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1、不定積分的概念和性質(zhì)換元積分法和分部積分法定積分的概念和性質(zhì)定積分的換元積分法和分部積分法定積分的應(yīng)用和推廣第三章 一元積分學(xué)二、第二換元法(變量替換法)第一換元法中，通過引入中間變量，將被積函數(shù)湊成某個已知函數(shù)（一般是基本積分表中的）的微分形式，從而計算出不定積分。即先湊微分，再作代換。令令第二換元法則沿著與第一換元法相反的路線進行計算，即先作代換，再求積分。求出積分后再通過反代換求出原積分。因此要求代換必須是可逆的。所以第二換元法的條件比第一換元法強，主要用來求無理函數(shù)的不定積分。定理2（不定積分的第二換元積分法）已知函數(shù) 有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且 。如果那么無理代換例 17令 ，則原式例 18原

2、式令 ，則例 19原式令 ，則三、分部積分法例20分析：本題不能使用第一換元法。因為雖然可以有但是 或者不在積分公式表中，并且目前也不知道積分結(jié)果。或者注意到如果能交換 與 ，得到新的積分顯然問題就解決了.令 則觀察發(fā)現(xiàn), 兩個積分的關(guān)系轉(zhuǎn)化為 與 的關(guān)系定理3（不定積分的分部積分法）已知函數(shù) 都可導(dǎo)，則即聯(lián)想到證明：顯然，求積分 時，若代數(shù)變形則可以考慮使用分部積分法求解。例20注意：所以分部后的新積分必須是“相對比較容易計算”的積分反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)例21關(guān)鍵是確定選u的經(jīng)驗是:例22例23例24例25例26所以例27所以令 ，則例28( 令)例29所以有趣的是,雖然初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是初等函數(shù),但是許多初等函數(shù)的原函數(shù)(盡管存在原函數(shù))卻不是初等函數(shù)。也就是說無法用我們熟悉的（初等）函數(shù)的形式來表示它們的原函數(shù)。我們稱這種函數(shù)為“不可積”的函數(shù)，也

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