1、2021-2022學年湖南省永州市高一下學期期末數學試題一、單選題1復數的共軛復數是（）ABCDA【分析】根據共軛復數的概念判斷即可；【詳解】解：復數的共軛復數是.故選：A2已知，則（）ABCDB【分析】首先求出的坐標，再根據數量積的坐標運算計算可得；【詳解】解：因為，所以， 所以.故選：B3的內角，的對邊分別為a，b，c，若，則（）ABCDA【分析】直接利用正弦定理計算可得；【詳解】解：因為，由正弦定理，即，解得.故選：A4已知某平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖為如圖所示的三角形，其中，則該平面圖形的面積為（）AB2CD4D【分析】作出原圖形，且得出原圖形中的線段長度，由三角形的面積公式可求

2、得答案.【詳解】解：作出原圖形如下圖所示：則，所以該平面圖形的面積為，故選：D.5在中，則（）ABCDB【分析】在中，根據求得，再利用余弦定理即可得出答案.【詳解】解：在中，所以，所以.故選：B.6已知一組數據為30，40，50，50，55，60，70，80，90，則其極差、第50百分位數和眾數的大小關系是（）A極差第50百分位數眾數B眾數第50百分位數極差C極差眾數第50百分位數D極差第50百分位數眾數A【分析】分別算出極差，第50百分位數和眾數即可比較大小.【詳解】極差為，因為%，所以第5個數55即為第50百分位數，又眾數為50，所以它們大小關系是極差第50百分位數眾數.故選:A.7九章算

3、術中，將底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬. 如圖所示，在四棱柱中，棱錐即為陽馬，已知，則陽馬的表面積為（）ABCDB【分析】結合線面垂直的判定與性質可得到，均為直角三角形，分別求得各面的面積，加和即可得到所求的陽馬的表面積.【詳解】由題意知：平面，平面，又，平面，平面，平面，；同理可得：；則，均為直角三角形，陽馬的表面積.故選：B.8已知，點是邊上的一點，則的最小值為（）ABC4D16C【分析】設，則，則由已知可得，然后化簡，化簡后可利用基本不等式求得結果【詳解】在中，設，則，因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為16，所

4、以的最小值為4，故選：C二、多選題9若復數，其中是虛數單位，則下列說法正確的是（）A在復平面內對應的點位于第三象限B若是純虛數，那么CD若、在復平面內對應的向量分別為、（為坐標原點），則BC【分析】利用復數的幾何意義可判斷AD選項；利用復數的概念可判斷B選項；利用復數的乘法可判斷C選項.【詳解】對于A選項，在復平面內對應的點（-3,2）位于第二象限，A錯；對于B選項，為純虛數，則，可得，B對；對于C選項，C對；對于D選項，由已知可得，則，所以，D錯.故選：BC.10在下列關于概率的命題中，正確的有（）A若事件A，B滿足，則A，B為對立事件B若事件A與B是互斥事件，則A與也是互斥事件C若事件A與

5、B是相互獨立事件，則A與也是相互獨立事件D若事件A，B滿足，則A，B相互獨立CD【分析】對于A：舉反例判斷命題不成立；對于B：由互斥事件的定義直接判斷；對于C：由相互獨立事件的性質直接判斷；對于D：利用公式法直接判斷.【詳解】對于A：若事件A、B不互斥，但是恰好，滿足，但是A，B不是對立事件.故A錯誤；對于B：由互斥事件的定義可知，事件A、B互斥，但是A與也是互斥事件不成立.故B錯誤；對于C：由相互獨立事件的性質可知：若事件A與B是相互獨立事件，則A與也是相互獨立事件.故C正確；對于D：因為事件A，B滿足，所以，所以A，B相互獨立.故選：CD11的內角A，的對邊分別為a，b，c，下列說法正確的

6、是 （）A若，則B若，則此三角形為等腰三角形C若，則解此三角形必有兩解D若是銳角三角形，則AD【分析】由正弦定理可求A，然后可判斷A；根據角的范圍直接求解可判斷B；正弦定理直接求解可判斷C；利用誘導公式和正弦函數單調性可判斷D.【詳解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因為，所以，A正確；因為，且角2A，2最多有一個大于，所以由可知，或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；由正弦定理可得，因為，所以，故此三角形有唯一解，C錯誤；因為是銳角三角形，所以，即，又在上單調遞增，所以，同理，所以，D正確.故選：AD12如圖，在棱長為的正方體中，點為線段上的動點，則（）A三棱錐的體積為定值B過作

7、直線，則C過，三點的平面截此正方體所得的截面圖形可能為五邊形D三棱錐的外接球的半徑的取值范圍是ABD【分析】對于A，連接，可得平面平面，然后進行判斷即可，對于B，連接，可證得，從而可得結論，對于C，當點為的中點時，過，三點的平面為平面，然后向線段兩端點運動再進行判斷即可，對于D，連接，交于點，過作平面交于，則球心一定在上，當點與重合時，可求出的最小值，當點與或重合時，可求出的最大值【詳解】對于A，連接，則，因為平面，平面，所以平面平面，所以動點到平面的距離為定值，因為的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以A正確，對于B，連接，則正方體的性質可知，因為，所以平面，因為平面，所以，因為，所以，

8、所以B正確，對于C，當點為的中點時，過，三點的平面為平面，當點從的中點向運動時，截面過平面，點從的中點向運動時，截面過平面，則過，三點的平面與正方體最多與正方體的四個交，所以截面最多為四邊形，所以C錯誤， 對于D，連接，交于點，可得為的中點，所以在中，到各頂點的距離相等，過作平面交于，則球心一定在上，且，設半徑為，則題意可得，當點與重合時，得，當點與或重合時，所以，此時最大，所以三棱錐的外接球的半徑的取值范圍是，所以D正確，故選：ABD三、填空題13在中國共產主義青年團建團100周年之際，某高中學校計劃選派60名團員參加“文明勸導”志愿活動，高一、高二、高三年級的團員人數分別為100，200，

9、300，若按分層抽樣的方法選派，則高一年級需要選派的人數為_10【分析】按照分層抽樣規則計算可得；【詳解】解：依題意可知高一年級需要選派的人數為人.故14在直角三角形中，將此三角形繞直線旋轉一周，所得幾何體的體積為_【分析】由題可知得到的幾何體是兩個同底圓錐的組合體,由體積公式可得答案.【詳解】將三角形繞直線旋轉一周得到的幾何體是兩個同底圓錐的組合體, 在直角三角形中，,所以圓錐底面圓的半徑為1，兩個圓錐的高的和為，所以幾何體的體積為,故15定義平面非零向量之間的一種運算“”，記（其中是非零向量，的夾角）若，均為單位向量，且，則_【分析】由數量積的定義可得，的夾角，利用新定義和向量模長的計算公

10、式以及數量積的定義可得答案【詳解】，且，又，則；，故16在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的最小值為_【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，再利用正弦定理及三角變換可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】，又，即，或(舍去)，當且僅當，即時取等號，故答案為.四、解答題17在平行四邊形中，為中點，記，(1)試用，表示；(2)若，求與的夾角(1)(2)90【分析】（1）由向量的加法法則和向量的線性運算可求得答案；（2）由已知求得，再運用向量的夾角運算求得答案.【詳解】(1)解：由題可知；(2)解：因為，記與的夾角為，則 ，所以與的夾角為.18中國神舟十三號載人飛船于2022年4月16日圓

11、滿完成飛行任務，神州十三號的成功又一次激發了廣大中學生對于航天的極大興趣. 某校舉行了一次主題為“航天夢，強國夢”的知識競賽活動，用簡單隨機抽樣的方法，在全校選取100名同學，按年齡大小分為大齡組甲和小齡組乙兩組，每組各50人，所有學生競賽成績均在60100之間，甲組競賽成績的頻率分布表和乙組競賽成績的頻率分布直方圖，如下圖所示組號組頻數頻率第一組50.1第二組ab第三組150.3第四組 100.2(1)求a，b，x的值；(2)若以平均分為依據確定小組成績的優劣，你認為哪個小組成績更優？請說明理由（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；(3)若成績不低于90分的同學稱為“航天追夢者”，以選

12、取的100名同學作為樣本，試估計該校2000名學生中“航天追夢者”的人數(1)，(2)甲組成績更優，理由見解析(3)300人【分析】（1）根據頻率分布表和頻率分布直方圖可得答案；（2）分別算出兩組的平均分作比較即可；（3）根據所給數據算出甲、乙兩組中“航天追夢者”的頻率，然后可算出答案.【詳解】(1)由甲組的頻率分布表可知， ，由乙組的頻率分布直方圖可知，(2)記甲組平均分為，記乙組平均分為，因為 ，即甲組成績更優.(3)由頻率分布表可知，甲組中“航天追夢者”的人數為10，乙組中“航天追夢者”的人數為，甲、乙兩組中“航天追夢者”的頻率，甲、乙組中“航天追夢者”的人數為.19如圖1，在邊長為的菱

13、形中，為線段的中點；將沿折起到的位置，使得平面平面，連接，如圖2(1)證明：；(2)求點到平面的距離(1)證明見解析(2)【分析】(1)由已知面面垂直證得線面垂直，從而證得線線垂直.(2)利用等體積法求出點到平面的距離.【詳解】(1)在圖1中連接，為等邊三角形又為的中點即在圖2中，平面平面，交線為，平面平面平面(2)在圖2中，連接，平面，平面又，平面平面，則即，均為直角三角形在中，設點到平面的距離為故即點到平面的距離為20某品牌電腦售后保修期為一年，根據1000臺電腦的維修記錄資料（保修期內所有電腦維修次數均不超2次），這1000臺電腦在保修期內需要維修1次的有300臺，需要維修2次的占以這1

14、000臺電腦維修次數的頻率代替1臺電腦維修次數的概率(1)求1臺電腦保修期內不需要維修的概率；(2)若某人購買2臺這個品牌的電腦，2臺電腦在保修期內是否需要維修互不影響，如果2臺電腦保修期內需要維修的次數總和不超過2次的概率大于0.8，則認為該品牌電腦“值得信賴”，請判斷該品牌電腦是否“值得信賴”，并說明理由(1)0.5(2)認為該品牌“值得信賴”，理由見解析【分析】（1）根據對立事件的概率公式計算可得；（2）利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算可得；【詳解】(1)解：（1）由題意可知該品牌電腦保修期內維修1次的概率為：，該品牌電腦保修期內維修2次的概率為：，該品牌電腦一年不需要維修的概率

15、為.(2)解：品牌表示第1臺電腦在保修期內維修次的事件（）品牌表示第2臺電腦在保修期內維修次的事件（）與相互獨立，都互斥2臺電腦保修期內需要維修的次數總和為0的概率： 2臺電腦保修期內需要維修的次數總和為1的概率：2臺電腦保修期內需要維修的次數總和為2的概率：2臺電腦保修期內需要維修的次數總和不超過2次的概率所以認為該品牌“值得信賴”.21如圖所示，在四棱錐中，已知底面是邊長為6的菱形，為線段上的點，且(1)證明：平面平面；(2)為線段上的一點，且平面，求的值及直線與平面的夾角(1)證明見解析(2)，【分析】（1）設與相交于點，連接，依題意可得、，即可得到平面，從而得證；（2）在線段上作點，過點作，交于，連接，由線面平行的性質及三角形相似求出，過作，交于點，連接，則為直線與平面的夾角，再根據線段關系求出角即可；【詳解】(1)證明：設與相交于點，連接，四邊形為菱形，又，平面，則平面，平面，平面平面.(2)解：在線段上作點，過點作，交于，連接，則，故，四點共面，平面，平面，平面平面，故四邊形為平行四邊形，則， ， ，在中，在（1）知，又，平面，平面，過作，交于點，故且，在中，連接，在中，平面，則為直線與平面的夾角，在中，直線與平面的夾角為.22如圖，設中角A，所對的邊分別為a，b，c，為的中點，已知，(1)若，求；(2)點，分別為邊，上的動點，線段交于，且，求的最小值(1)60