1、第 2 章 狀態空間數學模型教材：王萬良，現代控制工程，高等教育出版社，2011狀態空間方法是基于狀態空間模型分析與設計自動控制系統。狀態空間模型描述了系統內部狀態和系統輸入、輸出之間的關系，比輸入輸出模型更深入地揭示了系統的動態特性。本章首先介紹狀態的概念以及狀態空間模型的建立方法，然后介紹系統的狀態空間模型的實現，為系統分析與設計奠定基礎。第2章 狀態空間數學模型2第2章 狀態空間數學模型2.1 狀態與狀態空間的概念 2.2 系統的狀態空間模型2.3 線性系統的狀態空間模型與線性變換2.4 控制系統的實現2.5 多變量系統的傳遞矩陣2.6 控制系統的離散狀態空間模型32.1 狀態與狀態空間

2、的概念 例：圖2.1所示彈簧-阻尼器系統在外作用力F(t)已知的情況下，如果知道了物體在某一時刻的位移及速度,就能確定系統未來的動態響應。如果僅知道物體的位移或速度，就不能確定系統未來的動態響應。物體的位移、速度及加速度這三個量顯然是不獨立的，可以根據其中兩個量確定另外一個量，因此這個量對于描述系統狀態是多余的。可選擇物體在某一時刻的位移及速度為彈簧-阻尼器系統在某一時刻的狀態。4狀態是系統中一些信息的集合，在已知未來外部輸入的情況下，這些信息對于確定系統未來的行為是充分且必要的。系統在各個時刻的狀態是變化的，能夠確定系統各個時刻狀態的具有最少個數變量的一組變量稱為狀態變量。以n個狀態變量作為

3、坐標軸所組成的維空間稱為狀態空間。2.1 狀態與狀態空間的概念狀態軌跡：以 為起點，隨著時間的推移， 在狀態空間繪出的一條軌跡。52.2 系統的狀態空間模型2.2.1 建立狀態空間模型的方法描述系統狀態變量和輸入變量之間關系的一階微分方程組稱為狀態方程。描述系統輸出變量與系統狀態變量、輸入變量之間關系的方程稱為輸出方程。系統的狀態方程和輸出方程組成系統的狀態空間模型，或稱為動態方程。狀態空間模型描述了系統內部狀態和系統輸入、輸出之間的關系，所以又稱為內部描述模型。它比輸入輸出模型更深入地揭示了系統的動態特性。6選取的狀態變量一定要滿足狀態的定義，首先檢查是否相互獨立，即不能由其它變量導出某一變

4、量；其次檢查是否充分，即是否完全決定了系統的狀態。狀態變量的個數應等于系統中獨立儲能元件的個數 。 選擇狀態變量一般有三條途徑(不限于)： （1）選擇系統中儲能元件的輸出物理量作為狀態變量； （2）選擇系統的輸出變量及其階導數作為狀態變量（為系統獨立儲能元件的個數）； （3）選擇能使狀態方程成為某種標準形式的變量作為狀態變量。2.2.1 建立狀態空間模型的方法72.2.1 建立狀態空間模型的方法 例2.1 建立圖示質量-彈簧-阻尼器系統的狀態空間模型。 選取狀態變量為 根據牛頓定律得 系統的狀態方程 系統的輸出方程為 狀態空間表達式 82.2.1 建立狀態空間模型的方法例2.2 建立圖示RLC

5、網絡的狀態空間模型。 選取狀態變量為 根據電壓電流定律得 92.2.1 建立狀態空間模型的方法從上面例題可以看出：（1） 狀態變量的選擇不唯一，因此狀態方程也不唯一（但在相似意義下是唯一的）；（2）狀態變量的個數一定；（3）狀態變量可以是有明顯物理意義的量，也可以是沒有明顯物理意義的量。狀態變量可以是可測的量，也可以是不可測的量。很多系統雖然具有不同的物理特性，但卻具有相同形式的數學模型。 102.2.2 由狀態空間模型求微分方程如果已經得到了系統的狀態空間模型，只要消除狀態空間模型中的狀態變量，即可得到系統輸出變量與輸入變量之間的關系，就得到系統的微分方程描述。例2.4 例2.1所示彈簧-阻

6、尼器系統的狀態空間模型為微分方程為 112.2.2 由狀態空間模型求微分方程例2.5 對于例2.2所示的RLC網絡，若選狀態變量為電感中的電流和電容上的電壓，則狀態空間模型為微分方程為 122.3 線性系統的狀態空間模型與線性變換 狀態空間模型的一般表示式（1） 2.3.1 SISO線性系統的狀態空間模型132.3.2 MIMO線性系統的狀態空間模型多輸入多輸出線性系統的狀態方程可以表示為輸出方程表示為142.3.2 MIMO線性系統的狀態空間模型簡記為多輸入多輸出線性系統的狀態方程矩陣形式為 15多輸入多輸出系統的矩陣方框圖 2.3.2 MIMO線性系統的狀態空間模型162.3.3 狀態方程

7、的線性變換狀態變量的選擇不唯一，狀態方程也不唯一，但這些狀態方程可以通過線性變換得到，因此狀態方程在相似意義下是唯一的。可以通過線性變換將系統的一般模型變換為簡單規范的標準型，從而簡化系統的分析和設計。172.3.3 狀態方程的線性變換設狀態變量取為x時，系統的狀態空間模型為取線性變換系統的狀態空間模型變換為 P?第5章介紹182.3.3 狀態方程的線性變換考察經非奇異線性變換后，特征值的變化情況。經非奇異線性變換后，狀態方程的特征值不變，所以，一般稱特征值是系統的不變量。19例2.6 已知系統的狀態方程為2.3.3 狀態方程的線性變換取線性變換為求變換后的系統的狀態方程。202.3.3 狀態

8、方程的線性變換 解：取212.4 控制系統的實現2.4.1 系統的實現問題系統的實現是根據系統的外部描述構造一個內部結構，要求既保持外部描述的輸入輸出關系，又要將系統的內部結構確定下來。根據輸入輸出關系求得的狀態空間模型不是唯一的，有無窮多個狀態空間模型具有相同的輸入輸出關系。 由狀態空間模型求微分方程較容易，只要消除狀態變量，得到輸出與輸入的關系式就行了。由系統的微分方程、傳遞函數等外部數學模型確定等價的狀態空間等內部數學模型稱為系統的實現。222.4.2 不含有輸入導數項的微分方程的實現不含有輸入導數項的微分方程的一般描述為若將狀態變量選為系統的狀態方程為 232.4.2 不含有輸入導數項

9、的微分方程的實現表達為矩陣形式242.4.3 含有輸入導數項的微分方程的實現含有輸入導數項的微分方程的一般描述為這時，不能選輸出及其各階導數，否則狀態變量中包含輸入信號的導數，使得當輸入信號出現階躍時，狀態變量將是不確定的，不滿足選擇狀態變量的要求。 （1）方法一: 選取系統的狀態變量為252.4.3 含有輸入導數項的微分方程的實現26例2.8 求系統的狀態空間模型。2.4.3 含有輸入導數項的微分方程的實現27 （2）方法二：基于方框圖變換與微分方程等效的方框圖進行等效變換。2.4.3 含有輸入導數項的微分方程的實現282.4.3 含有輸入導數項的微分方程的實現取狀態變量為引入中間變量z，則

10、微分方程可化成下面兩個方程表示所以，狀態方程為29輸出方程為2.4.3 含有輸入導數項的微分方程的實現這種方案選擇的狀態變量已不具有明顯的物理意義。例2.9 求系統的狀態空間實現。解 302.5.1 多變量系統傳遞矩陣的概念對于多變量系統，每個輸入和每個輸出之間的關系都用一個傳遞函數描述，這些傳遞函數構成了一個矩陣，稱為傳遞矩陣。2.5 多變量系統的傳遞矩陣由于線性系統滿足疊加原理，所以，系統的各個輸出分別為31表示為矩陣形式2.5.1 多變量系統傳遞矩陣的概念傳遞矩陣定義為 32設MIMO線性定常系統的狀態空間模型為2.5.2 從狀態空間模型求傳遞矩陣傳遞矩陣為332.5.2 從狀態空間模型

11、求傳遞矩陣例2.10 已知系統狀態空間模型，求傳遞矩陣。342.5.3 多變量控制系統的結構圖簡化系統的傳遞矩陣為 352.6 控制系統的離散狀態空間模型設線性定常系統的差分方程描述為若狀態變量選擇為 362.6 控制系統的離散狀態空間模型當差分方程中含有輸入量的差分項時，類似于連續狀態空間模型中的方法，狀態變量可以選擇為372.6 控制系統的離散狀態空間模型例2.12 已知系統的差分方程，求離散狀態空間模型。382.6 控制系統的離散狀態空間模型392.8 本章小結狀態是系統中一些信息的集合，在已知未來外部輸入的情況下，這些信息對于確定系統未來的行為是充分且必要的。描述系統狀態變量和輸入變量

12、之間關系的一階微分方程組稱為狀態方程。描述系統輸出變量與系統狀態變量、輸入變量之間關系的方程稱為輸出方程。狀態變量可以選擇：系統中儲能元件的輸出物理量、輸出變量及其階導數、使狀態方程成為某種標準形式的變量。狀態變量的選擇不唯一，但個數一定。狀態變量可以是有明顯物理意義的量，也可以是沒有明顯物理意義的量；可以是可測量，也可以是不可測量。狀態方程不唯一，在相似意義下唯一。消除狀態空間模型中的狀態變量，可得到系統的微分方程描述。狀態方程可以通過線性變換得到狀態方程的其他形式。402.8 本章小結由系統的微分方程等外部數學模型確定等價的狀態空間等內部數學模型，通常稱為系統的實現問題。對于不含有輸入導數項的微分方程，取輸出變量及其n-1階導數作為狀態變量