1、第1章 數制與編碼 數字（數碼）:名詞：常用數制數制：用來記數并可用來表示數量大小的符號。多位數碼中每一位的構成方法以及從低位到時高位的進位規則。十進制數數的表示方法： 并列法：3210.123多項式表示法：二進制數無符號二進制數的存放位數: 15字節: 8位字長: 二進制數包含的位數或字節數。八進制數符號0、1、7和小數點，且逢八進一，8為基，8i 稱為第 i 位上的權。例：(37.6)8 =(37.6)O=381+780+68-1=(31.75)10十六進制 符號0、1、9、A、B、C、D、E、F和小數點，且逢十六進一，16為基，16i稱為第 i 位上的權。 例：(B1F.8)16=(B1

2、F.8)H=11162+1161+15160+816-1 =(2847.5)10二十進制間的轉換 整數部分用基數除法，小數部分用基數乘法，小數部分算到r位誤差小于2-r。例1：(22.625)10=(10110.101)22 22 2 11 0 LSM 2 5 1 2 2 1 2 1 0 0 1 MSB 0.625 2MSB 1 .250 2 0 .50 2LSB 1 .0例3：(0.71)10=(0.10110101)2 (誤差小于5)例2：(0.71)10=(0.101101)2 (六位二進制小數)二八十六進制之間的轉換 例1：（1100101.11)2=(0110 0101.1100)2

3、=(65.C)16 =(001 100 101.110)2=(145.6)8 例2：（22)10=(10110)2=(16)16=(26)8二進制的運算 加法最低位：本位相加（無進位加）。其他位：除本位相加外，再加低位的進位（帶進位加）。二進制加法規則 1101 SSi （輸入信號X為1位被加數、Y為1位加數，輸出信號S、CO分別是和數及向高位的進位 ） （被加數Xi、加數Yi和低位來的進位CIi，輸出信號是本位和Si及向高位的進位COi ）半加器全加器四位全加器 1101- 1011 0010 減法最低位：本位相減。其他位：除本位相減外，再減低位的借位 （帶借位減）。二進制減法規則說明: 通

4、常利用所謂二進制的補碼或反碼相加來完成減法運算 乘法、除法乘法：當乘數為2r時，積為被乘數左移r位。(1010)2(100)2(101000)2 可見：乘法運算可以由加法運算和左移操作來完成，除法運算可以由減法運算和右移操作來完成。 (1010)2(100)2(10.1)2 除法：當除數為2r時，商為被除數右移r位。編 碼 廣義上：用文字、符號或者數碼來表示某種信息的過程叫編碼。 （由編碼得到的表示給定的信息的符號串稱為代碼，符號串中的各符號稱為碼元，符號的位數稱為碼長。 在數字系統中，任何信息都是由若干位“0”和“1”組成的，這種編碼稱為二值編碼。碼長為n的二值編碼，它的n位碼元可組成2種不

5、同的代碼，代表2種不同的信息。） 用一組二進制碼按一定規則排列起來以表示數字、符號等特定信息。定義：例：A 1000001 代碼: 利用數碼來作為某一特定信息的代號 編碼：代碼的編制過程稱之編碼。 碼制：在編碼時所遵循的規則。數制：表示數值的符號與規則編碼：表示信息的符號與規則BCD碼編碼部分字符的ASCII碼(PC機鍵盤)自然二進制碼 十進制數 (自然)二進制碼01234567891011121314150 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1

6、0 11 1 1 01 1 1 1自然二進制碼的缺點：當一個代碼變為相鄰代碼時，如欲由1001變為1010，由于實際電路中各個碼元的變化總有先有后，難以做到絕對地“同時”變化，若1001的最低位1先變成0，然后次低位0再變成1，則1001變成1010的變化過程是：100110001010，出現了誤碼1000。 按自然數順序排列的二進制碼 常用四位自然二進制碼，表示十進制數0-15，各位的權值依次為23、22、21、20。 格雷碼（又稱循環碼或反射碼），是美國貝爾實驗室的數學家弗蘭克格雷（Frank Gray）在二戰期間為解決采用脈碼調制方式PCM的無線電通信中，由于線路中的脈沖干擾而造成誤碼率

7、太多這一嚴重問題而提出的，據此發明的格雷編碼管（Grag cooler Tube）于1953年3月17日獲得了美國專利。因此，格雷是對現代通信技術做出了特殊貢獻的數學家。 格雷碼的特點：在計數過程中，任何相鄰的兩個碼，只有一個數位（又稱碼元）不同。 格雷碼循環碼格雷碼的特性：（1）循環性（2）反射性 格雷碼之所以在通信中獲得廣泛應用，一是因為相鄰碼只有一位發生變化，也就是只有一根線上有脈沖變化（在格雷編碼管中），干擾減少，使通信的出錯概率大大降低，二是碼的生成和變換比較簡單。從自然二進制變換為二進制格雷碼的規則： （1）兩種代碼的最高位（即最左邊一位）相同；（2）從高位至低位依次讀取二進制碼的

8、各位碼元。若某位碼元與其前一位不同,則該位對應的格雷碼的碼元為1，否則為0。從二進制格雷碼變換為自然二進制的規則如下：（1）兩種代碼的最高位相同； （2）從高位至低位依次讀取格雷碼的各位碼元。若某位碼元為0，則表示與該位對應的二進制碼的碼元與其前一位相同；否則，表示與該位對應的二進制碼的碼元與其前一位不同。 帶符號二進制數0表示正，1表示負例： +106原01101010 106原11101010 原碼表示方法優點：簡單易懂； 缺點：實現加、減運算不方便。 當進行兩數加、減運算時，要根據運算及參加運算的兩個數的符號來確 定是加還是減。 如果是做減法，則還需根據兩數的大小確定被減數和減數，以及運

9、算結 果的符號。顯然，這將增加運算的復雜性，為此，引入了反碼和補碼的概念。 在對數進行算術運算時，必然涉及到數的符號問題。人們通常在一個數的前面用“+”號表示正數，用“”號表示負數。而在數字系統中，符號和數值一樣是用0和1來表示的，一般將數的最高位作為符號位，用0表示正，用1表示負。 符號和數值一起編碼表示的二進制數稱為機器數或機器碼。原碼（表示法）反碼定義： 對于無符號數，反碼是一種用對數值按位取反表示的二進制編碼。 對于有符號數，反碼是一種用符號位和對數值按位取反表示的二進制編碼。 （有符號數的反碼編碼原則是：用最高位表示符號，正數用0表示，負數用1表示。正數的反碼是其原碼本身，負數反碼的

10、數值部分是原碼的數值部分按位取反。） 補碼定義： 對于無符號數，補碼是一種用對數值按位取反并加1表示的二進制編碼。 對于有符號數，補碼是一種用符號和對數值按位取反并加1表示的二進制編碼。 （有符號數的補碼編碼原則是：用最高位表示符號，正數用0表示，負數用1表示。正數的補碼是其原碼本身，負數補碼的數值部分是原碼的數值部分按位取反并加1。）例：十進制數二進制原碼二進制反碼二進制補碼+26000110100001101000011010-261001101011100101111001104位帶符號位 的原反補碼 帶符號二進制數的表示方法 用反碼進行加法/減運算 用反碼實現加/減運算的步驟：（1）

11、將A與B均表示成反碼形式；（2） 兩個反碼相加，且符號位也參與運算；（3） 若符號位有進位，符號位的進位需加到和數的最低位上（稱為循環進位）。用反碼表示有符號數特點： 優點：符號位直接參與運算； 缺點：如果在運算時符號位有進位，需要將該進位加到結果的最低位上去，也就是說要做兩次加法運算才能得到正確結果，增加了運算時間。并且，反碼表示法仍然沒有解決0的表示不惟一的問題。 用補碼進行加法/減運算 用補碼實現加法運算的步驟為：（1） 將X與Y均表示成補碼形式；（2） 兩個補碼相加，且符號位也參與運算；（3） 若符號位有進位，則自動丟失，所得結果為X+Y的補碼。補碼加法器框圖用補碼來表示有符號數的優點

12、： 符號位直接參與運算，兩數補碼的和直接等于兩數和的補碼，即(A)補十(B)補=(A+B)補。 補碼表示法對0的表示是唯一的，有利于簡化系統。 用補碼進行同符號數加法運算時的溢出問題 n位二進制原碼、反碼、補碼表示的數的范圍是原碼： -(2-1) +(2-1)反碼： -(2-1) +(2-1)補碼： -2- +(2-1) （不含0）（1）結果正確嗎？ （2）如何判斷？判別電路十進制二進制碼原碼反碼補碼+7011101110111+6011001100110+5010101010101+4010001000100+3001100110011+2001000100010+1000100010001

13、+0000000000000-010001111-1100111101111-2101011011110-3101111001101-4110010111100-5110110101011-6111010011010-7111110001001-81000 n位二進制原碼、反碼、補碼表示的數的范圍是 原碼： -(2-1) +(2-1) 反碼： -(2-1) +(2-1) 補碼： -2- +(2-1) （不含0） 四位帶符號數的原碼、反碼和補碼二十進制碼 (Binary Coded Decimal,簡稱BCD)常用BCD碼編碼表有權碼無權碼偏權碼 用四位二進制代碼對十進制數的各個數碼進行編碼。 BCD碼至少為四位。因為四位二進制碼共有16個不同的代碼，要從16個代碼中選出10個表示十進制數符，則共有 余3碼的優點：在用余3碼作十進制加法運算的時候，若2數之和是10，正好等于二進制數的16，于是便從高位自動產生進位信號。 BCD碼加/減運算 由于BCD碼與十進制數之間存在直接的對應關系，因此有時利用BCD碼來完成十進