1、12回顧最小二乘法辨識33則可寫為 N維輸出向量2n+1維參數向量N維噪聲向量最小二乘法：回顧445回顧遞推最小二乘法6回顧772022/8/7該遞推公式有明顯的物理意義：84.7.2 遞推最小二乘法程序結構9101112可用下式作為遞推最小二乘算法的停機準則134.8 遞推最小二乘辨識的在線算法考慮被控對象的在線辨識和控制問題。為不相關的隨機其中序列。主要目的是設計狀態反饋控制律，使得輸出趨向于零。但主要問題是模型參數 、 未知。14整個閉環系統原理如下圖所示。15 將被控對象模型變換成狀態空間模型，令狀態變量為：則有：這是一個一階線性離散系統。16暫不考慮干擾信號，設狀態反饋控制律為：其中

2、 為反饋增益系數。可得閉環系統方程其特征方程為：17解出閉環極點為：假設期望閉環極點為：模小于1則有：18于是在理論上狀態反饋控制律為：可見狀態反饋控制律不但依賴于系統的狀態 ，而且還依賴于模型參數 、 。但是這兩個參數卻是未知的，在這種情況下，我們通過最小二乘法辨識出這兩個參數 和 ，19為了仿真研究的方便，我們在解算模型的輸出時，假設這兩個參數為 、 。在假設這兩個參數已知的理想情形下，我們先對閉環系統進行仿真研究。最后得到實際的控制律20假設狀態初值為：隨機干擾的范圍為：21編寫下列M文件x0=-2.3;x(1)=x0;for k=1:1:20 x(k+1)=0.3*x(k) +0.2*

3、rand(1)-0.1;endt=0:1:length(x)-1;stem(t,x);axis(0,21,-3,1);繪制枝干圖隨機干擾22運行結果如下：23可見在理想情況下，閉環系統是漸近穩定的。 而實際情況下，被控系統的參數是未知的，需要通過最小二乘法進行辨識。下面給出實際閉環系統仿真流程圖24開始給定真實參數 、解算模型輸出之用設定較大的正常數給定估計參數初值 、不可為零否則控制律發散25估計參數向量的初始化給定系統初始狀態，即初始輸出相當于26設置設置矩陣P的初始化，相當于27狀態反饋控制律系統模型1表示11矩陣，即標量隨機數，范圍為01282930結束否？是結束否31編制M文件如下：

4、a1=2; % 真實參數b0=1.4; % 真實參數c=10000; % 很大的正常數a1_m=0; % 估計參數初值b0_m=0.5;% 估計參數初值sita_m(:,1)=a1_m,b0_m;% 估計參數向量初值y(1)=-2.3; % 系統初始狀態（即初始輸出）z=c2; % 很大的正常數之平方P(:,:,1)=diag(z,z,0); % P陣的初始化32for N=1:1:20 u(N)=(sita_m(1,N)+0.3)*y(N)/sita_m(2,N); y(N+1)=-a1*y(N)+b0*u(N)+0.2*rand(1)-0.1; fai(:,N+1)=-y(N),u(N);

5、 W=P(:,:,N)*fai(:,N+1); r=1/(1+W*fai(:,N+1); K(:,N+1)=W*r; P(:,:,N+1)=P(:,:,N)-K(:,N+1)*W; sita_m(:,N+1)=sita_m(:,N)+K(:,N+1)*(y(N+1)-(fai(:,N+1)*sita_m(:,N);end控制律對象模型遞推最小二乘算法33u(21)=(sita_m(1,21)+0.3)*y(21)/sita_m(2,21);k=0:1:length(u)-1;subplot(2,1,1);stairs(k,u,r-);xlabel(time k);ylabel(u(k);sub

6、plot(2,1,2);stairs(k,y,b-);xlabel(time k);ylabel(y(k);為了向量u和y的長度一致畫階梯線34該文件的運行結果35 從數字仿真的結果可見：在反饋控制律使用最小二乘估計參數的情況下，閉環系統還是漸近穩定的。36 現在我們再來看一下這兩個估計模型參數的收斂情況。繼續上述M文件：figure;subplot(2,1,1);stairs(k,sita_m(1,:),k-);legend(a1_m);subplot(2,1,2);stairs(k,sita_m(2,:),m-);legend(b0_m);37運行結果38 從數字仿真的結果可見：最小二乘估

7、計參數收斂相當快，而且估計穩態誤差均為零。394.9數據遞推的飽和及解決方法4.9.1數據飽和現象 隨著數據量的增長，遞推的最小二乘法將出現所謂的“數據飽和”現象。這是由于增益矩陣隨著數據的增加將逐漸趨于零。以致使遞推算法是去修正能力的緣故。 所謂數據飽和現象。就是隨著時間的推移，采集的數據越來越多，新數據提供的信息被舊數據所淹沒。 如果辨識算法對新、舊數據給予相同的信度，那么隨著從新數據中獲得的信息量相對下降，算法就會慢慢失去修正能力。 估計值可能還偏離真值較遠就無法更新了；對時變系統來說，將導致參數估計值不能跟蹤時變參數的變化；另外，由于遞推在數字計算機上進行，每步都存在舍入誤差。數據飽和

8、后，不僅對參數估計不起改進作用，反而可能使偏差越來越大。4040數據飽和現象 4141數據飽和現象 為了克服數據飽和現象，可以用降低舊數據影響的辦法來修改算法。 可見，隨著遞推次數的增加，P(N)將越來越小,最后可能趨于零。 因此根據上式，新的采樣值對參數估計的改進，已不再起作用了。4242如果再獲得一對新的觀測值 ，則有 由n+N個觀測數據獲得 的最小二乘估計為4.9.2漸消記憶法 漸消記憶法又稱為遺忘因子法，這種方法的思想是對舊數據加上遺忘因子，按指數加權來使得舊數據的作用衰減。 43令： 稱為遺忘因子，0 1。漸消記憶的遞推算法的結構和計算流程與遞推最小二乘算法基本一致。初始狀態的選取也一致。遺忘因子必須選擇接近1的正數，通常不小于0.9。如果系統是線性的，應選擇0.951。整理得：444.9.3限定記憶法 限定記憶法每次估值只依據最新的N個數據，在此以前的數據則全部剔除。如果考慮一個固定長度的矩形窗，每一時刻有一個新數據點增加進來，一個舊數據點剔除出去，這樣保持了每次都只取最新的N個數據進行計算。 遞推算法分為兩個過程。（1）先進一個觀測數據yi+N，即在i+N時刻，進一個數據