1、3.3 二維隨機變量函數的分布一、離散型二、連續型（和的分布）下頁第1頁，共16頁。例1已知(X,Y) 的聯合分布律,-1, 0, 2, 3, 5, 且求 Z = X+Y的概率分布.解： Z = X + Y 的所有可能取值為PZ= -1=PX+Y= -1=PX= -1,Y=0=1/10 ,PZ= 0=PX+Y=0=PX= -1,Y=1=1/20 ,PZ= 2=PX+Y=2=PX= -1,Y=3+PX=2,Y=0= 3/20+3/10 ,P 1/10 1/20 9/20 0 4/10Z -1 0 2 3 5 下頁一、離散型同理， PZ= 3= 0， PZ= 5= 4/20 .所求分布律為 1/1

2、0 1/20 3/20 3/10 0 4/10-1 2 0 1 3XY第2頁，共16頁。 例2. 設隨機變量X與Y相互獨立，且分別服從參數為l1與l2 的Possion分布，令Z=X+Y，試求Z的分布律. 解：由隨機變量X與Y的取值都是 0,1,2, 可知Z=X+Y的取值也是 0,1,2, 對于n= 0,1,2, 有 即 Z=X+Y服從參數為l1+l2的Possion分布.下頁第3頁，共16頁。x+y=z由對稱性可得下頁二、連續型問題：設(X,Y)的聯合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).根據分布函數定義有對z求導，得Z的概率密度fZ(z)為第4頁，共16頁。下頁問題：設(X

3、,Y)的聯合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).Z的概率密度fZ(z)為二、連續型卷積公式若X, Y相互獨立，則 f(x,y) =fX(x) fY(y)，代入上式得第5頁，共16頁。 例3設X和Y是兩個互相獨立的隨機變量，且XN(0,1),YN(0,1)，求Z=X+Y的概率密度.解：由于X,Y互相獨立，由卷積公式得下頁卷積公式從而有，Z=X+YN(0,2) .第6頁，共16頁。例 4.解:下頁第7頁，共16頁。下頁第8頁，共16頁。下頁方法小結： 確定聯合密度非零時的積分變量的定義域： 確定fX(x), fY(z-x)各自的非零域A和B； A和B的交集即為所求. 確定積分變量

4、的積分限： 將A和B的交集映射成平面坐標系中的區域； 根據(變常數)z的變化，確定x的變化范圍.記憶要點： 困難不是難計算，關鍵確定積分限； 邊緣密度非零域，交集映射便可見.第9頁，共16頁。例5.解:下頁第10頁，共16頁。下頁第11頁，共16頁。解：用分布函數法例6.設X,Y相互獨立 , fX(x)和fY(y)如下, 求Z=X+Y的密度函數.現考慮f(x,y)0的區域與x+y z的取值，分四種情況計算.當z2時，Fz(z)=1；下頁當0z1時，第12頁，共16頁。現考慮f(x,y)0的區域與x+y z的取值，分四種情況計算.當10的區域與x+y z的取值，分四種情況計算.下頁解：用分布函數法例6.設X,Y相互獨立 , fX(x)和fY(y)如下, 求Z=X+Y的密度函數.第14頁，共16頁。作業： 80頁 18補充題：設X,Y相互獨立，fX(x)和fY(y)如下，用卷積公式求Z=X+Y的概率密度函數.結束第