1、現代控制理論（第9講 2009年4月18日）可控性/能控性定義能控性判據能控標準型自動化教研室 譚功全為什么要有能控性/能觀性概念？怎樣更好地了解和控制系統？能控性：控制變量對狀態變量的支配能力如何?從任意初始狀態出發，在有限時間內，通過施加控制作用，能否使系統狀態轉移至期望終態？能觀性：輸出變量對狀態變量的反映能力如何?在有限時間內，能否由輸出變量的測量值，計算出系統的各個狀態？可控/能控性實例猜想猜想：x1和u無直接間接聯系，不能用u改變x1。 x2和u有直接聯系，u可以控制x2。可控/能控性實例猜想猜想：x1和u無直接聯系，但通過 x2和u有間接聯系，u也許可以控制x1。可控/能控性實例

2、猜想xi和u有聯系就可控嗎？猜想： 當聯系的通道不止一個時，各通道的控制作用之間是否抵消？如果抵消，則會造成u不能控制xi。狀態方程中強迫響應為強迫響應僅是一維的，不能將初態控制到任意指定態。能控/可控性定義在有限時間內，控制作用能否使系統從初始狀態轉移到期望狀態? 如果存在一個控制u(t)，能在有限時間間隔to,tf內，使系統從其一初態x(to)轉移到任意指定的終態x(tf) ，則稱此狀態x(to)是完全可控的，簡稱系統可（能）控。（只要有一個狀態變量不可控，則系統不可控）。 如果所有的初始狀態都是完全能控的，則稱系統是狀態完全能控的。能控/可控性評注1. 初態取狀態空間任意點，終態取原點，

3、相當于調節實現問題。初態取原點，終態取任意點，相當于跟蹤可實現問題。2. 對線性定常系統說來，調節問題與跟蹤問題等價。3. 對于時變系統，可控的時間區間大小與初始時刻有關，對定常系統，可控時間區間與初始時刻無關。故后者不必強調特定時間段。4. 定義中的u是沒有限制條件的。5. 對線性系統作非奇異線性變換（也就是坐標變換），狀態空間的原點不變。狀態空間中某一點在變換前后分別為x和x，則u在有限時間內把x轉移到原點也就意味著同樣的u可以把x轉移到原點。即非奇異變換不改變系統的可控性。6. 對不完全可控系統，狀態空間可以分解為可控狀態子空間及其正交補空間（不可控狀態子空間）。7. 外擾不影響系統的可

4、控性，輸出不涉及可控性。對角陣中的能控/可控性模態約當塊中的能控/可控性模態Agenda能控性/可控性定義能控性/可控性判據變換為能控/可控標準型能控性判別矩陣LTI連續系統則系統狀態完全可控的充要條件是定義能控性判別矩陣 思考：單輸入、多輸入情況下能控矩陣的維數分別是什么？n 是系統的階數判斷對角型是否能控？各個特征值不同輸入矩陣中每行都不為零，系統能控。例題：求使系統能控的參數系統狀態方程已知。當輸入矩陣如何取值時，系統能控？時系統能控判斷Jordan型是否能控？要求：各個Jordan塊對應的特征值不同找到每個Jordan塊的最后一行，找出輸入矩陣中與之對應的行如果輸入矩陣中對應的行不全為零，系統能控。Agenda能控性/可控性定義能控性/可控性判據變換為能控/可控標準型第二能控標準型第一能控標準型狀態變換不改變系統能控性狀態變換狀態變換圖示能控系統可化為能控標準型如果系統能控，則一定能通過狀態變換，將系統化為能控標準型系統能控，即能控陣滿秩一定存在非奇異的線性變換使得變換后的系統成為能控標準型變換為第一能控標準型1、求能控陣2、第一能控標準型為：變換為第二能控標準型1、求能控陣3、計算變換矩陣2、求特征多項式4、計算第二能控標準型例題：化為第一能控標準型求能控標準型解：例題：化為