1、二元函數概念、極限、連續北京師范大學珠海分校2004.12.23歐陽順湘改編自網上材料第1頁，共51頁。2 多元函數的極限與連續一、多元函數的概念二、多元函數的極限三、多元函數的連續性第2頁，共51頁。（1） (直線上的)鄰域回憶第3頁，共51頁。（1）（平面上的）鄰域第4頁，共51頁。（2）區間開區間閉區間開區間與閉區間的區別第5頁，共51頁。（2）區域例如，即為開集內點.內點：開集：開集.第6頁，共51頁。邊界點：邊界點.外點：第7頁，共51頁。第8頁，共51頁。常見集合第9頁，共51頁。1維、2 維空間實數 x一一對應數軸點. 數組 (x, y)實數全體表示直線(一維空間)一一對應平面點

2、(x, y) 全體表示平面(二維空間)第10頁，共51頁。 A與B的卡氏積（Cartesian Product）卡氏集 第11頁，共51頁。無邊和有邊的矩形（長方形）區域第12頁，共51頁。連通：連通的.第13頁，共51頁。第14頁，共51頁。開區域：連通的開集稱為區域或開區域例如，例如，閉區域：第15頁，共51頁。常見開區域、閉區域第16頁，共51頁。常見開區域、閉區域第17頁，共51頁。推廣到多維第18頁，共51頁。n 維空間實數 x一一對應數軸點. 數組 (x, y)實數全體表示直線(一維空間)一一對應平面點(x, y) 全體表示平面(二維空間)數組 (x, y, z)一一對應空間點(x

3、, y, z) 全體表示空間(三維空間)推廣：n 維數組 (x1, x2, , xn)全體稱為 n 維空間，記為第19頁，共51頁。n 維空間中兩點間距離公式 設兩點為特殊地，當 n =1, 2, 3時，便為數軸、平面、空間兩 點間的距離n 維空間中鄰域概念：區域、內點、邊界點、區域、聚點等概念也可定義第20頁，共51頁。對于點集 E，如果存在正數 K，使一切點 PE 與某一點 A 間的距離 |AP| 不超過 K，即對于一切點 PE 成立，則稱 E 為有界點集。否則稱為無界點集.有界閉區域；無界開區域例如，第21頁，共51頁。二元函數定義問題提出第22頁，共51頁。一 問題的提出觀察幾個例子

4、例1 理想氣體的體積V與溫度T成正比，而與壓強P成反比，它們之間的關系，由下面的公式給出（其中R是比例常數） 例2 三角形的面積A依賴于三角形的兩條邊b和c,以及這兩邊的夾角C，它們之間的關系，由下面的公式給出這兩個例子的實質是依賴于多個變量的函數關系。第23頁，共51頁。（5）一元函數的定義回憶第24頁，共51頁。類似地可定義三元及三元以上函數點集 D 定義域， 值域.x、y 自變量，z 因變量.函數的兩個要素:定義域、對應法則.第25頁，共51頁。與一元函數相類似，對于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點集.例1 求 的定義域解所求定義域為第26頁，共51頁。（6）二元函

5、數 的圖形（如下頁圖）第27頁，共51頁。二元函數的圖形通常是一張曲面.第28頁，共51頁。y.oxz.旋轉拋物面第29頁，共51頁。第30頁，共51頁。二元函數的極限第31頁，共51頁。二元函數的極限的直觀定義 設函數 z=f(x,y) 在點 的某空心領域內有定義. 如果當點 P(x,y) 無限趨近于 時，函數 f(x,y) 無限趨近與一個常數 A，則稱當 P(x,y) 時，f(x,y) 以 A 為極限，記作第32頁，共51頁。二元函數的極限的記號 第33頁，共51頁。二元函數的極限的數學定義(epsilon-delta) 用數學語言將下面的語句嚴格化第34頁，共51頁。例2 求證 證當 時

6、，原結論成立第35頁，共51頁。說明：（1）定義中 的方式是任意的；（2）二元函數的極限也叫二重極限（3）二元函數的極限運算法則與一元函數類似（4）二重極限的幾何意義： 0，P0 的去心 鄰域 U(P0, )。在U(P0, )內，函數的圖形總在平面及之間。第36頁，共51頁。注意： 是指 P 以任何方式趨于P0 .一元中多元中第37頁，共51頁。確定極限不存在的方法：第38頁，共51頁。例3 設第39頁，共51頁。例3 設解但取其值隨 k 的不同而變化。不存在故第40頁，共51頁。例3 設解 教材中解法第41頁，共51頁。例4 求解第42頁，共51頁。二元函數的連續性第43頁，共51頁。二元函

7、數的連續性則稱函數 在點 處連續.第44頁，共51頁。二元函數的連續性定義3第45頁，共51頁。函數在區域上的連續性如果函數 f(x,y) 在其定義域 D 內的每一點都連續，則稱函數 f(x,y) 在 D 上連續. 直觀上，區域D上的二元連續函數的圖形是區域 D 上的一張無孔無縫的連續曲面第46頁，共51頁。函數的間斷和間斷點如果函數 f(x,y) 在點 (x_0, y_0) 處不連續，就稱函數在點 (x_0,y_0) 處間斷，點(x_0, y_0) 稱為間斷點。第47頁，共51頁。例如，因此，第48頁，共51頁。閉區域上連續函數的性質在有界閉區域D上的多元連續函數，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次在有界閉區域D上的多元連續函數，如果在D上取得兩個不同的函數值，則它在D上取得介于這兩值之間的