1、東北大學(xué)秦皇島分校數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)報(bào)告伊拉克戰(zhàn)爭(zhēng)中的數(shù)學(xué)模型學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院專業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)號(hào)7100115姓名陳鵬程指導(dǎo)教師張尚國(guó)林秋成績(jī)教師評(píng)語：指導(dǎo)教師簽字：2013年7月16日r數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院課程設(shè)計(jì)報(bào)告第 頁(yè)1緒論1.1問題提出人類會(huì)厭倦睡覺；厭倦愛情；會(huì)厭倦唱歌；厭倦跳舞；但是戰(zhàn)爭(zhēng)，卻永不停歇。荷馬伊利亞特伊拉克戰(zhàn)爭(zhēng)，又稱美伊戰(zhàn)爭(zhēng)，是以美英軍隊(duì)為主的聯(lián)合部隊(duì)在2003年3月20日對(duì)伊拉克發(fā)動(dòng)的軍事行動(dòng)，美國(guó)以伊拉克藏有大規(guī)模殺傷性武器并暗中支持恐怖分子為由，繞開聯(lián)合國(guó)安理會(huì)，單方面對(duì)伊拉克實(shí)施軍事打擊。到2010年8月美國(guó)戰(zhàn)斗部隊(duì)撤出伊拉克為止，歷時(shí)7年多，美方最終沒有找到所

2、謂的大規(guī)模殺傷性武器，反而找到薩達(dá)姆政權(quán)早已將其銷毀的文件和人證。2011年12月18日，美軍全部撤出。決定一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)的因素是很多的，也是很復(fù)雜的，不是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型所能解決的。毛主席說：決定戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)的是人，而不是一兩件新式武器。哲人說：人心的向背決定戰(zhàn)爭(zhēng)的勝負(fù)。但人心是模糊的，很難說清楚。這里，我們不想討論戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)的原因。只是從數(shù)學(xué)的角度來探討決定一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)的一些因素。早在第一次世界大戰(zhàn)期間，F(xiàn).W.Lanchester就指出了幾個(gè)預(yù)測(cè)戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局的數(shù)學(xué)模型，其中有描述傳統(tǒng)的正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)的，也有考慮稍微復(fù)雜的游擊戰(zhàn)爭(zhēng)的，以及雙方分別使用正規(guī)部隊(duì)和游擊部隊(duì)的所謂混合戰(zhàn)爭(zhēng)的。1.2問題分析戰(zhàn)爭(zhēng)的

3、輸贏通常正比于參加戰(zhàn)爭(zhēng)的軍隊(duì)數(shù)量，軍隊(duì)數(shù)量因戰(zhàn)斗減員和非戰(zhàn)斗減員而減少，又由后備力量的增援而增加；戰(zhàn)斗力即殺傷對(duì)方的能力，則與射擊率（單位時(shí)間的射擊次數(shù)）、射擊命中率以及戰(zhàn)爭(zhēng)的類型（正規(guī)戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)）等有關(guān)，這些模型當(dāng)然沒有考慮交戰(zhàn)雙方的政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等因素，而僅靠戰(zhàn)場(chǎng)上兵力的優(yōu)劣是很難估計(jì)戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)的，所以我們認(rèn)為用這些模型判斷整個(gè)戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局是不可能的，但是對(duì)于局部戰(zhàn)役來說還有參考價(jià)值。更重要的是，建模的思路和方法為我們借助數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中的實(shí)際問題提供了可以借鑒的示例。1.3符號(hào)說明x(t)表示甲方t時(shí)刻的兵力y(t)表示乙方t時(shí)刻的兵力f(x,y)表示甲方戰(zhàn)斗減員率g(x,y)表

4、示乙方戰(zhàn)斗減員率ax表示甲方非戰(zhàn)斗減員率0y表示乙方非戰(zhàn)斗減員率u(t)表示甲方t時(shí)刻的增員率v(t)表示乙方t時(shí)刻的增員率2建立模型2.1正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)甲乙雙方都用正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)，作戰(zhàn)的雙方擺好隊(duì)型，堂堂正正開戰(zhàn)。2.1.1模型假設(shè)甲方士兵公開活動(dòng)，處于乙方每一個(gè)士兵的監(jiān)視和殺傷范圍之內(nèi)，一旦甲方某個(gè)士兵被殺傷，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，所以甲方的戰(zhàn)斗減員率只與乙方兵力有關(guān)，可以簡(jiǎn)單地設(shè)f與y成正比，即f=ay,a表示乙方平均每個(gè)士兵對(duì)甲方士兵的殺傷率(單位時(shí)間的殺傷數(shù))，稱乙方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)，a可以進(jìn)一步分解為a=rp，其中r是乙方y(tǒng)yy的射擊率(每個(gè)士兵單位時(shí)間的射擊次數(shù))，p是每次射擊

5、的命中率。y類似地有g(shù)=bx，且甲方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)b=rP,r,p是甲方的射擊率和命中率xxxx2.1.2建立模型根據(jù)甲乙雙方的減員率，可建立雙方兵力變化的模型。得方程為：dx(1)=-ay-ax+u(t)dtdy=-bx-by+v(t)dt在分析戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局時(shí)忽略非戰(zhàn)斗減員一項(xiàng)(與戰(zhàn)斗減員相比，這項(xiàng)很小)，并且假設(shè)雙方都沒有增援，記雙方的初始兵力分別是x,y,方程(1)簡(jiǎn)化為00數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院課程設(shè)計(jì)報(bào)告第3頁(yè)dx=-aydt(2)(3)(4)(5)dy=-bxdtx(0)=x,y(0)=y由方程(2)可得其解為由初始條件，有如圖：00dy=bxdxayk=ay2-bx2圖2.1正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)中數(shù)學(xué)模

6、型的函數(shù)圖形ay2-bx2=k由圖可以看出如果k0，這就是說存在使x(勺)=0,叫=瞪，即當(dāng)甲方兵力為零時(shí)乙方兵力為正值，表明乙方獲勝，同理可知，kb=工(6)xarp0yy(6)式說明雙方初始兵力之比y0/x0以平方關(guān)系影響著戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局，例如若乙方兵力增加到原來的2倍(甲方不變)，則影響戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局的能力增加到4倍，或者說，若甲方的戰(zhàn)斗力譬如射擊率r增加到原來的4倍(p,r,p均不變)，那么為了與此相抗衡，乙方只須xxyy將初始兵力y0增加到原來的2倍，由于這個(gè)原因正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型稱為平方律模型。2.1.3伊拉克戰(zhàn)爭(zhēng)中的正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)從2003年3月19日開始的伊拉克戰(zhàn)爭(zhēng)，可以分為兩個(gè)階段：第一個(gè)階段：3

7、月19日到4月25日，這可看成正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)；第二個(gè)階段，應(yīng)是從那以后到結(jié)束。r數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院課程設(shè)計(jì)報(bào)告第 頁(yè)第一階段，3月19日到4月25日，這個(gè)階段可看成正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，盡管也有游擊戰(zhàn)，但主要的還是正規(guī)戰(zhàn)。下表是美軍的美軍傷亡人數(shù)。表2.1美軍傷亡人數(shù)日期3.223.263.284.24.54.74.104.124.144.164.194.24人數(shù)22729416081101107117123128132到4月24日，美軍的戰(zhàn)斗減員為111人，非戰(zhàn)斗減員為21人，平均每日戰(zhàn)斗減員約為3人，美軍投入戰(zhàn)斗的部隊(duì)約為15萬。伊拉克方面沒有傷亡報(bào)告，估計(jì)約為300人/天。此外美國(guó)大量使用精確制導(dǎo)炸藥，命率和

8、威力大大超越伊拉克使用的普通炸藥，伊拉克投入的兵力實(shí)際約為40萬左右。同時(shí)，由于作戰(zhàn)的時(shí)間不長(zhǎng)，美國(guó)支援的部隊(duì)沒有趕上戰(zhàn)斗；所以不考慮支援。將這些代入模型(2)：TOC o 1-5 h zI、dx訂-ay HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 空=-bxIdtIx(0)=x,y(0)=yI00其中，x=150000，y=400000；a=3/400000，b=300/150000=0.002。00關(guān)于a，b的說明：因?yàn)閭龅娜藬?shù)和總的人數(shù)相比十分小，所以，在計(jì)算參數(shù)時(shí)基本參戰(zhàn)人數(shù)看成不變。為便于計(jì)算，估計(jì)時(shí)，采用的是平均戰(zhàn)斗死亡人數(shù)。(2)的解為：

9、k=ay2-bx2(8)00將初始值代入，得：K=-43800000由于這個(gè)數(shù)據(jù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0，因此美軍獲勝是毫無疑問的。另一個(gè)原因美軍使用了許多非戰(zhàn)斗手段，從海灣戰(zhàn)爭(zhēng)以來美國(guó)一直對(duì)伊拉克經(jīng)濟(jì)制裁，政治孤立，全面封鎖。在長(zhǎng)達(dá)十二年的封鎖中伊拉克經(jīng)濟(jì)低迷，軍備落后，再也不是兩伊戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期的伊拉克了。同時(shí)在戰(zhàn)爭(zhēng)期間美國(guó)隊(duì)伊拉克恩威并致，使伊拉克的軍隊(duì)放棄抵抗，使戰(zhàn)爭(zhēng)提前結(jié)束。2.2游擊戰(zhàn)爭(zhēng)雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)。2.2.1模型假設(shè)甲方士兵在乙方士兵看不到的某個(gè)面積為s的隱蔽區(qū)域內(nèi)活動(dòng)，乙方士兵不是向甲方x士兵開火，而是這個(gè)隱蔽區(qū)域射擊，并且不知道殺傷情況，這時(shí)甲方戰(zhàn)斗減員率不僅與乙方兵力有關(guān)，而且隨著甲方

10、兵力的增加而增加，因?yàn)樵谝粋€(gè)有限區(qū)域內(nèi)，士兵越多，被殺傷的就越多，這樣可以簡(jiǎn)單地假設(shè)fcxy，且乙方戰(zhàn)斗有效系數(shù)c可表為：:=rp=r九,yyysx其中r仍為射擊率，而命中率ypy等于乙方一次射擊的有效面積s與甲方活動(dòng)面積s之比。ryx類似地有g(shù)=dxy,d=rp=r九。xxxsy2.2.2建立模型這個(gè)模型中方程(1)化為：Idx/、I=-cxy-ax+u(t)IdtI普=-dxy-by+v(t)(9)忽略ax,by，并令u=v=0，在初始條件下(9)式為:dx=-xcydtdy=-=-dxydtx(0)=x,y(0)=y00(10)與正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型中方程(2)的解法類似，方程(10)的解為cy

11、-dx=mm=cy-dx00(12)式確定的相軌線是直線族，如下圖，(11)(12)可知m0時(shí)乙方勝,m0,所以，美軍獲勝。由(15)得：y=、宇(17)結(jié)束戰(zhàn)爭(zhēng)通常有兩種方式：是敵人全部被消滅，此時(shí)y=弓=118996,美軍損失1004人,時(shí)間大于一年8個(gè)月。二是敵人被消滅大部(考慮60%),這樣的話，大約1年時(shí)間可以解決，美軍損失601人。但是，如果美軍在伊拉克的行動(dòng)引起伊拉克人民的強(qiáng)烈不滿而導(dǎo)致一場(chǎng)人民起義的話，結(jié)果可能會(huì)大不一樣。伊拉克的人口大約有幾千萬，其中什葉派穆斯林占將近60%，這些人在薩達(dá)姆時(shí)代是受打擊的。因此伊拉克戰(zhàn)爭(zhēng)開始時(shí)，他們與美軍合作。但時(shí)間一長(zhǎng),他們會(huì)中立或同情其他反

12、抗美軍的人。而其他40%則大部會(huì)采取不同方式與美軍對(duì)抗。如果有多于60萬的伊拉克人起義，而美軍不增加兵力的話，由(15)，有nv0。也就是說，美軍會(huì)失敗。盡管美國(guó)的壓力會(huì)持續(xù)不斷，伊拉克的傷亡會(huì)逐漸增高，但伊拉克的游擊隊(duì)數(shù)目是源源不斷的，可以認(rèn)為兵力基本是固定不變的。不妨設(shè)游擊隊(duì)的數(shù)目大致不變，即dx/dt=0。于是，方程(13)變?yōu)閨竺=0IdtTOC o 1-5 h zidy=-bx(18)dtx(0)=x,y(0)=y|00解為： HYPERLINK l bookmark106 o Current Document y二-bxt+yx二x00；0表明美軍的傷亡呈線性，時(shí)間一長(zhǎng)，傷亡越大，

13、最后使得美軍無法承受。2003年3月美國(guó)開打伊拉克戰(zhàn)爭(zhēng)，共有4869名美軍陣亡，4403名美軍死于事故。美國(guó)總統(tǒng)奧巴馬于2011年12月21日在白宮宣布，將于2011年12月31日前撤回全部駐伊拉克美軍，正式終結(jié)持續(xù)近9年時(shí)間的伊拉克戰(zhàn)爭(zhēng)。結(jié)論通過以上我們可以看到戰(zhàn)爭(zhēng)的成敗在數(shù)學(xué)上主要取決于作戰(zhàn)雙方的兵力，以及武器裝備的先進(jìn)程度。在正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)中雙方初始兵力之比y/x以平方關(guān)系影響著戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局，例00如若乙方兵力增加到原來的2倍(甲方不變)，則影響戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局的能力增加到4倍，或者說，若甲方的戰(zhàn)斗力譬如射擊率r增加到原來的4倍(p,r,p均不變)，那么為了與此xxyy相抗衡，乙方只須將初始兵力y增加到

14、原來的2倍。而在混合戰(zhàn)中，在同等火力強(qiáng)度的情0況下正規(guī)軍一方要想取得勝利兵力至少是游擊隊(duì)一方的十倍。還可以看出一個(gè)世界霸主去打敗一個(gè)地區(qū)強(qiáng)國(guó)是輕而易舉的，然而從長(zhǎng)遠(yuǎn)看一個(gè)入侵者不管有多強(qiáng)大，只要掀起戰(zhàn)爭(zhēng)都會(huì)付出巨大的代價(jià)。關(guān)于伊拉克戰(zhàn)爭(zhēng)，似乎是美國(guó)勝利了，但是也有人說美國(guó)失敗了。從軍事角度看，美國(guó)已經(jīng)打敗了薩達(dá)姆，最初的目的達(dá)到了，因而美國(guó)算是勝利了。但是從戰(zhàn)略全局，從政治、軍事、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、道義等綜合角度看，美國(guó)其實(shí)在很大程度上失敗了。美國(guó)7630億美元戰(zhàn)爭(zhēng)開支，5.6萬名軍人受傷。伊拉克100000名士兵傷亡，游擊隊(duì)陣亡更是不計(jì)其數(shù)，上百萬平民的死亡，480萬難民無家可歸。十年過去了，伊拉克戰(zhàn)爭(zhēng)逐漸地淡出了人們的視野，但傷口還在，還在流血，永遠(yuǎn)