1、二、一個總體平均數的假設檢驗Hypothesis Test for One Population Mean1 1 .假設檢驗的本質The Nature of Hypothesis Testing2假設（hypothesis）關于某事為真的陳述：每包xx餅干的平均重量與包裝袋上記載的454 g 不同排課時間影響選修統計學同學的成績表現姚明本周的表現是否失常一種新藥的臨床實驗表現要好到什么程度才能說它不是安慰劑3然而統計假設實際上包含兩部分，零與備擇假設 (Null and Alternative Hypotheses）零假設（Null Hypotheses）：被檢驗的假設。我們使用符號H0來表示

2、零假設。H0: = 0備擇假設（Alternative Hypotheses）：與零假設形成對立的假設，使用符號 H0 或 H1 來表示對立假設。Ha : 0，雙側，雙尾檢驗（two-tailed test）Ha : 0 ，右側（right-tailed test），單側或單尾檢驗（one-tailed test）Ha : 0 ，左側（left-tailed test），單側或單尾檢驗（one-tailed test）4假設檢驗之邏輯（The Logic of Hypothesis Testing）先假設零假設為真，自總體取一隨機樣本，倘若樣本資料與零假設一致，則不拒絕零假設；倘若樣本資料與零

3、假設不一致（且其方向與備擇假設一致），則拒絕零假設，并結論備擇假設為真。何謂與零假設（不）一致？-需訂出具體標準。有時我們也說接受零假設，但這并不準確。就像打官司的時候，我們說某人無罪，是應為無法證明其有罪，不利于被告的證據不足以采信。所以，準確的說法是無法拒絕零假設。5樣本25袋脆餅中95.44%的平均重量落在的2個標準差（3.12g）之間。6(a)拒絕零假設的訣策準則；(b) 若零假設為真，將拒絕零假設的訣策準則套上 的正態曲線。7圖示樣本平均數（450g）距離零假設中的總體平均數（454g）的相對位置（以標準差為單位）。82 .專有名詞，誤差及假設Terms, Errors, and H

4、ypotheses9檢驗統計量，拒絕區，非拒絕區，臨界值（Test Statistic, Rejection Region, Nonrejection Region, Critical Values）檢驗統計量（Test Statistic）：為了檢驗是否拒絕零假設時所計算的統計數。拒絕區（Rejection Region）：可以拒絕零假設的檢驗統計量之區間。非拒絕區（Nonrejection Region）：無法拒絕零假設的檢驗統計量之區間。臨界值（Critical Values）：區隔拒絕區與非拒絕區的檢驗統計量之值。臨界值被視為拒絕區的一部分。1011圖示雙尾拒絕區、左尾拒絕區及右尾拒絕

5、區。12 3 .當已知，一個總體平均數的假設檢驗Hypotheses Tests for One Population Mean When is Known13取得臨界值（Obtaining Critical Values）若假設檢驗依照顯著性水平來進行，則所選取的臨界值應可滿足，若零假設為真，檢驗統計量落入拒絕區的機率為。14當該檢驗為：(a)雙尾，(b)左尾，(c)右尾，則假設檢驗在顯著性水平下的臨界值位置。 常用的 z:15總體平均數的單一樣本Z檢驗（臨界值法）（The One-Sample z-Test for a Population Mean （Critical-Value App

6、roach ）假設：正態總體或大樣本。已知。步驟一：零假設為H0 ： = 0 ，備擇假設為或 或（雙側） （左側） （右側）步驟二：決定顯著性水平。16步驟三：計算檢驗統計量步驟四：臨界值為 或 或 （雙尾） （左尾） （右尾）使用表A-5找出臨界值。17步驟五：若此統計檢驗量的值落在拒絕區內，則拒絕H0；反之，則無法拒絕H0 。步驟六：解釋此假設檢驗的結果。此假設檢驗在正態總體是精確的，在非正態總體中的大樣本中則是趨近于正確的。Statistical vs. practical significance18使用z檢驗的時機（When to Use the z-Test）小型樣本（樣本小于15

7、）：z檢驗只能用于當總體為正態分布或非常趨近正態時。中型樣本（樣本介于1530）：除了資料當中有離散值或者總體分布嚴重偏離正態分布之外，可以使用z檢驗。大型樣本（樣本大于30）：在z檢驗的基本使用上并無限制。然而，若離散值存在且無正當理由將之移除，則應檢驗離散值的影響。我們需各做一次包含與不含離散值的假設檢驗，若這兩者的結論相同，則可以接受此一結論；否則應采用不同的統計方法或取另一個樣本。若有正當理由移除離散值，則可以使用此z檢驗法。19P值P-Values20若零假設H0為真，得到檢驗統計量的值等于目前的值或比之更極端的機率。稱為P值（p-value），observed significan

8、ce level，probability value。P值越小，越支持備擇假設，也就是備擇假設成立的證據越強。21當檢驗為(a)雙尾；(b)左尾；(c)右尾時，Z檢驗的P值。22P值代表觀測到的顯著性水平（observed significance level）假設檢驗的P值等于可以拒絕零假設的最小顯著性水平，那就是說，得以讓目前樣本資料拒絕H0的最低最小顯著性水平。23使用P值作為假設檢驗的臨界值（Decision Criterion for a Hypothesis Test Using the P-Value）若P值小于或等于顯著性水平時，拒絕零假設；反之，則不拒絕零假設。24總體平均數

9、的單一樣本Z檢驗（P值法）（The One-Sample z-Test for a Population Mean （P-Value Approach ）假設：正態總體或大樣本。已知。步驟一：零假設為H0 ： = 0 ，備擇假設為或 或（雙側） （左側） （右側）步驟二：確定顯著水平。25步驟三：計算檢驗統計量并標記為z0。步驟四：臨界值為 或 或 （雙尾） （左尾） （右尾）使用表A-5找出臨界值。26步驟五：若P，則拒絕H0；反之，無法拒絕H0 。步驟六：解釋此假設檢驗的結果。此假設檢驗在正態總體是精確的，在非正態總體中的大樣本里則是趨近于正確的。27臨界值法 vs. p值法臨界值法P值法

10、步驟一：寫出零假設及備擇假設步驟一：寫出零假設及備擇假設步驟二：確定顯著性水平，步驟二：確定顯著性水平，步驟三：計算統計檢驗數的值步驟三：計算統計檢驗數的值步驟四：計算臨界值步驟四：計算P值步驟五：若此統計檢驗數的值落入拒絕區，拒絕H0；反之，則不拒絕H0步驟五：若P，拒絕H0；反之，則不拒絕H0步驟六：解釋假設檢驗的結果步驟六：解釋假設檢驗的結果28當未知，一個總體平均數的假設檢驗Hypotheses Tests for One Population Mean When is Unknown29當檢驗為(a)雙尾；(b)左尾；(c)右尾時，t檢驗的P值。但由于t-table不夠詳盡，t檢驗的

11、p值只能以區間表示（可用統計軟件獲得確切值）30以樣本大小為12及統計檢驗值t = -1.938，來估計左尾t檢驗的P值。31以樣本大小為25及統計檢驗值t=-0.895，來估計雙尾t檢驗的P值。32總體平均數的單一樣本t檢驗（臨界值法）（The One-Sample t-Test for a Population Mean （Critical-Value Approach ）假設：正態總體/大樣本。未知。步驟一：零假設為H0 ： = 0 ，備擇假設為或 或（雙側） （左側） （右側）步驟二：確定顯著水平。33步驟三：計算檢驗統計量步驟四：臨界值為 或 或 （雙尾） （左尾） （右尾）使用表A

12、-6找出臨界值。34步驟五：若此統計檢驗量的值落在拒絕區內，則拒絕H0；反之，則無法拒絕H0 。步驟六：解釋此假設檢驗的結果。此假設檢驗在正態總體是精確的，在非正態總體中的大樣本里則是趨近于正確的。35總體平均數的單一樣本t檢驗（P值法）（The One-Sample t-Test for a Population Mean （P-Value Approach ）假設：正態總體/大樣本。未知。步驟一：零假設為H0 ： = 0 ，備擇假設為或 或（雙側） （左側） （右側）步驟二：確定顯著性水平。36步驟三：計算檢驗統計量并標記為t0。步驟四：臨界值為 或 或 （雙尾） （左尾） （右尾）使用表

13、A-6找出臨界值。37步驟五：若P，則拒絕H0；反之，無法拒絕H0 。步驟六：解釋此假設檢驗的結果。此假設檢驗在正態總體是精確的，在非正態總體中的大樣本里則是趨近于正確的。387 .應該選用何種方法？Which Procedure Should be Used？394041對稱總體？開始正態總體？大樣本？與統計員討論標準差已知？使用單一樣本 z檢驗使用單一樣本 t檢驗使用 Wilcoxon Signed-Rank檢驗是是是是否否否否42Alpha 越大，檢驗越有說服力？43第一型錯誤及第二型錯誤（Type and Type Errors）第一類型錯誤（Type Error）：當零假設為真時，錯

14、誤地拒絕零假設。佘祥林案第二類型錯誤（Type Error）：當零假設為偽時，錯誤地沒有拒絕零假設。辛普森案Type I & II error44顯著水平（Significance Level）發生第類型錯誤的機率為，意即在零假設正確時拒絕零假設的機率。也是假設檢驗時的顯著水平（Significance Level)。發生第類型錯誤的機率，則為。45第與第類型錯誤機率之間的關系（Relation Between Type and Type Error Probabilities）理想上，假設檢驗時第一類型與第二類型錯誤的機率都應越低越好，但是.樣本大小固定時，當顯著水平越小時，（虛無假設為偽時

15、，未拒絕虛無假設的機率）越大。為什么？令可錯殺三千，不可放走一人？46假設檢驗可能的結論（Possible Conclusion for a Hypothesis Test）若零假設被拒絕，我們下結論：備擇假設是正確的。若零假設不被拒絕，我們下結論：這些資料無法提供足夠的證據來支持備擇假設。47 犯第類型錯誤的機率；統計功效Type Error Probabilities; Power48小問題：真實的和期望的的差距和是什么關系？ 和的關系？樣本大小和的關系？49圖示油量里程表的臨界值（=0.05，n=30） 。50當每加侖里程數=25.8時，檢驗犯第類型錯誤的機率。51=25.8、25.6、25.3及25.0時第類型錯誤的機率。52統計檢驗力（Power）假設檢驗中的統計功效是不犯第類型錯誤的機率，那也就是說，拒絕錯誤的零假設的機率。我們可以表示為： Power=1-P( Typ