考作用。1.2 本論文的主要工作及主要成果本文主要采用解析法與數值計算相結合進行研究。通過哈密頓正則方程求解帶電粒子的運動；編制程序及利用Mathematica科學計算軟件程序包來描繪帶電粒子的運動軌跡；重點闡述利用

25、應力張量和虛功原理對電磁力的求解。2帶電粒子在電場和磁場中的經典運動2.1 問題的提出帶電粒子在均勻電磁場中的運動是電磁學研究的主要內容之一，其應用又十分廣泛。比如，實驗室中的陰極射線管，高能物理中常用的回旋加速器、質譜儀等設備都應用和涉及到這方面的規律和知識。文獻1中有一個思考題是討論質子無初速出發，在相互垂直的電磁場中運動的情況。 由于運動從定性的角度很難說清楚，而在文獻25或電磁學教材67中，對帶電粒子在電磁場中運動狀態的分析，都是針對一些特殊情況進行的，并沒有就帶電粒子在電磁場中運動的更一般情況進行全面分析。本章擬從帶電粒子在一般電磁場中所受到的洛倫茲力出發，系統研究其運動的狀態，并針

26、對某些特殊情況，用數值分析方法，研究其運動規律，并給出不同條件下的運動軌跡線。2.2 帶電粒子在電磁場中運動方程的分析在不考慮重力且空間同時存在電場 和磁場 的情況下，質量為m、速度為的帶電粒子q(0)受到的洛淪茲力為 =q+q ()若將的方向取做z軸，與的夾角為，在 x-y平面上的投影與x軸正向夾角 ，根據牛頓定律，粒子運動的方程在直角坐標中的分解式是 ()現以上述幾式為基礎，討論帶電粒子在均勻電磁場中運動的普遍情況。2.3 普遍情況我們假設，在計時開始時，粒子在坐標原點，初速.對(2)式進行拉普拉斯變換，得： （）其中，.由(2.3.1)式，得 （）其中,對()式作逆變換，得 ()()式可

27、以描述帶電粒子在均勻磁場中運動的普遍規律：當電場與磁場之間的夾角確定后，帶電粒子在z方向(磁場方向)的運動是勻加速直線運動，加速度是，在與磁場垂直的平面上，粒子呈振蕩情形。下面就一些不同條件對(2.3.3)式進行討論。 空間僅存在電場此時，則b=0。重新解()式，得運動方程是 ()其中，上式的軌跡是一條空間拋物線。 空間僅存在磁場此時，=0，則e=0。由()式，帶電粒子的運動方程是 ()若令則,可以證明，即在平面上，帶電粒子的軌跡是圓周運動，則()式表示的運動軌跡是螺旋線，螺距為,當=0時，運動軌跡是平面上的圓周運動。2.3.3 電場與磁場同方向此時，=0，則e=0。由()式，帶電粒子的運動方

28、程是 ()與(2.2.2)的分析相同，(2.3.6)式表達的運動軌跡是螺旋線，螺距是,隨時間增大。2.3.4 電場與磁場垂直此時，.可適當取坐標，使得沿方向，則有 =0.由()式，帶電粒子的運動方程是 ()當，軌跡是平面內的擺線，周期。如圖2.1所示，擺線擺動的方向取決于b的符號（即粒子的正負），圖2.1是b0的情況，當0，=0時（即、三者垂直）有兩種情況，第一種是情況時，軌跡是平面內的擺線，周期.為了使擺線的方向向右（圖形看起來符合習慣）我們取b0.當0，是短幅擺線，如圖2.2（a）當，仍是短幅擺線，與圖2.2（a）不同的是，擺線在軸的下方，如圖2.2（b）.當=，是普通擺線，如圖2.2（c

29、），擺線的起始位置與圖不同，當，是長幅擺線，如圖2.2（d）.第二種是在=情況時，軌跡是平面內的直線，這正式質譜儀的原理，如圖2.2(e).圖2. 1 普通擺線 圖2.2 不同條件下的擺線2.4 討論我們將文獻1中的問題進行了拓展性的討論，發現帶電粒子在相互垂直的電磁場中的運動是一個復雜問題。除了在一般教材中討論的直線運動、圓周運動、螺旋運動外，還有以擺線作為軌跡的運動。按照條件的不同，擺線的形式也不相同，有一般擺線、短輻擺線和長輻擺線。3帶電粒子在電場和磁場中的相對論運動3.1 問題的提出帶電粒子在均勻電磁場中運動是一個有趣的問題,初看起來,似乎是帶電粒子會在垂直于磁場的平面內作圓周運動,同

30、時沿電場方向作勻加速運動,整個運動是這兩種運動的合成。考慮到粒子運動的相對性,通過求解帶電粒子在均勻電磁場中的運動方程,可以證明實際的運動并非是簡單的兩種運動的合成,為了深刻理解發生的原因,我們就在四維閔可夫斯基空間,對帶電粒子在均勻電磁場中的相對論運動進行求解。3.2電磁場相對論變換的一種推導在電磁場相對論變換公式的推導中,常用3種方法:第一,由標量和矢量 A的定義,引入四維勢矢量,建立電磁場張量,根據四維二階張量的變換公式導出;第二,由麥克斯韋方程,在滿足相對論協變的要求下,據微分運算的相對論變換公式導出。第三,由洛侖茲公式,在滿足相對論協變性的要求下,據四維矢量和四維速度矢量的相對論變換

31、公式導出。這三種方法都能導出電磁場矢量和的變換公式,但進一步的導出電位移矢量和磁場強度的變換公式有困難且推導過程也很復雜。下面采用一種簡單的方法對和的變換式、和的變換式進行推導。3.2.1 和的變換式的推導電磁場由電場強度和磁感應強度描述,由麥克斯韋方程組,在慣性系中,它們滿足如下方程: （） （3.2.2）寫成分量形式,并加以變形有: （3.2.3）引入四維矢量則有，四維矢量四維矢量0=（0，0，0，0）以上分量方程可用如下一個矩陣方程表示： （）其中T是四階矩陣 （）代入（）中比較得： （）麥克斯韋方程服從相對性原理,是洛侖茲協變的,在一切慣性系中數學形式不變,因此,在沿ox軸正方向相對于

32、以速度勻速運動的慣性系中也有: （）其中 （）注意到X和0是四維矢量代入（）式中有： （3.2.9）其中，是洛倫茲變換矩陣 在式（）的兩邊用的轉置矩陣右乘,并記住=I(單位矩陣),可得:和和（3.2.2）式比較有寫成分量式 考慮到，則對各分量的變換關系為： 將代入以上各式，最后將得到和的變換關系為更一般的形式為式中和分別表示與速度平行和垂直的分量。實際上,滿足變換公式,且的四階矩陣就是四維二階張量,因此,我們不僅導出了電磁場矢量和的變換關系,而且還知道了和可按矩陣的方式構成一個四維二階反對稱電磁場張量。3.2.2 和的變換式的推導同樣的方法可導出和的變換,推導如下:在慣性系中,由麥克斯韋方程組

33、, 和滿足如下方程:其中, J是電流密度,是電荷體密度。上面的方程可用如下一個矩陣方程來表示: （）其中, 是四維電流密度矢量,是四階矩陣。 （）在慣性系中，又有： （）和X是四維矢量 （） （）結合（）-（3.2.14），并記=I 可得從而得到和的變換公式是：寫成更一般的形式為：注意到,因此, 和可按矩陣F的形式構成四維二階反對稱張量。3.3帶電粒子在電磁場中的相對論運動的求解我們知道帶電粒子的相對論運動方程為：；由質量關系式，能量與動能的關系式：，得到而 ()1）當帶電粒子僅在磁場中運動時，外力與垂直,則(=0),此時 ()帶電粒子速度可以分解成與平行的速度和與垂直的速度,若與平行的分速度

34、,則帶電粒子的運動軌跡是是軸的螺旋線,若平行的分速度,則帶電粒子的運動軌跡是垂直于平面的圖(圖)。圖3.1 帶電粒子在磁場中的運動軌跡 2)帶電粒子僅在電聲場中運動時 ()而,所以那么若帶電粒子初速度或平行于電場,則帶電粒子的運動軌跡是一條直線,若是不平行于電場,則帶電粒子的運動軌跡是一條曲線(懸鏈線)(圖3.2)。圖3.2 帶電粒子在電場中的運動3）當帶電粒子在組合的電場和磁場中運動時（圖3.3），我們采用的方法是在四維閔可夫斯基空間進行計算，我們知道了粒子在四維空間的運動議程為,， ()式中，為粒子四維速度，為原點時間隔，為電磁張量。 帶電粒子在組合的電場與磁場運動的四維空間在具體問題中，

35、的形式 ()將上述的值代入（3.3.4）式便得到四個分量方程： () () () ()式中，初始條件時，x=y=z=ct=0,;而，積分()式，注意初始條件，得： ()積分()式，注意初始條件，得： ()將()代入)式，當時得到 ()此式的一般解為： ()式中，為積分常數利用初始條件，可求得： 所以 ()將()式代入)式，積分并注意初始條件，得(5)將()式代入)式求解，并注意初始條件，得(6)積分()式，注意初始條件，得： 7)如果從(6)式將原時表示為時間的顯示，代入) )和)式，則得的表達式。當時，只需要注意到及，()、 )和)式分別變為：當B=E是，首先將雙曲正弦和雙曲余弦按級數展開：

36、然后令B=E，則得，的表達式為：3.4討論通過以上的解,我們可以看出帶電粒子在均勻磁場中的運動方程是的雙曲函數,由于考慮到粒子運動的相對性,其運動規律不遵守牛頓第二定律，當帶電粒子的初速度時,其運動規律就符合牛頓定律,其運動軌跡可以是兩種運動的合成,但經過足夠長的時間之后,即使帶電粒子的初速度很小,其速度也會越來越趨近于光速(不考慮輻射),仍適相對論運動規律。4帶電粒子在平行電場和磁場及彈性界面附近的運動4.1 問題的提出進行了分析。對于存在兩個彈性界面的情況，并沒有進行探討。本章首先從哈密頓正則方程出發推導出了帶電粒子在平行電磁場及彈性界面附近的運動方程，然后討論了存在兩個彈性界面時粒子的閉

37、合軌道，最后用計算機對帶電粒子的一些閉合軌道進行了模擬。4.2 理論模型和公式推導 帶電粒子在平行電場和磁場中的運動方程如圖1所示，質量為，帶電量為-e的粒子，在電場F和磁場B（F/B）中運動。兩個彈性界面垂直于Z軸，位于原點兩側，界面距離原點的距離分別為和。圖 帶電粒子在平行電場和磁場兩個彈性界面運動的圖示粒子的哈密頓為，矢勢A取為7。假定電場和磁場沿z軸方向，則，。若采用柱坐標（），則粒子的哈密頓量用可表示為： ()其中，根據哈密頓正則方程，可推導出帶電粒子在平行電場和磁場中的運動方程。 () ()其中，為帶電粒子的出射角，E為帶電粒子的能量。 帶電粒子在平行電場和磁場及存在兩個彈性界面時

38、閉合軌道形成的條件下面，我們討論帶電粒子的出射向滿足什么條件時，粒子從原點出發后，又返回到原點，即形成一條閉合軌道。我們分幾種情況進行討論；.1粒子在運動中沒有碰到任何界面就形成閉合軌道（1）當=0時，即粒子沿Z軸出射。當粒子達到最高點時 ()此時，。因此，若，則粒子不碰到界面就返回原點形成閉合軌道，粒子的運動周期為。（2）當=0時，由可知：時才可能形成閉合軌道。當粒子運動達到最高點時，由以上分析同理可知，此時： 若，即，則粒子在運動過程中不碰到上界面。若粒子能形成閉合軌道，由得，即，由得：當時，粒子恰好回到原點。由此得粒子運動的初始角滿足，且時能開成閉合軌道。.2粒子在運動中只碰到一個界面后

39、形成閉合軌道（1）粒子在運動中只碰到上界面后形成閉合軌道=0時，由前面的分析可知，若，則粒子碰到上界面后返回原點形成閉合軌道，粒子碰到上界面時，。由此推出，由對稱性可知粒子運動的周期為。時，由可知：時才可能形成閉合軌道，根據前面的分析，當時，粒子在運動過程中碰到上界面，由于界面是完全彈性的，通過分析可以看出只有粒子初次碰到上界面時在處，此時軌道才為閉合的。設碰撞時時時間為。由于為遞減函數，所以只要保證即可。若軌道為閉合的，即滿足，。解以上方程得： ，周期。（2）粒子在運動中只碰到下界面后形成閉合軌道=0時，若，則粒子不會碰到上界面，粒子碰到下界面后返回形成閉合軌道。時，則粒子沿Z軸負方向出射。

40、此時粒子碰到下界面后才可能返回原點形成閉合軌道。經計算粒子到達下界面的時間。由于對稱性，粒子一定能返回到原點。且粒子從碰撞后到原點的時間，故周期時，由于界面是完全彈性的，可以分析看出只有粒子不碰到上界面且初次碰到下界面時在處，此時軌道才為閉合的，設初次碰撞時間為，若軌道為閉合的，即滿足， 以上方程，得：，周期。當滿足以上條件時粒子只碰到下界面就形成閉合軌道。.3粒子在運動中碰到兩個界面后才形成閉合軌道若粒子在運動中碰到兩個界面后才形成閉合軌道，在此情況下粒子滿足：恰好碰第一個界面時時。下面，分幾種情況進行討論：（1）當=0時，即粒子沿Z軸出射。若，則粒子碰到上界面后返回碰到下界面后再返回形成閉

41、合軌道。（2）當時，即粒子沿Z軸負方向出射。由對稱性可知，若，則粒子先碰到下界面后返回碰到上界面后再返回形成閉合軌道。（3）時，由公式()，令z=，可知粒子初次到達上界面的時間為： ()把帶入公式()得。經過上界面的反彈以后，粒子到達下界面，同理可求出到達下界面的時間為 ()若此時粒子恰好碰到上界面時在處，則能形成閉合軌道，幫軌道閉合時有： ()由上式解出即為形成閉合軌道時的初射角，軌道得周期。（4）時，由公式()，令可知粒子初次到達下界面時間為： ()把代入公式()得。經過下界面反彈后，粒子到達上界面，同理可求出粒子到達上界面時間為： () 若此時粒子恰好碰到上界面時在處，則能形成閉合軌道。

42、故閉合時由可解出，此即形成閉合軌道的初射角，周期為。4.3帶電粒子在平行電場和磁場及存在兩個彈性界面時閉合軌道的模擬V，F=100V/cm。計算中采取原子單位制，。4.3.1 粒子沒有碰到任何界面時的閉合軌道當E=0.01ed，F=100V/cm時，故可以碰到上界面。閉合軌道形成的任何為：。當j=1時，此時粒子的閉合軌道如圖4.2（a）所示。當j=2時，此時粒子的閉合軌道如圖4.2（b）所示。圖4.2 帶電粒子在平行電場中沒有碰到彈性界面時的閉合軌道當j=3,4,5,6時，經計算均不滿足條件，故不存在閉合軌道。4.3.2 粒子只碰到上界面時的閉合軌道I. 當時，粒子沿Z軸出射，此時粒子閉合軌道

43、如圖4.3(a)所示。圖4.3 帶電粒子在平行電場中沒有碰到彈性界面時的閉合軌道III. 當時，此時閉合軌道形成的條件為，且。當j=1時，時。此時粒子閉合軌道如圖4.3(b)所示。當j=2,3,4時，均不滿足條件,故不存在閉合軌道。4.3.3 粒子只碰到下界面時的閉合軌道I. 當時，即粒子沿Z軸負方向出射。此時粒子閉合軌道如圖4.4(a)所示。II. 當時，此時閉合軌道形成的條件為：，且。當j=1時，此時粒子閉合軌道如圖4.4中(b)所示。當j=2時，此時粒子閉合軌道如圖4.4中(c)所示。當j=3,4,5時，故此時不存在閉合軌道。圖4.4 帶電粒子在平行電場中只與下界面碰撞時形成的閉合軌道4

44、.4 討論 帶電粒子在電磁場中的運動，是一個較為復雜的問題，本章就一種殊情況，電場和磁場平行的情況，從哈密頓正則方程出發討論了其運動方程。并根據其運動方程討論了有兩個彈性界面時的閉合軌道：通過計算可以看出，當初始條件滿足一定關系時，確實能形成閉合軌道，并且軌道的數目與初始條件有關。最后根據討論的結果運用計算機編程繪出閉合軌道。本章的研究可以使我們更形象更直觀的了解帶電粒子在電場和磁場中的運動情況。對于很多負離子體系(如H體系) 在均勻強外場中的運動問題，當最外面的電子離原子核較遠時，電子與原子核之間的庫侖勢和電子與強外場之間的作用勢相比便可以忽略不計，因此負離子體系在外場中得運動學問題可以簡化

45、為電子在強外場中的運動問題。通過對帶電粒子在電磁場中運動的分析，可為帶電粒子在電磁場中的動力學性質的研究打好理論基礎。5求解某些磁標量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程5.1 問題與分析雙環靜電問題是指真空中任意方向、任意位置處放置的軸線相交的兩個均勻帶電圓環靜電問題，如圖5.1所示，求全空間中的電勢分布。 該問題看似很簡單，只要把雙環各自在周圍空間激發產生的電勢疊加起來就得到空間電勢解表達式了。可事實不然，因為我們所知的只是單環軸對稱的電勢解表達式，雙環時空間已不再具備軸對稱性，沒法直接引用軸對稱電勢解簡單相加來完成，誠然還有一個辦法，那就是進行坐標變換把非對稱環在帶撇號坐標系中

46、的軸對稱解變換到不帶撇號坐標系中的電勢解，然后再作疊加實現，但坐標變換關系比較復雜不易導出電勢解析式。本章我們避開疊加原理與坐標變換而使用均勻帶電圓環在球坐標中的特定球面上電荷密度表象、勒讓德函數級數展開法、球函數的加法定理、分區分離變量法解電勢拉普拉斯方程結合分區界面上的邊值關系得到雙環電勢問題的解析解，并作簡單討論。5.2 雙環電荷的面電荷密度的表象與勒讓德函數形式級數展開 如圖所示，我們以雙環軸線的交點為球坐標原點，環1的軸線為Z軸，環1的環心位于球坐標(，0，0)，環1半徑為n，帶電總量是；環2軸線方向在直角坐標OXYZ相應的球坐標經緯角為和上，環2的環心位于球坐標(，)，半徑為，帶電

47、總量為。于是由幾何關系有,R1=, R1= ()而由于環1在OXYZ直角坐標相應的球坐標(r,)中半徑為的球面上的電荷面密度表象為 ()環2在直角坐標相應的球坐標（）中的半徑的球面上的電荷面密度表象是 ()把()、)兩式在各自球坐標中按勒讓德函數展開，即得 () ()而，所以由球函數的加法定理有 ()用連帶勒讓德函數表示，即代入得 ()把()代入)得 ()5.3分區解拉普拉斯議程并用邊界條件與邊值關系確定系數建立如圖1所示OXYZ直角坐標對應的球坐標系（）下分離變量解電勢拉普拉期議程并應用自然邊界條件有 （） () () ()注意到在分區球面上電勢應滿足邊值關系即 () ()比較()、)式中的

48、球諧函數的系數或應用球諧函數正交性有 () ()同樣在球面上電勢應滿足邊值關系故 () ()比較球諧函數系數，從而有 () ()解()、)、)和)式得 () () () ()（r） ()（r） ()（r） ()5.4 特例與拓展5.4.1 特例 當，時，雙環靜電呈軸對稱性（），其電勢解析為 () () ()它們完全表現為電勢疊加形式。 非對稱帶電環在原點位于軸線上球坐標中的電勢解是 () ()式中Q為帶電總環總電量，為環半徑，和為帶電環軸線在球坐標中經緯角。5.4.1 拓展 當真空中放置n 個均勻帶圓環且各環軸線相交于一個公共點，n個圓環各自位于以軸線交點發原點的不同球面上，則可將電場空間分割

49、成n+1個場區，應用上述環電荷面密度表象、分區解電勢拉普拉斯方程得到問題解。當n 個帶電環中出現部分帶電環位于相同球面上或所有帶電環均勻位于同一球面上時，僅有電場空間分區數變少，其電荷面密度的疊加。6應用麥克斯韋應力張量計算某些電磁作用力6.1問題的提出在用洛倫茲力公式計算帶電體或載有電流的物體所受的電磁作用力時，必須除去受力電荷或受力電流本身的場才能得到正確的結果。即式中的需是除去受力電荷本身后其它所有電荷在所求點產生的電場l；同樣是除去受力電流后其它所有電流在所求點產生的磁場。但在很多情況下，往往遇到總場較易求出，而較難分清在總場中哪些是受力電荷或電流本身產生的場，哪些是其它電荷或電流產生

50、的場。本章認為，在可以計算出總場的情況下，用總場導出的麥克斯韋應力張量來直接計算電磁力，避免了對總場中成分組成的復雜討論，也是一種普適的方法。在以往的一些文獻中對用麥克斯韋應力張量來直接計算電荷間的電作用力已作過很多討論，但用該方法計算磁作用力的例子卻很少。本章試圖通過例子說明，在討論電流間的磁作用力時，該方法同樣適用。6.2麥克斯韋方程的一種討論描述宏觀電磁現象的麥克斯韋方程組,是大家早已熟悉的,為以下敘述方便,不妨再予列出。當選取,則C1時，方程組的微分形式為 （6.2.1） （6.2.2） （6.2.3） （6.2.4）在方程組中,已包含了所謂電荷守恒定律,即電流密度與電荷密度滿足的連續

51、性方程 （6.2.5）另外,當帶電粒子在電磁場中運動時,受到洛侖茲力的作用 （6.2.6）。這一組著名的電磁場理論的基本方程表明,不僅電荷與電流在激發電磁場，而且變化的電磁場也在相互激發。但我們如細心地觀察麥克斯韋方程組,就會發現,方程組中關于場源項是沒有對稱性的，方程()、)是非齊次方程，表明在自然界中存在著作為場源的電荷與電流；而)、)兩齊次方程，則表明自然界中不存在磁荷與磁流，也就是說，自然界中還沒有發現磁荷這種物質，磁單極不存在，對此問題安培曾從理論上作過所謂的“安培假說”，而且僅僅是“假說”。但是，英國物理學家狄拉克卻于1931年根據電動力學、量子力學，作出了令人十分信服的推測，他在

52、量子場論講義文獻中曾作過表述：即具有一定條件(量子化)的磁單極子能與薛定諤的波函數一致地存在。這一推測一經提出,立即吸引了大量的實驗物理學家去尋找磁單極子，同時也給理論工作者提出了許多新的課題。特別在電動力學中，如果存在磁單極子的話，那么，則應對麥克斯韋方程組進行修改，以便適用于電荷與磁荷(磁單極子)并存的情形。從這一思路出發,在假定磁荷(磁單極)存在的情況下，筆者試對以上麥克斯韋方程組進行如下細致的討論，從而得到一組非常對稱的麥克斯韋方程組。首先，假設在自然界中除了存在電荷外，還存在著磁荷(磁單極)。這時在場的概念下，由于磁荷(磁單極)的存在，使得通過封閉曲面的磁通量一般不再為零。設磁荷分布

53、具有體密度,則有 （6.2.7）(6.2.7)式表明,磁荷是磁場的源，也就是磁力線的源，這是我們修改的第一個方程。與處理電荷的方法相類似，設當磁荷運動時形成磁流時，在一個小體積內，磁荷隨時間的減少量，應等于流出小體積表面的磁荷量。在數學上處理，就是磁流密度與磁荷密度滿足連續性方程 （6.2.8）根據這個方程，我們很容易把另一個齊次方程(6.2.4)改寫為 （6.2.9）為把這組方程組改寫為四維洛侖茲協變形式，我們引用電磁場張量（6.2.10）式和四維矢量（6.2.12）（6.2.13）式： （6.2.10） （6.2.11） （6.2.12） （6.2.13）(注意，此時，電磁場張量已不再具有

54、的關系式了，也失去原來的意義) 顯然以上對于沒有作修改的含電荷、電流的方程（）、（6.2.2）其四維形式應還保持為我們已知的形式 （6.2.14）而方程(6.2.7)、(6.2.9),未修改時,我們已知其滿足的四維形式為 此式左邊是三階張量,但從方程(6.2.7)、(6.2.9)知,它的右邊應為四維矢量。顯然這個式子已不能再使用了。那么用什么方法去寫新的協變式呢?仔細觀察方程(6.2.7)、(6.2.9),對方程(6.2.1)、(6.2.2),可以發現這兩對方程,在形式上有著極為相似之處。這就給我們以啟發,是否能尋找到一個與有一定關系的新的電磁場張量,使得電磁場張量中的、 位置對調,如果這個新

55、張量存在,則能把方程(6.2.7)、(6.2.9)寫成類似于(6.2.14)式的形式。為此,我們引入一個四階反對稱張量,考慮一個新的電磁場張量 （6.2.15）經計算，易得 (6.2.16)利用此式(6.2.7)、(6.2.9)兩式就可寫為 (6.2.17)(6.2.14)、(6.2.17)兩式就是在磁荷存在的條件下,麥克斯韋方程組的新形式。下面我們就麥氏方程組的新形式作如下討論：1、首先,我們看到新方程組的形式是完全對稱的。四維磁流密度與電流密度對稱地出現在新的麥克斯韋方程組中,這表明,不僅電荷、電流以及變化的電磁場在激發著電磁場,而且磁荷、磁流也在同樣激發著電磁場。電磁場的源包括電荷、磁荷

56、、電流和磁流。當給定了空間的電荷、磁荷分布以及它們的運動狀態后,這組麥克斯韋方程就能給出空間電磁場的分布,而這一組方程便是新情況下(假定磁荷存在)的電磁場理論的基本方程。我們分別對上面兩個四維協變方程求其四維散度,有由式（6.2.10）、（6.2.16）知，、均為二階反對稱張量。我們先討論的情況，由有 上面的運算,運用了反對稱的性質,交換了指標,因而 這就是四維形式的電荷、磁荷守恒定律。它們很自然地包含在新的麥克斯韋方程組內,它們的矢量形式即為(6.2.5)式和(6.2.8)式。2、我們已經把麥克斯韋方程組寫為四維洛侖茲協變形式,這表明當從一個慣性系變換到另外一個慣性系時,方程(6.2.14)

57、、(6.2.17)的形式保持不變。不僅僅如此,當我們考慮實際空間時,可以把上述方程推廣到引力空間去。這還表明在非慣性系中,協變性仍然成立,由此可見,由于能夠把含磁荷的麥克斯韋方程組寫成協變形式,因而磁荷的存在是符合狹義相對論乃至廣義相對論中的相對性原理的。從時空觀、引力場的角度來看,磁荷是有其物理意義的。3、最后再談一下洛侖茲力的情況。我們由(6.2.6)式知道了只帶電荷的粒子受到的洛侖茲力的情形,但若一個粒子既帶有電荷,又帶有磁荷,那么情況又應如何呢?為了解決這個問題,我們首先考慮一個只帶磁荷的粒子。設磁荷量為,則可對稱地假設它的電磁場中受到洛侖茲力為其中k為待定系數(與單位制有關)。可以預

58、料,在以C為1的速度單位制中,，這是由于電場、磁場強度在麥克斯韋方程組(6.2.1)、(6.2.2)、(6.2.7)、(6.2.9)中不對稱的緣故。它可由相對論的變換來驗證,限于篇幅, 這里不作討論了。這樣,對一個既帶電荷,又帶磁荷的粒子,其所受的洛侖茲力就為引入四維力矢量它由電磁場張量、和構成容易驗證,它滿足這樣,我們把粒子滿足的四維形式的運動方程寫為它適用于慣性系,描述了具有電磁荷并存的粒子在電磁場中的運動。按照四維動量的定義,上面兩方程又可以寫為從這里我們可以得到一個與過去不同的結論:當電荷、磁荷同時存在時,不僅電場力作功,磁場力也作功,此時電場與磁場是完全等價的。我們初步推斷了磁荷存在

59、時,麥克斯韋方程組的形式、協變式、粒子的運動等一些電動力學的結果。磁單極子是一個廣博的課題,在電動力學中,我們要尋找新的哈密頓函數、拉格朗日函數及新的電磁能量動量張量,以便建立新的量子電動力學。在量子力學中,利用磁單極子的量子化條件,可以解釋電荷的量子性這個最普遍但也是最深奧的概念。遺憾的是,至今沒有在實驗中發現磁單極子。可以設想,一旦磁單極子被驗證是存在的話,則電動力學、場論、量子場論將不可避免地發生變革,物理學將又會發生一場革命。6.3麥克斯韋應力張量 設單位時間電磁場對體積V內的載荷體的電磁作用力為(其中為洛倫茲力力密度)。按照經典電動力學，如果動量要在電磁作用下也守恒，那末電磁場本身必

60、須具有動量，并且能相應地改變自己的動量，以使整個體系的動量保持守恒。我們用季來表示電磁場的動量密度，則是體積V內電磁動量的增量。電磁場在傳播時，它的動量也會流動，動量流密度必須用二階張量來表示對任意面元，表示單位時間內流過此面元的電磁動量。設V內的載荷體和電磁場的總動量在電磁作用下依然守恒，則必有下列方程成立。 ()式中的應為單位時間內流入體積V的電磁動量。可以從麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式導出動量流密度張量的具體形式。 （6.3.2） 如果用表示()式中載荷體受的作用，則方程)可改寫為： ()在穩恒電磁場的情況下，()式左邊第二項為零，因表示單位時間內流入體積V的電磁動量。那末對體積V表現的