1、第四講 單純型表格算法 1 與基礎解對應的單純型表格 2 新基礎解表格與原表格的關系3 如何選擇支點行4 如何選擇支點列5 舉例分析1 與基礎解對應的單純型表格（1）關于單純形法概念，以前已講過，本章講具體計算步驟。該計算方法在計算機上計算。令A為mn矩陣，mn,行線性獨立，即秩為m。非退化線性規劃的標準形式為：AX=b，X0，CTX=min (1) 如果b是A的不少于m列的線性組合，則稱非退化形式。設從 階段2開始計算，即設已獲得初始可行解X（這需階段1，而 尋找第1個初始可行解亦需用到階段2算法）。 1 與基礎解對應的單純型表格（2）設已有一個基礎可行解X，只依賴于m列aj(j=1,m)，

2、則有 xj0，jB，B=j1，jm (2)令矢量 Vi=aji (i=1,2,m) (3)則，V1，V2，Vm即是當前基礎矩陣M的列矢量。 現把A陣每一列都用基礎列表達：aj=t1jV1+t2jV2+tmjVm (j=1,2,n) (4)同樣，b可寫成：b=t10V1+t20V2+tm0Vm (5)這樣，便可給出一個單純形表格 (tij)，i=1,m；j=1,2,n,0 (6)1 與基礎解對應的單純型表格（3）例1-18 A = b = 令當前基礎矢量是第3列和第1列。即V1=a3，V2=a1，則表格為：a1a2a3bV1=a30111V2=a11-1021 與基礎解對應的單純型表格（4）第2

3、列即為： a3a1=a2 (8)最后1列為： a3+2a1=b (9)這就給出基礎解分量 x3=1，x1=2，x2=0 擴充單純形表格：前述表格中的元素僅是把A陣矢量和b表達為基礎矢量線性組合時的系數，為方便，現又增加uij，其含義是把m個單位矢量e1(1,0,0,)，e2(0,1,0, )， ，em(0,0,1)表達成基本矢量的線性組合，即：ej = (j=1,2,m) (10)1 與基礎解對應的單純型表格（5）于是，擴充的單純形表格如下 ：因為單位矢量ej(j=1, ,m)構成一個標準單位矩陣I，而Vi是基礎矩陣M的列，根據式(10)知，I=MUU=M1。因此擴充表格中的uij是當前基礎陣

4、之逆陣。 a1anbe1emV1t11t1nt10u11u1m-Vmtm1tmntm0um1umm1 與基礎解對應的單純型表格（6）同樣式(4)和 (5)也可寫成矩陣的形式：A，b=MT (13)其中，T=tij(i=1,m，j=1,n,0)，于是擴充表格可寫成：T；U= M1A，b；I (14)例1-19 例1-18的基礎矩陣為： M = a3，a1 = 1 與基礎解對應的單純型表格（7）因此， U = M1 = uij則擴充表格為：(15) a1a2a3be1e2V1=a301113-2V2=a11-102-75一二三1 與基礎解對應的單純型表格（8）表格中，第一部分為A陣所有列關于當前基

5、礎列之表達式。第二部分為當前基礎解的正分量。第三部分為當前基礎陣之逆陣。2 新基礎解表格與原表格的關系（1）設在上述基礎解的基礎上，將非基矢量as引進基礎解集，即asB集；而令原基礎解集B中的Vr處原基矢量離開。這兩種情況表達形式示于表1-3和表1-4表1-3 原表格（用當前基礎解表達矢量）a1asanbe1emV1t11t1st1nt10u11u1mVrtr1trstrntr0ur1urmVmtm1tmstmntm0um1umm2 新基礎解表格與原表格的關系（2）表1-4 新表格（用新基礎解表達矢量）a1asanbe1em(V1)t11t1st1nt10u11u1mas(Vr)tr1trst

6、rntr0ur1urm(Vm)tm1tmstmntm0um1umm2 新基礎解表格與原表格的關系（3）其中原表格是已經給出的與當前基礎矢量相對應的單純形表格，新基礎解是由原非基矢量as代入Vr所致。其新解所對應的表格形式如表1-4所示，那么新表中各個元素如何根據原表1-3求出呢？現在就對該問題進行推導。因為當前基礎解和新基礎解都假定是可行的非退化解，因此兩表中：ti00 ，ti00 (i=1,2,m) (16)2 新基礎解表格與原表格的關系（4）則，當前基礎可行解滿足：AX= = = (17)因此，ti0就是X的正分量根據當前基礎解來表達as：as=t1sV1+trsVr+tmsVm (18)

7、由于基礎矢量V1,Vr, Vm線性無關，因此trs0；2 新基礎解表格與原表格的關系（5）否則，從式(18)中說明，as可由Vi(i=1,m,ir)線性組合，這說明新基礎解不是線性無關的矢量構成，與假設矛盾。于是，Vr可根據式(18)表達為： Vr= (19) 從假設知，新基礎解基礎矢量為：(V1)=V1, ,(Vr)=as, ,(Vm)=Vm (20)為獲得新表格，系數tij應滿足：2 新基礎解表格與原表格的關系（6）aj=t1j(V1)+ +trj(Vr)+ +tmj(Vm)這表明 aj = trjas+ (21)(式中， 表示 ，下同)這唯一地定義了新表格中的系數。而根據當前基礎解，存在

8、： aj = trjVr+ (22)2 新基礎解表格與原表格的關系（7）現在，把Vr用式(19)代入，則式(22)變為： aj = (23)將aj的兩個表達式(21)和(23)的矢量系數加以比較，便可得出下述關系：當i=r時, trj=trj/trs (24)當ir時， tij=tij(tis/trs)trj (25)2 新基礎解表格與原表格的關系（8）對于擴充表格右邊系數uij的表達更沒問題?？砂褑挝皇噶縠j作為擴充矩陣A，I的列，就像階段法1做的那樣，可設：e1=an+1，e2=an+2，em=an+m (26)于是，我們可定義：uij=ti,，n+j (i,j=1,2, ,m) (27)

9、在式(24)和(25)中，用n+j代替j可得當i=r時，urj=urj/trs (28)當ir時，uij=uij(tis/trs)urj (29) 2 新基礎解表格與原表格的關系（9）上述公式的含義如下：如果用as代替Vr而形成新基礎可行解，則稱原表中的r行為支點行原表中的s列為支點列trs為支點元素支點行(r)：新表r行原表r行/trs非支點行(i):新表i行=原表i行i（原表r行）2 新基礎解表格與原表格的關系（10）從上所述，如果知道原表格的支點行和支點列，那么，新的表格便可應孕而生。于是如何選擇支點行和支點列便是單純形表格的關鍵問題，下面就分別闡述這兩個問題。3 如何選擇支點行選擇支點

10、行即是假設支點列已選定（即已知道應引進的非基礎矢量），應令哪一個基礎矢量離開的問題。支點行的選擇原則是新解可行，即新表格中的ti0（i=1,m）0(對于非退化)。即，若r行被選中，則必須滿足：tr0/trs=minti0/tis：tis0，i=1, ,m這就是r行被中的充分必要條件，對于非退化情況，r行能被唯一確定。4 如何選擇支點列 （1）在選擇支點行之前，必須首先選擇支點列，其原則是，新矢量進入基礎解使費用盡量小，即最優性選擇。舊費用為： CTX= (32) 表明基礎矢量Vi的單位費用。如果決定選支點列s，那么新的解的費用是多少呢？根據： as =0 (33) 及 = AX = b (34

11、)4 如何選擇支點列 （2）將(33)式乘以再加(34)式得：as+(35) 于是，得出一組新解，其新解的費用為：cs + (36) 而 =舊費用，令 (37)故 新費用=舊費用（zscs） (38)4 如何選擇支點列 （3）即，要使費用減少，只有zscs 0才行，這和在第五節所得結論一致。即可得出下述結論：從式（35）看出，若所有tis0,則當時，X（）永遠可行，若此時，zscs 0,則最優目標值無界，即可無窮小。若zscs 0且至少有一個tis0，則s列是被選中之一，若有若干列的zscs 0,則通常選擇最大的zscs 作為支點列，然后根據前面講的選擇支點行標準選取支點元素并構成新的表格。4

12、 如何選擇支點列 （4）當選中s列作為支點列時，其新費用減少值為*（zscs）,其中，*是新基礎解中as的系數。（as=(vr)）,我們有：*=tr0=tr0/trs如果，舊費用為z0,新費用為z0，則有 z0= z0 tr0 (39) 對于原擴充表格：T；U=M1A，b；I，顯然缺少一些信息，即檢驗數信息，現可把它放在表格最后一行：z1c1，,zncn，z0；y1，ym (40) 4 如何選擇支點列 （5）這一行稱為判斷行或檢驗行。該行各元素含義如下： 前n個元素之表達式為 zjcj= (j=1, ,n) (41) 如果aj是當前基礎解集，則：zjcj =0如果aj不是當前基礎解集，則： 元

13、素z0是當前費用， (42) 4 如何選擇支點列 （6）最后m個元素定義為： (j=1,m) (43)其中uij=U是基礎陣M之逆陣，則YT含義為： 因此，YT是方程解，在最后階段，當所有zjcj0時，YT將是下述對偶問題最優解：YTACT, YTb=max其中，YT將滿足： YTaj=zjcj。4 如何選擇支點列 （7）加進判斷行后，表格變為： (44)判斷行之計算：新判斷行=舊判斷行-0乘支點行 0=（zscs）/trs (45)證明從略。t11t1nt10u11u1mtm1tmntm0um1ummz1c1zncnz0y1ym5 舉例 （1）至此，單純形表格法的基本步驟已推導完畢，下面舉例

14、來說明單純形表格的應用。例1-21 已知線性規劃為：AX=b，X0，CTX=min其中： A= ， b= ，CT=7，1，1 (46) 例1-21應用階段1，求出式(46)的初始基礎可行解。解為了求初始基礎可行解，要引進人工變量并構成新規劃：AX=b，X0，CTX=min 5 舉例 （2）a1a2a3e1e2be1123105e245601135790018其中， A= ，（X)T=(x1，x2，x3，s1，s2) b= (C)T=(0 0 0 1 1)現在變成求新規劃最優解問題，顯然，此規劃的第1個基礎可行解為：s1=5,s2=13,X=0,其相應表格為：(47) 5 舉例 （3）初始表格判

15、斷的計算很簡單： ，例如z1c1= (1,4) c1= 50 = 5從判斷行看出，最大的判斷元素為z3c3=9。故a3應進入基礎解，支點列s=3（當然a1，a2進入也行），然后選支點行： 故支點元素為t13=3,于是用公式可計算出第2個表格。 5 舉例（4）(48)從表格（48）看出，max（zjcj）= z1c1 =2,故令a1進入基礎解集，然后選支點行r： 5 舉例（5）支點元素為t21=2。經變換，得出下述表格(49)： a1a2a3e1e2ba301/212/3-1/67/6a111/20-11/23/2000-1-10(49)5 舉例（6）判斷行zjcj全部0，故達最優，且z0=0。

16、說明原問題存在可行解，且第1個基礎可行解即為新規劃的最優解：x2=0, x3=7/6, x1=3/2。于是階段1結束。例1-22 求解（46）式的最優解。即進行階段2。解將例1-21求得的新規劃最優表格轉換為原規劃的初始單純形表格。轉換原則是：1）表的上面m行基本不變，新表右半部uij與原表人工變量矢量所對應的tij一致。2）表的判斷行，需按照原規劃的目標系數重算。5 舉例（7）計算的初始單純形表格如表格(50)：比較(49)與(50)，看出：把e1，e2列移往右邊(50)5 舉例（8）判斷行不同，因階段1時的新規劃費用系數為CT=（0 0 0 1 1），而原規劃為CT=7 1 1。初始解的基

17、礎矢量為a3，a1， =(1 7)。 例： z2c2= 1+ 71=3 z0= 1+ 7=35/3y1= 1+ (-1) 7= 5 舉例（9）從表格（50）看出：z2c2=3為唯一正值，選s=2。選支點行：trs= V1 =a2(代替a3)最后表格：a1a2a3be1e2a20127/34/3-1/3a110-11/3-5/32/300-614/3-31/313/35 舉例（10）則知，所有zjcj0 (j =1，2，3)，已達最優。最優基礎可行解：x2= ， x1=min cost = CTX = z0 =最優對偶分量： y1= , y2=檢查條件：AX=b, X0, YTACT , CTX

18、=YTb 。全部符合條件。eNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&t!pYmU

19、jRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4

20、C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZo

21、WkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D

22、2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#pX

23、lUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI7

24、F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYm

25、VjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G

26、4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(unWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVk

27、ShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D

28、2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlT

29、hQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3

30、B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w