1、第二章 一元二次函數、方程和不等式2.1 等式性質與不等式性質第1課時不等關系與比較大小素養導引1.了解現實世界和日常生活中的相等關系與不等關系(數學抽象)2.了解不等式(組)的實際背景，會用不等式(組)表示不等關系(數學建模)3.會用作差法(或作商法)比較兩個實數或代數式值的大小(邏輯推理、數學運算)一、不等式與不等關系不等式的定義所含的兩個要點：(1)不等符號，_，_或.(2)所表示的關系是不等關系【批注】不等式ab或ab的含義(1)不等式ab的含義是指“ab，或者ab”，等價于“a不小于b”，即若ab或ab中有一個正確，則ab正確(2)不等式ab的含義是指“ab，或者ab”，等價于“a不

2、大于b”，即若ab或ab中有一個正確，則ab正確二、關于比較實數a，b大小的基本事實文字表示符號表示如果ab是正數，那么abab0ab如果ab等于0，那么abab0ab如果ab是負數，那么abab0a0，所以x244x0，所以x244x.答案：x244x學習任務一用不等式(組)表示不等關系(數學建模)1已知三角形的任意兩邊之和大于第三邊，設ABC的三邊長分別為a，b，c，將上述文字語言用不等式(組)可表示為()Aabc B eq blc(avs4alco1(abc,acb) ，C eq blc(avs4alco1(acb,bca) ， D eq blc(avs4alco1(abc,acb,bc

3、a) ，【解析】選D.由三角形三邊關系及題意易知選D.2某公司準備對一項目進行投資，提出兩個投資方案：方案A為一次性投資300萬；方案B為第一年投資80萬，以后每年投資20萬下列不等式表示“經過n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是()A8020n300 B8020n300C8020(n1)300 D8020(n1)300【解析】選D.經過n年后，方案B的投入為8020(n1)，則“經過n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示為8020(n1)300.3用一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，要求菜園的面積不小于96 m2，靠墻的一邊長為x m試

4、用不等式(組)表示其中的不等關系【解析】因為矩形菜園靠墻的一邊長為x m，而墻長為18 m，所以0 x18.這時菜園的另一條邊長為 eq f(30 x,2) (15 eq f(x,2) )m.因此菜園的面積Sx(15 eq f(x,2) ).依題意有S96，即x(15 eq f(x,2) )96.故該題中的不等關系可用不等式組表示為 eq blc(avs4alco1(0 x18，,x（15f(x,2)）96.) 用不等式(組)表示不等關系的步驟(1)審清題意，明確表示不等關系的關鍵詞語：至多、至少、大于等(2)設未知數表示變量(3)用不等號表示關鍵詞語，并連接變量得不等式提醒：實際問題中要注意

5、實際意義對變量的限制學習任務二作差法比較大小(邏輯推理、數學運算)【典例】(2022汕頭高一檢測)設M(x2)(x3)，N(x1)(x4)a2.(1)當a2時，比較M，N的大小；(2)當MN時，求實數a的取值范圍【解析】(1)當a2時，N(x1)(x4)，則MN(x2)(x3)(x1)(x4)(x25x6)(x25x4)20，所以MN.(2)因為MN(x2)(x3)(x1)(x4)a2(x25x6)(x25x6a)a，當MN時，則a0，所以實數a的取值范圍是a|a0作差法比較大小的步驟當x1時，比較3x3與3x2x1的大小【解析】3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1

6、)(3x21)(x1).因為x1，所以x10.又因為3x210，所以(3x21)(x1)0，所以3x33x2x1.【補償訓練】 已知a，b為正實數，試比較 eq f(a,r(b) eq f(b,r(a) 與 eq r(a) eq r(b) 的大小【解析】因為( eq f(a,r(b) eq f(b,r(a) )( eq r(a) eq r(b) )( eq f(a,r(b) eq r(b) )( eq f(b,r(a) eq r(a) ) eq f(ab,r(b) eq f(ba,r(a) eq f(（ab）（r(a)r(b)）,r(ab) eq f(（r(a)r(b)）（r(a)r(b)）2

7、,r(ab) ，再由a，b為正實數可得 eq r(a) eq r(b) 0， eq r(ab) 0，( eq r(a) eq r(b) )20，可得 eq f(（r(a)r(b)）（r(a)r(b)）2,r(ab) 0，所以 eq f(a,r(b) eq f(b,r(a) eq r(a) eq r(b) ，當且僅當ab時，取等號學習任務三不等式的實際應用(數學建模)【典例】(2022威海高一檢測)甲、乙兩位消費者同時兩次購買同一種物品，分別采用兩種不同的策略甲的策略是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數量一定；乙的策略是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數一定(1)若兩次購買

8、這種物品的價格分別為6元，4元，求甲兩次購買這種物品和乙兩次購買這種物品的平均價格分別為多少；(2)設兩次購買這種物品的價格分別為a元，b元(a0，b0)，問甲、乙誰的購物比較經濟合算【解題思維】觀察(1)甲的策略是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數量一定；乙的策略是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數一定(2)甲、乙誰的購物比較經濟合算聯想(1)計算兩次購買這種物品平均價格的方法；(2)由比較經濟合算想到比較平均價格轉化(1)用總錢數除以總數量計算兩次購買這種物品的平均價格；(2)作差法比較大小【解析】(1)設甲每次購買這種物品的數量為m，乙每次購買這種物品所花的錢數為n

9、.所以甲兩次購買這種物品的平均價格為 eq f(6m4m,mm) 5(元)，乙兩次購買這種物品的平均價格為 eq f(2n,f(n,6)f(n,4) eq f(24,5) (元).(2)由(1)知，甲兩次購買這種物品的平均價格為 eq f(ambm,mm) eq f(ab,2) (元)，乙兩次購買這種物品的平均價格為 eq f(2n,f(n,a)f(n,b) eq f(2ab,ab) (元).因為 eq f(ab,2) eq f(2ab,ab) eq f(（ab）24ab,2（ab）) eq f(a2b22ab,2（ab）) eq f(（ab）2,2（ab）) 0，所以乙的購物比較經濟合算用不

10、等式解決實際問題的基本步驟(1)確定制約著決策優化的關鍵量是哪一個；(2)確定在各種決策下該量分別是多少；(3)用作差法(或其他方法)比較它們的大小即可某種商品計劃提價，現有四種方案：方案(1)先提價m%，再提價n%；方案(2)先提價n%，再提價m%；方案(3)分兩次提價，每次提價 eq f(mn,2) %；方案(4)一次性提價(mn)%.已知mn0，那么四種提價方案中，提價最多的是哪種方案？【解析】依題意，設單價為1，那么方案(1)提價后的價格是(1 eq f(m,100) )(1 eq f(n,100) )1 eq f(mn,100) eq f(mn,10 000) ，方案(2)提價后的價格是(1 eq f(n,100) )(1 eq f(m,100) )1 eq f(mn,100) eq f(mn,10 000) ，方案(3)提價后的價格是(1 eq f(mn,200) )21 eq f(mn,100) eq f(（mn）2,40 000) ，方案(4)提價后的價格是1 eq f(mn,100) ，所以提價最少的是方案(4)，方案(1)和方案(2)提價后的價格是一樣的，只需比較 eq f(mn,10 000) 與 eq f(（mn）2,40 000) 的大小即可因為