1、關于邏輯代數的基礎知識（1-1）第一張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-2） 數字邏輯電路是計算機科學與技術、信息工程、網絡工程各專業的一門重要專業基礎必修課。主要研究數字電路與邏輯設計的理論與方法。 數字邏輯電路是計算機組成原理、計算機系統結構、微型機與接口、單片機原理及其應用、數字系統設計自動化等課程的基礎，對理解計算機的工作原理有十分重要的作用。它的主要內容包括邏輯代數基礎、集成門電路、組合邏輯電路、觸發器、時序邏輯電路、脈沖產生電路、模數與數模電路等。數字邏輯電路是重要的專業基礎第二張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-3）第1章 邏輯代數的基礎知識 8學時第

2、2章 門電路 12學時第3章 組合邏輯電路 12學時第4章 觸發器8學時第5章 時序邏輯電路 8學時第6章 脈沖產生與整形電路 8學時第7章 數模與模數轉換電路 4學時復習及小測驗4學時教學計劃第三張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-4） 教材： 數字電子技術基礎簡明教程(第三版) 余孟嘗主編 高等教育出版社 2006年 參考書： 數字邏輯(第二版) 歐陽星明主編 華中科技大學出版社 2005年 數字邏輯電路 魏達、高強、金玉善、曹英暉編著 科學出版社 2005年 電子技術基礎：數字部分(第四版) 康華光主編 高等教育出版社 2000年教材及參考書第四張，PPT共一百零八頁，創作

3、于2022年6月（1-5） 按時上課，認真聽講，師生互動，培養能力。 課后及時認真復習，獨立完成作業。每周一交上周的作業，按學號順序排好。 平時多努力，基礎打扎實，考出好成績，用時不費力。要求第五張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-6）第1章 邏輯代數的基礎知識 第六張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-7）第1章 邏輯代數的基礎知識概述1.1 邏輯代數的基本概念、公式和定理1.2 邏輯函數的化簡方法 1.3 邏輯函數的表示方法及其相互之間的轉換第七張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-8） 模擬信號：在時間和幅值上均是連續變化的信號，即時間上的連續，量上

4、的連續的信號。如水位，電壓，電流，溫度，亮度，顏色等。在自然環境下，大多數物理信號都是模擬量。如溫度是一個模擬量，某一天的溫度在不同時間的變化情況就是一條光滑、連續的曲線：概述一、 數字信號和模擬信號第八張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-9） 數字信號：在時間和幅值上都是離散取值的物理量。即時間上的離散，量上的離散的信號。如數值，開關位置，數字邏輯等。 用邏輯1和0表示的數字信號波形如下圖所示：模擬世界A/D數字處理 和存儲系統D/A 可以把模擬信號變成數字信號，其方法是對模擬信號進行采樣，并用數字代碼表示后的信號即為數字信號。當數字系統要與模擬信號發生聯系時，必須經過模-數和

5、數-模轉換電路對信號類型進行轉換。第九張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-10）模擬電路主要研究：輸入、輸出信號間的大小、相位關系、失真與否。模擬電路包括交直流放大器、濾波器、信號發生器等。在模擬電路中，晶體管一般工作在放大狀態；在數字電路中，三極管工作在開關狀態，即工作在飽和和截止狀態。 數字電路主要研究：電路輸出、輸入間的邏輯關系。主要的工具是邏輯代數，電路的功能用真值表、邏輯表達式及波形圖表示。模擬電路與數字電路比較1.電路的特點2.研究的內容第十張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-11）二、 邏輯代數 1847年，英國數學家喬治布爾（George Boole

6、）首先提出了描述客觀事物邏輯關系的數學方法，被稱為布爾代數。后來，由于布爾代數被廣泛應用于解決開關電路和數字邏輯電路的分析和設計上，所以也把布爾代數叫做開關代數或邏輯代數。 邏輯代數也是用字母表示變量，這種變量稱為邏輯變量。和普通代數不同的是，邏輯變量只有兩種取值，即0和1。在邏輯代數中，1和0已不再表示數量的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態，即命題的真和假、信號的有和無、電平的高和低、開關的閉合和斷開等。 在客觀世界中，事物發展變化所遵循的因果關系，一般稱為邏輯關系，反映和處理這種關系的數學工具，就是邏輯代數。第十一張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-12） 1、進位計數制 進

7、位計數制的基本因素：基數和位權。 基數是指計數制中所有到的數字符號的個數。在基數為R的計數制中，包含0、1、R1共R個數字符號，進位規律是“逢R進一、借一當R”，稱為R進位計數制。 位權是指在一種進位計數制表示的數中，用來表明不同數位上數值大小的一個固定常數。不同數位有不同的位權，某一個數位的數值等于這一位的數字符號乘上與該位對應的位權。三、 二進制數表示法第十二張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-13）數字符號為：09；基數是10。運算規律：逢十進一，借一當十，即：9110，1091。十進制數的權展開式：103、102、101、100稱為十進制的權。各數位的權是10的冪。同樣的

8、數碼在不同的數位上代表的數值不同。任意一個十進制數都可以表示為各個數位上的數碼與其對應的權的乘積之和，稱權展開式。即：(5555)105103 510251015100又如：(209.04)10 2102 0101910001014 1022、十進制數第十三張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-14）3、二進制數數字符號為：0、1；基數是2。運算規律：逢二進一，借一當二，即：1110，1011。二進制數的權展開式：如：(101.01)2 122021120021122 (5.25)10加法規則：000，011，101，1110減法規則：000，011，101，110乘法規則：000

9、，010，100，111除法規則：010，111運算規則各數位的權是的冪 二進制數只有0和1兩個數碼，它的每一位都可以用電子元件來實現，且運算規則簡單，相應的運算電路也容易實現。第十四張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-15）4、八進制數數字符號為：07；基數是8。運算規律：逢八進一，借一當八，即：7110，1017。八進制數的權展開式：如：(65.2) 8 681580281(53.25)10各數位的權是8的冪5、十六進制數數字符號為：09、AF；基數是16。運算規律：逢十六進一，借一當十六，即：F110，101F。十六進制數的權展開式：如：(D8.A) 16 13161816

10、010161(216.625)10各數位的權是16的冪第十五張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-16） 十進制的缺點：若在數字電路中采用十進制，必須要有十個電路狀態與十個記數碼相對應。這樣將在技術上帶來許多困難，而且很不經濟。 二進制的優點：電路中任何具有的兩個不同穩定狀態的元件都可用來表示一位二進制數，數碼的存儲和傳輸簡單、可靠。 二進制的缺點：位數較多，不便于讀數；不合人們的習慣，輸入時將十進制轉換成二進制，運算結果輸出時再轉換成十進制數。第十六張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-17）1、非十進制數轉換成十進制數：按權相加法二進制數轉換：八進制數轉換：(101

11、0.1)2=123022121020121(10.5)10十六進制轉換：把各個非十進制數按權展開求和即可。(406.1)8482081680181(262.125)10(2AE.4)16216210161141604161(686.25)10四、幾種常用進制數之間的轉換第十七張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-18）2、十進制數轉換成二進制數： 十進制數轉換成二進制數時，將整數部分和小數部分分別進行轉換。整數部分采用除2取余法轉換，小數部分采用乘2取整法轉換。轉換后再合并。 除2取余法：將十進制整數N除以2，取余數記為K0；再將所得商除以2，取余數記為K1依此類推，直至商為0，取

12、余數記為Kn1為止。即可得到與N對應的n位二進制整數Kn1 K1 K0。 乘2取整法：將十進制小數N乘以2，取整數部分記為K1；再將其小數部分乘以2，取整數部分記為K2 ； 依此類推，直至其小數部分為0或達到規定的精度要求，取整數部分記為Km為止。即可得到與N對應的m位二進制小數0K1 K2 Km。第十八張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-19）整數部分采用除2取余法，先得到的余數為低位，后得到的余數為高位。小數部分采用乘2取整法，先得到的整數為高位，后得到的整數為低位。所以：(44.375)10(101100.011)2第十九張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-2

13、0） 十進制數轉換成二進制數的另一種方法是降冪比較法。如果熟記20210的數值是11024，2124的數值是0.50.0625，那么用降冪比較法，便可很容易地獲得一個十進制數的二進制數轉換值。例如（153.375）10（10011001.011）2 153.375） 128 27 25.375） 16 24 9.375） 8 23 1.375） 1 20 0.375） 0.25 22 0.125） 0.125 23 028256153.37527128253225.3752416 24169.375238 2121.375201 210.50.375220. 25 220.250.125230

14、. 125 第二十張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-21） 八進制數轉換成二進制數時，只需將每位八進制數用3位二進制數表示。例：(56.7)8(101110.111)23、二進制數與八進制數之間的轉換： 二進制數轉換成八進制數時，以小數點為界，分別往高、往低每3位為一組，最后不足3位用0補充，然后寫出每組對應的八進制數字符，即為相應八進制數。直接對應法例：(1110011.1011)2 (001 110 011 . 101 100)2 （163.54）8第二十一張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-22） 十六進制數轉換成二進制數時，只需將每位十六進制數用4位二進制

15、數表示。例：(111010100.011)2(0001 1101 0100 . 0110 )2 (1D4.6)16例：(AF4.76)16( 1010 1111 0100 . 0111 0110)24、二進制數與十六進制數之間的轉換： 二進制數轉換成十六進制數，以小數點為界，分別往高、往低每4位為一組，最后不足4位用0補充，然后寫出每組對應的十六進制數字符即可。直接對應法第二十二張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-23）五、二進制代碼 用二進制數表示文字、符號等信息的過程就叫二進制編碼。用來進行編碼之后的二進制數稱為二進制代碼。 由于人們生活中習慣采用的是十進制，而數字電路便于采

16、用的是二進制，這自然就提出了如何用二進制編碼來表示十進制數的問題，即二十進制編碼的問題。 數字系統有一種數值數據的表示方法：每一位十進制數用4位二進制代碼表示，稱為二進制編碼的十進制數BCD碼（Binary Coded Decimal），或稱二十進制編碼。它既有二進制數的形式，又有十進制數的特點，便于傳遞、處理。第二十三張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-24） 最常用的BCD碼是8421BCD碼，它與十進制數字符號對應的編碼如下表所示。8 4 2 1位權0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 0

17、1 0 0 10123456789B3 B2 B1 B08421BCD碼十進制數字第二十四張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-25）1.1 邏輯代數的基本概念、公式和定理1.1.1 基本和常用邏輯運算一、三種基本邏輯運算 定義：當決定一個事情的各個條件全部具備時，這件事情才會發生，這樣的因果關系稱為與邏輯關系。1、與運算（邏輯乘）+VABY 如圖開關A，B串聯控制燈泡Y 。開關A，B都斷開，燈泡Y不亮；開關A斷開，開關B閉合，燈泡Y不亮；開關A閉合，開關B斷開，燈泡Y不亮；開關A，B都閉合，燈泡Y亮。第二十五張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-26）功能表 開關A，

18、B串聯控制燈泡Y的功能表如左下圖。 將開關閉合記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒龇Q之為真值表的右下表來描述與邏輯關系。真值表兩個開關均接通時，燈才會亮。邏輯表達式為：滅滅滅亮斷開 斷開斷開 閉合閉合 斷開閉合 閉合燈泡Y開關A 開關B00010 00 11 01 1YA B第二十六張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-27） 實現與邏輯關系的電路稱為與門。與門的邏輯符號如左下圖所示?！?”是and的花寫，表示“與”的意思。 邏輯與（邏輯乘）的運算規則為：有0出0全1為1第二十七張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-28） 定義：決定某一件事情的各個條件

19、中，只要有一個或一個以上的條件具備，這件事情就會發生，這樣的因果關系稱為或邏輯關系。或邏輯關系用或運算（邏輯加）描述。 兩變量或邏輯關系式為：YAB。該邏輯關系可用稱之為真值表右下表描述。 實現或邏輯關系的電路稱為或門?；蜷T的邏輯符號如左下圖所示。“1”的意思是：當輸入邏輯變量A、B為1的個數大于等于1個時，輸出Y為1。2、或運算（邏輯加）A BY0 00 11 01 10111ABY 1第二十八張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-29） 例如，開關A和B并聯控制燈F。可以看出，當開關A、B中有一個閉合或兩個均閉合時，燈Y亮。因此，燈Y與開關A、B之間的關系是“或”邏輯關系。A+

20、VBY邏輯或（邏輯加）的運算規則為：有1出1全0為0第二十九張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-30）3、非運算（邏輯非） 定義：某一事件的發生取決于條件的否定，即事件與事件發生的條件之間構成矛盾，則稱這種因果關系為非邏輯。非邏輯關系用非運算（邏輯非）描述。 非邏輯關系式為： 。該邏輯關系可用稱之為真值表右下表描述。 實現非邏輯關系的電路稱為非門。非門的邏輯符號如左下圖所示。小圓圈“”為非的符號，“1”表示輸入端只有1個。AY0110第三十張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-31） 例如，開關與燈并聯。顯然，僅當開關斷開時，燈亮。一旦開關閉合，則燈滅。因此，燈F與開

21、關A的關系是“非”邏輯關系。邏輯非的運算規則為：+VAF第三十一張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-32） 邏輯代數中，和普通代數一樣，也是用英文字母表示變量，稱為邏輯變量。 如果輸入邏輯變量為A、B、 的取值確定之后，輸出邏輯變量Y的值就惟一地確定了，則稱Y為A、B、的邏輯函數，記為 1、邏輯變量與邏輯函數邏輯電路ABY二、邏輯變量與邏輯函數及幾種常用邏輯運算 邏輯代數中的函數與普通代數中的函數類似，但邏輯函數具有它自身的特點： 、邏輯變量和邏輯函數的取值只有0和1兩種可能； 、邏輯函數和變量之間的關系是由或、與、非3種基本運算決定的。第三十二張，PPT共一百零八頁，創作于20

22、22年6月（1-33）（1）與非邏輯運算 與非邏輯是由與、非兩種基本邏輯復合形成的，其邏輯函數表達式為： 實現與非功能的邏輯門稱為與非門。與非門的邏輯符號和真值表如下圖所示。YAB與非門的邏輯符號&A BY0 00 11 01 11110 2、復合邏輯運算 在邏輯代數中，除了與、或、非三種基本邏輯外，經常用到的還有這三種基本運算構成的復合運算。第三十三張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-34）（2）或非邏輯 或非邏輯是由或、非兩種基本邏輯復合形成的，其邏輯函數表達式為： 實現或非功能的邏輯門稱為或非門。或非門的邏輯符號和真值表如下圖所示。YAB或非門的邏輯符號1A BY0 00

23、11 01 11000第三十四張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-35） 與或非邏輯是由3種基本邏輯復合形成的，其邏輯函數表達式為：（3）與或非邏輯 實現與或非功能的邏輯門稱為與或非門。與或非門的邏輯符號和電路結構如下圖所示。ABCD&1Y與或非門的電路結構CDABY+=Y1&ABCD與或非門的邏輯符號第三十五張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-36） A 0A A 1A A A0 A A1 （4）異或邏輯 根據異或邏輯的定義可知：YAB異或門的邏輯符號=1A BY0 00 11 01 1 0110 異或邏輯表達式： 式中， 是異或運算的運算符。 邏輯功能：變量A、

24、B取值相異，Y為1,反之為0。 實現異或運算的邏輯門稱為異或門。異或門的邏輯符號和真值表如下?！?”的意思是指兩個輸入變量A、B的狀態為1的個數等于1個時，輸出為1。第三十六張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-37）（5）同或邏輯 同或邏輯與異或邏輯的關系既互為相反，又互為對偶，即有YAB同或門的邏輯符號=A BY0 00 11 01 11001 A BA B ABA B 同或邏輯表達式： 式中，是同或運算的運算符。 邏輯功能：變量A、B取值相同，Y為1,反之為0。 實現同或運算的邏輯門稱為同或門。同或門的邏輯符號和真值表如下。“”的意思是指兩個變量的狀態相等時，輸出為1，不等時

25、輸出為0。第三十七張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-38）一、常量之間的關系000 101 011 1110 00 1 00 0 10 1 11 10 01三、與普通代數相似的定理交換律：ABBA A BB A結合律：（AB）（）分配律： () A B A C ()(AB) (AC)證明：右邊 (AB) (AC)AAACABBCAACABBCA (1CB)BCABC左邊1.1.2 公式和定理二、變量和常量的關系01律：A11 A0A A 00 A 1A互補律：AA1 A A0第三十八張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-39）還原律：AA11101110100010

26、000 00 11 01 1ABA BA BABA B四、邏輯代數的一些特殊定理同一律：AAA，A AA德摩根定理（又稱反演律）： A+B=A B，A B=A+B證明：用真值表來證明，真值表如右表。記憶：“上面砍一刀，下面變個號”。第三十九張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-40） 例如，已知等式 ，用函數YAC代替等式中的A，根據代入規則，等式仍然成立，即有：1、代入規則：任何一個含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現A的位置都用同一個邏輯函數Y代替，則等式仍然成立。這個規則稱為代入規則。五、關于等式的兩個重要規則 利用代入規則可將邏輯代數公理、定理中的變量用任意函數代替，從而推

27、導出更多的等式。 例如，已知 ，用函數 代替等式中的A，可得到等式即一個函數和其反函數進行“或”運算，其結果為1。第四十張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-41） 運用反演規則時應注意兩點： 不能破壞原式的運算順序先算括號里的，然后按“先與后或”的原則運算。 不是一個變量上的非號應保持不變。 2、反演規則：對于任何一個邏輯表達式Y，如果將表達式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達式就是函數Y的反函數 （或稱補函數）。這個規則稱為反演規則。例如：第四十一張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6

28、月（1-42）F(A+B) (C+D)例1： 已知FABCD，根據反演規則可得到: 例2：已知與變或時要加括號例3：已知長非號不變第四十二張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-43）六、若干常用公式1、合并律（公式14）：證明：2、原變量吸收律（公式15）： A+AB=A ， A (A+B)=A 證明：A+AB=A(1+B)=A 1=A A (A+B)=A A+A B=A+A B=A(1+B)=A3、反變量吸收律（公式16）： 證明：第四十三張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-44）4、包含律(公式17)： 證明：推論：證明： 該公式及推論說明，在一個與或表達式中，如

29、果兩個乘積項中，一項包含了原變量A，另一項包含了反變量A，而這兩項中其余的因子(如B和C)都是第三個乘積項中的因子，則這個第三項是多余的。 第四十四張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-45）5、公式18： 證明： 公式18說明，兩個變量異或，其反就是它們的同或（兩個變量取值相同時其值為1，故稱同或），反之，兩者同或的反就是它們的異或。第四十五張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-46）作業題P68 題1.1 題1.2 、 題1.3 、 題1.4 題1.5 題1.6 、第四十六張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-47）1.2 邏輯函數的化簡方法1.2.1

30、邏輯函數的標準與或式和最簡式一、標準與或表達式 化簡邏輯函數的方法有兩種：一種稱為公式化簡法，就是用邏輯代數中的公式和定理進行化簡；另一種稱為圖形化簡法，用來進行化簡的工具是卡諾圖。所謂與-或表達式是指由若干與項進行或運算構成的表達式。每個與項可以是單個變量的原變量或者反變量，也可以由多個原變量或者反變量相與組成。例如 、 、 均為與項，將這3個與項相或便可構成一個3變量函數的與-或表達式。即第四十七張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-48） 為了在邏輯問題的研究中使邏輯函數能和惟一的表達式對應，引入了邏輯函數表達式的標準形式。常用的有邏輯函數的標準與-或形式和標準或-與形式。標

31、準與-或形式是由邏輯函數的最小項相或構成。 定義：如果一個具有n個變量的函數的與項包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量形式出現，且僅出現一次，則這個與項被稱為最小項，也叫標準與項。 n個變量的最小項共有2n個。例如，3個變量A、B、C可以構成8個最小項，分別是：1、最小項的概念 這8個乘積項共同的特點是： 每個乘積項都有三個因子。 每一個變量都以原變量或反變量的形式，作為一個因子在乘積項中出現且僅出現一次。第四十八張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-49） 為了書寫方便，常對最小項進行編號，用mi 表示，下標i的取值規則是：按照變量順序將最大項中的原變量用1表示，反變量用

32、0表示，由此得到一個二進制數，與該二進制數對應的十進制數即下標i的值。例如最小項 可用m5 表示。 3、最小項的性質 ： 、任意一個最小項mi ，只有變量的一組取值使mi1，而變量取其它值時，mi0。例如， ，只有A1、B1、C0時，m61。 、相同變量構成的兩個不同最小項相與為0。即當ij時，mimj=0。例如， 。2、最小項的編號第四十九張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-50） 、n個變量的全部最小項相或為1。或說全部最小項之和等于1，即mi1。例如，3變量最小項之和 、n個變量構成的最小項有n個相鄰最小項。相鄰最小項是指除一個變量互為相反外，其余部分均相同的最小項。例如，

33、 。 例如，3變量最小項 ，其相鄰項有3個： 具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并為一項并消去一個變量。例如：第五十張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-51） 4、邏輯函數的標準與-或表達式 由若干最小項相或構成的邏輯表達式稱為標準“與-或”表達式，也叫做最小項表達式。 標準與-或表達式為： Y=mi (i= 0, 1, 2n)例如， 為3變量構成的4個最小項，對這4個最小項進行“或”運算，即可得到一個3變量函數的標準“與-或”表達式該函數表達式又可簡寫為第五十一張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-52）例：將以下邏輯函數化成最小項之和的形式。)3,6,7()()()

34、,(),(mBCACABABCAABCCCABCBAYBCABCBAY=+=+=+=的形式：解：展開成最小項之和解：展開成最小項之和的形式： 第五十二張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-53） 邏輯函數的標準與或表達式，也可以從真值表直接得到。只要在真值表中挑選那些使函數值為1的變量取值，變量取值為1的寫成原變量，為0的寫成反變量，這樣對應于使函數值為1的每一種取值，都可以寫出一個乘積項，只要把這些乘積項加起來，所得到的就是函數的標準與或表達式。 例如，邏輯函數 的真值表如右，根據真值表直接寫出Y的標準與或表達式為：001011100 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 11

35、 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1YA B C或第五十三張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-54） 一個邏輯函數的最簡表達式，按照式中變量之間運算關系的不同，分為最簡與或式、最簡與非與非式、最簡或與式、最簡或非或非式、最簡與或非式五種。二、邏輯函數的最簡表達式 1、最簡與或式 定義：乘積項的個數最少，每個乘積項中相乘的變量個數也最少的與或表達式，稱為最簡與或表達式。 例1.2.2： 顯然，在函數Y的各個與或表達式中，式(1.2.2c)是最簡的，因為它符合最簡與或表達式的定義。第五十四張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-55） 2、最簡與非與非式 定義：非號

36、最少，每個非號下面相乘的變量個數也最少的與非與非表達式，稱為最簡與非與非表達式。注意，單個變量上面的非號不算，因為已將其當成反變量。 例1.2.3：寫出函數 的最簡與非與非表達式。 在最簡與或表達式的基礎上，兩次取反，再用摩根定理去掉下面的反號，便可得到函數的最簡與非與非表達式。 解： 式（1.2.3）就是函數Y的最簡與非與非表達式。第五十五張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-56） 3、最簡或與式 定義：括號個數最少，每個括號中相加的變量個數也最少的或與式，稱為最簡或與表達式。 例1.2.4：寫出函數 的最簡或與表達式。 在反函數最簡與或表達式的基礎上，取反，再用摩根定理去掉反

37、號，便可得到函數的最簡或與表達式。當然，在反函數最簡與或表達式的基礎上，也可用反演規則，直接寫出函數的最簡或與式。 解： 式（1.2.4）就是函數Y的最簡或與表達式。第五十六張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-57） 4、最簡或非或非式 定義：非號個數最少，非號下面相加變量個數也最少的或非或非表達式，稱為最簡或非或非表達式。 例1.2.5：寫出函數 的最簡或非或非表達式。 在最簡或與表達式的基礎上，兩次取反，再用摩根定理去掉下面的反號，所得到的便是函數的最簡或非或非表達式。 解： 式（1.2.5）就是函數Y的最簡或非或非表達式。第五十七張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月

38、（1-58） 5、最簡與或非式 定義：在非號下面相加的乘積項的個數最少，每個乘積項中相乘的變量個數也最少的與或非式，稱為最簡與或非表達式。 例1.2.6：寫出函數 的最簡與或非表達式。 在最簡或非或非式的基礎上，用摩根定理去掉大反號下面的小反號，便可得到函數的最簡與或非表達式。當然，在反函數最簡與或式的基礎上，直接取反亦可。 解： 式（1.2.6）就是函數Y的最簡與或非表達式。第五十八張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-59） 從上面各種最簡式的介紹中，不難發現，只要得到了函數的最簡與或式，再用摩根定理進行適當變換，就可以獲得其他幾種類型的最簡式。因此下面要講解的公式化簡法和圖形

39、化簡法，所說明的都是如何在與或式的基礎上，獲得最簡與或表達式的方法。至于給定函數的表達式不是與或式時，則只需要用公式和定理，便可將其展開、變換成與或式，而且在展開、變換過程中，能化簡的理所當然地應順便化簡。第五十九張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-60） 公式化簡法，就是在與或表達式的基礎上，利用公式、定理和規則，消去表達式中多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子，求出函數的最簡與或式。這種方法沒有固定的步驟可以遵循，主要取決于對公式、定理和規則的熟練掌握及靈活運用的程度。1.2.2 邏輯函數的公式化簡法第六十張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-61） 一、并項法

40、運用公式將兩個與項合并成一個與項，合并后消去一個變量。例：第六十一張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-62） 二、吸收法 利用公式吸收掉多余的項。第六十二張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-63）三、消去法利用公式 消去乘積項中多余的因子。四、配項消項法利用公式 ，加上冗余項，以消去更多乘積項。第六十三張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-64）五、配項法 利用配項 利用 配項第六十四張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-65） 實際應用中遇到的邏輯函數往往比較復雜，化簡時應靈活使用所學的公式、定理及規則，綜合運用各種方法。 下面舉例說明。

41、例1：化簡 解：第六十五張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-66）例2：化簡 解：第六十六張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-67）例3：化簡 解：第六十七張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-68）例4 化簡解：第六十八張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-69）第六十九張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-70）作業題P69 題1.7 （寫出Y1、Y4的標準與或式） 題1.8 、 題1.9 、P70 題1.10 、第七十張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-71） 邏輯函數的卡諾圖法化簡也稱為圖形法化簡?？ㄖZ圖法是

42、由美國工程師卡諾（Karnaugh）于1953年提出來的。它比代數法化簡形象直觀，易于掌握，只要按照一定的規則，便可十分方便地將邏輯函數化為最簡式。由于卡諾圖化簡法具有簡單、直觀、容易掌握等優點，在邏輯設計中得到廣泛應用。 卡諾圖是由真值表變換而來的一種方格圖?？ㄖZ圖上的每一個方格代表真值表上的一行，因而代表一個最小項。真值表有多少行，卡諾圖就有多少個方格。卡諾圖不僅是邏輯函數的描述工具，而且還是邏輯函數化簡的重要工具。1.2.3 邏輯函數的圖形化簡法第七十一張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-72） 一、邏輯變量的卡諾圖 1、卡諾圖的構成 卡諾圖就是與變量的最小項對應的、變量按

43、循環碼順序排列的方格圖。n個邏輯變量有2n組合，最小項就有2n個，卡諾圖也相應有2n個小方格。 2、3、4變量卡諾圖如圖(a)、(b)、(c)所示。m3 m2 m1 m0 BA0110( a ) 0m6m2m7m3m5 m4 m1m0 100011110BCA( b ) m10m11m9m8m14m15m13m12m6m2m7m3m5 m4 m1 m0 00011110CDAB00011110( c ) 變量的順序是00，01，11，10，而不是00，01，10，11。這是為使任意兩個相鄰最小項之間只有一個變量改變。第七十二張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-73） 2、卡諾圖的

44、特點 1、用幾何相鄰形象地表示變量各個最小項在邏輯上的相鄰性。 幾何相鄰包括：相接緊挨著；相對任一行或一列的兩頭；相重對折起來后位置重合。 邏輯相鄰：如果兩個最小項，除了一個變量的形式不同外，其余的都相同，那么這兩個最小項就認為在邏輯上是相鄰的。而在邏輯上相鄰的最小項，是可以合并的。 2、卡諾圖的主要缺點，是隨著變量個數的增加，圖形迅速地復雜起來。當變量多于6個時，不僅畫圖十分麻煩，而且即使畫出來了，許多小方塊最小項，是否邏輯相鄰，也難以辨認，已無實用價值。第七十三張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-74） 例如，四變量卡諾圖中，每個最小項應有4個相鄰最小項， 如m5的4個相鄰最

45、小項分別是和m5相接的 m1，m4，m7，m13。這種相鄰稱為相接相鄰。 而m2的4個相鄰最小項除了與之幾何相接的m3和m6之外，另外兩個是處在“相對”位置的m0 ( 同一行的兩端)和m10( 同一列的兩端)。這種相鄰稱為相對相鄰。 從各卡諾圖可以看出，在n個變量的卡諾圖中，能從圖形上直觀、方便地找到每個最小項的n個相鄰最小項。m10m11m9m8m14m15m13m12m6m2m7m3m5 m4 m1 m0 00011110CDAB00011110( c ) 第七十四張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-75）m18m19m17m16m26m27m25m24m10m2m11m3m

46、9 m8 m1 m0 m20m21m23m22m28m29m31m30m12m4m13m5m14 m15 m7m6 00011110000001011010110111101100CDEAB5變量卡諾圖 5變量卡諾圖如下圖所示。 例如五變量卡諾圖中的m3，除了相接相鄰的m1，m2，m11和相對相鄰的m19外，還與處在“相重”位置的最小項m7相鄰。這種相鄰稱為相重相鄰（或稱重疊相鄰）。 第七十五張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-76） 3、變量卡諾圖中最小項合并的規律 卡諾圖的構造特點使卡諾圖具有一個重要性質：可以從圖形上直觀地找出相鄰最小項合并。合并的理論依據是并項定理 。例如

47、， 用卡諾圖化簡邏輯函數的基本原理：通過把卡諾圖上表征相鄰最小項的相鄰小方格“圈”在一起進行合并，達到用一個簡單“與”項代替若干最小項的目的。 通常把用來包圍那些能由一個簡單“與”項代替的若干最小項的“圈”稱為卡諾圈。 m7m5 AB1000011100CD011110m13 m15 在變量卡諾圖中，凡是幾何相鄰的最小項均可合并，合并時可以消去有關變量。兩個最小項合并成一項時可消去一個變量，4個最小項合并成一項時可消去兩個變量，2n個最小項合并成一項時可消去n個變量。第七十六張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-77） 兩個小方格相鄰, 或處于某行(列)兩端時，所代表的最小項可以合

48、并，合并后可消去一個變量。 例如，下圖給出了2、3變量卡諾圖上兩個相鄰最小項合并的典型情況的。 當一個函數用卡諾圖表示后，究竟哪些最小項可以合并呢？下面以2、3、4變量卡諾圖為例予以說明。 兩個相鄰最小項合并的情況B011010100110A1010A1101A1010BAB01000 101 00011110BCA01BCAC第七十七張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-78） 四個小方格組成一個大方格、或組成一行（列）、或處于相鄰兩行（列）的兩端、或處于四角時，所的表的最小項可以合并，合并后可消去兩個變量。 例如，下圖給出了3變量卡諾圖上四個相鄰最小項合并的典型情況的。 001

49、11 010 00011110BCA01CC11000 101 00011110BCA01第七十八張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-79） 四個相鄰最小項合并的幾種情況00011110AB1001011001101 0 01CD00011110BDBD00011110AB0110100110010 1 10CD00011110BDBD00011110AB0010111100001 0 10CD00011110ABCD 下圖給出了4變量卡諾圖上四個相鄰最小項合并的典型情況的。第七十九張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-80） 3八個小方格組成一個大方格、或組成相鄰的

50、兩行(列)、或處于兩個邊行(列)時，所代表的最小項可以合并，合并后可消去三個變量。 例如，下圖給出了3、4變量卡諾圖上八個相鄰最小項合并的典型情況的。 8個相鄰最小項合并的兩種情況1111011001111 0 11 00011110CDAB00011110(b)DB11111 111 00011110BCA011(a)第八十張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-81） 二、邏輯函數的卡諾圖 1、邏輯函數卡諾圖的畫法 在與-或表達式基礎上，畫邏輯函數卡諾圖的步驟： 畫出函數變量的卡諾圖。 在函數的每一個乘積項所包含的最小項處填上1，剩下的填上0或不填，所得的就是函數的卡諾圖。 2、

51、舉例 例1：畫出3變量函數Y(A,B,C)=m(1,2,3,7)的卡諾圖。 001110 0 1 0 100011110BCAY(A,B,C)=m(1,2,3,7)的卡諾圖 第八十一張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-82） 例3：畫出函數 的卡諾圖。 解：如圖1所示 例2：畫出函數 的卡諾圖。 解：如圖2所示0001111101010 1 11 00011110CDAB00011110圖10100111101110 0 00 00011110CDAB00011110圖2第八十二張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-83） 畫出函數的卡諾圖 合并邏輯函數的最小項，即圈

52、出卡諾圈。注意： 將取值為1的相鄰小方格圈成矩形或方形，相鄰小方格包括最上行與最下行及最左列與最右列同列或同行兩端的兩個小方格。 所圈取值為1的相鄰小方格的個數應為2n（n0，1，2，3，），即1，2，4，8，不允許3，6，10，12等。 圈的個數應最少，圈內小方格個數應盡可能多。 每圈一個新的圈時，必須包含至少一個在已圈過的圈中未出現過的最小項。 每一個取值為1的小方格可被圈多次，但不能遺漏。 相鄰的2項可合并為一項，并消去一個因子；相鄰的4項可合并為一項，并消去2個因子；類推，相鄰的2n項可合并為一項，并消去n個因子。 選擇乘積項寫出最簡與或式。三、用卡諾圖化簡邏輯函數1、化簡步驟 第八十

53、三張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-84）1011111100001 1 1100011110CDAB00011110CBCABABDACD 第八十四張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-85） 例1：用卡諾圖化簡邏輯函數 Y(A,B,C,D)=m(0,3,5,6,7,10,11,13,15)。 解： 作出給定函數F的卡諾圖如圖。 在函數Y的卡諾圖上圈出卡諾圈。 畫卡諾圈時先畫大圈，再畫小圈，且大圈中不再畫小圈。 在圖中的5個卡諾圈均沒有被更大的卡諾圈包圍。且每一個圈至少有1個最小項未被其它的卡諾圈圈過。AB00011110111111 1CD0001111011

54、函數Y的最簡與或式為：BDABCDCDABCABC 2、舉例第八十五張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-86） 例2：用卡諾圖化簡邏輯函數 解：第一步：作出給定函數Y的卡諾圖，如下圖(a)所示。 第二步：在函數Y的卡諾圖上圈出卡諾圈。如圖(b)或(c)。(a)AB000111101111CD00011110111(c)AB000111101111CD00011110111(b)AB000111101111CD00011110111 第三步：求得函數F的最簡與-或表達式為或圖(b)圖(c)第八十六張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-87）1.2.4 具有約束的邏輯函數

55、的化簡 例如，十字路口的交通燈規定紅燈停，綠燈行，黃燈要注意。若以變量A、B、C分別表示紅、黃、綠燈的狀態，且以燈亮為1，燈滅為0， 用Y表示停車與否，且以停車為1，通行為0，則Y是A、B、C的函數。如果規定不允許有兩個以上的燈同時亮，則A、B、C三個變量的取值組合只可能是000、001、010、100，而不應出現011、101、110、111這四種情況。這說明A、B、C之間有著一定的制約關系，因此稱這三個變量是一組有約束的變量。 一、約束的概念和約束條件 1、約束、約束項、約束條件 約束 約束是用來說明邏輯函數中各個變量之間互相制約關系的一個重要概念。第八十七張，PPT共一百零八頁，創作于2

56、022年6月（1-88） 約束項 不會出現的變量取值所對應的最小項稱為約束項。十字路口的交通燈的例子中，變量A、B、 C不會出現011、101、110、111四種情況取值所對應的最小項就是 。 約束條件 由約束項加起來所構成的值為0的邏輯表達式，稱為約束條件。十字路口的交通燈的例子中，約束條件就是第八十八張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-89） 2、 約束條件的表示方法 在真值表中，用叉號（）表示。 在邏輯表達式中，用等于0的條件等式表示。十字路口的交通燈的例子的約束條件表示為 在卡諾圖中用叉號（）表示。最簡與或表達式最小項之和表達式即標準與或表達式01 1 1 1 10001

57、1110BCA11110 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1YA B C第八十九張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-90） 二、具有約束的邏輯函數的化簡 1、無關最小項：一個邏輯函數, 如果它的某些輸入變量取值組合因受特殊原因制約而不會出現, 或者雖然每種輸入取值組合都可能出現, 但此時函數取值為1還是為0無關緊要, 那么這些輸入取值組合所對應的最小項稱為無關最小項。無關最小項用“d”或者“”表示。 2、具有約束的邏輯函數是一種包含無關最小項的邏輯函數。 3、具有約束的邏輯函數的化簡 由于在無關項的相應取值下，函數值隨意取成0或1都不影響

58、函數原有的功能，因此可以充分利用這些無關項其值可以取1，也可以取0來化簡邏輯函數，即采用卡諾圖化簡函數時，可以利用 (或)來擴大卡諾圈。第九十張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-91） 三、化簡舉例 例：化簡下列函數000101 1 100011110BCA 解：Y的卡諾圖如圖所示。 m0、 m4當成1處理，可以與m1、 m5合并，得B； m5 、m7合并得AC。所以BAC第九十一張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-92）作業題P70 題1.11(b)、(d)、(f) 題1.12 、P71 題1.13 題1.14 、 題1.15 、第九十二張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-93）1.3.1 邏輯函數的表示法一、邏輯表達式 邏輯表達式是由邏輯變量、邏輯運算符和必要的括號所構成的式子。例如 YF(A，B，C)ABBC為一由三個變量A、B和C進行邏輯運算構成的邏輯表達式。邏輯函數的表示法有邏輯表達式、真值表、邏輯圖、波形圖和卡諾圖等。1.3 邏輯函數的表示方法及其相互之間的轉換第九十三張，PPT共一百零八頁，創作于2022年6月（1-94） 二、真值表 真值表是一種由邏輯變量的所有可能取值組合及其對應的邏輯函數值所構成的表格。 真值表列寫方法：每一個變量均有0、