1、第04練 正弦定理【知識梳理】知識點一 正弦定理【知識點的知識】1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內容2R （ R是ABC外接圓半徑）a2b2+c22bccosA，b2a2+c22accosB，c2a2+b22abcosC變形形式a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sinA，sinB，sinC；a：b：csinA：sinB：sinC；asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosA，cosB，cosC解決三角形的問題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他

2、兩角在ABC中，已知a，b和角A時，解的情況 A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absinAbsinAababab解的個數一解兩解一解一解由上表可知，當A為銳角時，absinA，無解當A為鈍角或直角時，ab，無解2、三角形常用面積公式1Saha（ha表示邊a上的高）；2SabsinCacsinBbcsinA3Sr（a+b+c）（r為內切圓半徑）【正余弦定理的應用】1、解直角三角形的基本元素2、判斷三角形的形狀3、解決與面積有關的問題4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距

3、離問題，用正弦定理就可解決一選擇題（共8小題）1在中，“”是“是銳角三角形”的A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【分析】利用正弦定理、余弦定理即可判斷出，進而判斷出結論【解答】解：在中，為銳角，但是不一定是銳角三角形，反之成立在中，是是銳角三角形的必要不充分條件，故選：【點評】本題考查了充要條件的判定方法、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題2的內角，的對邊分別為，已知，則ABCD【分析】利用正弦定理化邊為角，再結合同角三角函數的商數關系，得解【解答】解：由正弦定理及，知，因為，所以，即，又，所以故選：【點評】本題考查解三角形中正弦定理的應用，

4、熟練掌握邊化角的思想，同角三角函數的商數關系是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題3在中，角、的對邊分別是、，若，則等于ABC或D或【分析】利用正弦定理求得，再根據的取值范圍和“大邊對大角”，即可得解【解答】解：由正弦定理知，所以，因為，且，所以，且，所以或故選：【點評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理是解題的關鍵，注意多解問題，考查運算求解能力，屬于基礎題4在中，內角，所對的邊分別是，若，則ABC2D【分析】根據已知條件，結合正弦定理，即可求解【解答】解：由正弦定理可得，故選：【點評】本題主要考查正弦定理的應用，屬于基礎題5在中，已知，則角ABCD或【分析】根據已知條件，結合正弦定理，

5、即可求解【解答】解：，即，故選：【點評】本題主要考查正弦定理，屬于基礎題6在中，若，則ABCD【分析】根據已知條件，結合正弦定理，即可求解【解答】解：，則故選：【點評】本題主要考查正弦定理，屬于基礎題7在中，則ABCD【分析】由已知利用正弦定理即可求解【解答】解：在中，則由正弦定理，可得故選：【點評】本題考查了正弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題8在中，已知，則角為AB或150C或D【分析】根據正弦定理，即可得解【解答】解：由正弦定理知，所以，所以或，經檢驗，均符合題意故選：【點評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理是解題的關鍵，注意多解問題，考查運算求解能力，屬于基礎題二多選題（共5小題）

6、9在中，內角，所對的邊分別為，則下列結論正確的有A若，則B若，則一定為等腰三角形C若，則一定為直角三角形D若，則一定為銳角三角形【分析】選項中，結合“大角對大邊”與正弦定理，可判斷；選項中，利用正弦定理化邊為角，再結合二倍角公式，可判斷；選項中，利用余弦定理化角為邊，再結合勾股定理，可判斷；選項中，由余弦定理可得角為銳角，但角，不確定【解答】解：選項中，由，可得，根據正弦定理得，即選項正確；選項中，結合正弦定理及，知，所以，所以或，即或，所以為等腰或直角三角形，即選項錯誤；選項中，由余弦定理及，知，化簡得，即選項正確；選項中，由余弦定理知，所以角為銳角，但角，不確定，所以選項錯誤故選：【點評】

7、本題主要考查三角形形狀的判斷，熟練掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解題的關鍵，考查轉化思想，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題10中，角、所對的邊為，下列敘述正確的是A若，則B若，則有兩個解C若，則是等腰三角形D若，則【分析】選項，結合正弦定理與“大邊對大角”，可判斷；選項，由，知有兩個解；選項，利用正弦定理化邊為角，再結合二倍角公式，得解；選項，利用正弦定理化邊為角，再結合兩角和的正弦公式，化簡運算，可得，然后根據余弦函數的單調性，得解【解答】解：選項，由正弦定理知，因為，所以，所以，即選項正確；選項，所以有兩個解，即選項正確；選項，由正弦定理及，知，即，所以或，所以或，故為等腰或直角三

8、角形，即選項錯誤；選項，由正弦定理及知，又，所以，因為，所以，又，所以，即選項錯誤故選：【點評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，二倍角公式，兩角和的正弦公式等是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題11若的內角，所對的邊分別為，且滿足，則下列結論正確的是A角一定為銳角BCD【分析】直接利用三角函數關系式的恒等變換和正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應用求出結果【解答】解：由于，利用三角函數關系式的變換：，即：，整理得：，所以；利用正弦定理：，利用余弦定理：，由于，故，整理得，故選：【點評】本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應用，主要

9、考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題12在中，下列命題錯誤的是A若，則B若，則一定為等腰三角形C若，則一定為等腰三角形D若三角形的三邊滿足，則該三角形的最大角為鈍角【分析】根據正弦定理，余弦定理以及三角函數恒等變換即可逐項求解【解答】解：對于選項，由正弦定理結合大角對大邊得：，故選項正確；對于選項，由于，又， 是三角形的內角，所以，或，即或，因此 可能為等腰三角形或直角三角形，故選項錯誤；對于選項，若中，可得，不是等腰三角形，故選項錯誤；對于選項，因為，所以，可得為銳角，無法判斷三角形的最大角為鈍角，故選項錯誤故選：【點評】本題考查解三角形及其三角恒等變換等知識，考查邏輯推理和數學運算

10、的核心素養，屬于中檔題13在中，角，所對的邊分別為，且，若有二解，則的值可以是A1BCD【分析】由題意畫出圖形，可得，求出的范圍，結合選項得答案【解答】解：如圖，要使有二解，則，即，得的值可以是故選：【點評】本題考查三角形的解法，考查數形結合思想，是基礎題三填空題（共3小題）14在中，角，所對的邊分別為，且滿足，則角【分析】直接利用三角函數關系式的恒等變換和正弦定理的應用求出結果【解答】解：由于，整理得：，利用正弦定理：；由于，所以，整理得，由于，所以故答案為：【點評】本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦定理的應用，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題15中，則的周長

11、是 【分析】用正弦定理及兩角和公式計算即可【解答】解：根據題意可知，由正弦定理得：，解得，解得：，的周長故答案為：【點評】本題主要考查正弦定理及兩角和公式，熟練運用正弦定理及兩角和公式是解決本題的關鍵16已知的內角，的對邊分別為，且，點是的重心，且，則的面積為 【分析】由正弦定理可得，結合三角形的內角和定理及和角正弦公式進行化簡可求，由三角形的重心性質可知，結合向量數量積的性質可求，根據三角形的面積公式即可計算得解【解答】解：，由正弦定理可得，即，是的重心，解可得，故答案為：【點評】本題綜合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，向量的數量積的性質等知識的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想

12、，屬于中檔試題一選擇題（共2小題）17秦九韶是我國南宋數學家，其著作數書九章中的大衍求一術，三斜求積術和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻，秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，三斜求積術即已知三邊長求三角形面積的方法，用公式表示為：，其中，是的內角，的對邊已知中，則面積的最大值為ABCD【分析】由正弦定理可得，代入已知等式，結合兩角和的正弦公式，化簡可得，再代入中，根據二次函數的圖象與性質，得解【解答】解：由正弦定理及，知，所以，即，所以，故，所以，當時，取得最大值，為故選：【點評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，兩角和的正弦公式是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中

13、檔題18已知中，角，的對邊分別為，若，則的最小值為ABCD【分析】利用正弦定理邊化角，可得，再次角化邊可得，關系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值【解答】解：因為，由正弦定理得：，即，所以，則，所以，（當且僅當，即時取等號），所以的最小值為故選：【點評】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用，解題關鍵是能夠靈活應用正弦定理進行邊角互化，從而得到三角形三邊之間滿足的等量關系，將等量關系代入余弦定理，則可利用基本不等式求得最值二填空題（共3小題）19設內角，的對邊分別為，點在邊上，是的平分線，則的面積的最小值為 ，的最小值為 【分析】由，利用正弦定理化邊為角，進一步可得，求得，過點作，交于，得

14、為正三角形，設，得，寫出三角形面積，利用基本不等式求最值；，利用基本不等式求的最小值【解答】解：由，得，而，可得過點作，交于，得為正三角形，設，則，當且僅當，即時等號成立的面積的最小值為；由，當且僅當，即時等號成立的最小值為故答案為：；【點評】本題考查三角形的解法，考查正弦定理與基本不等式的應用，考查運算求解能力，是中檔題20南宋數學家秦九韶在數書九章中提出“三斜求積術”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積把以上文字寫成公式，即（其中為三角形的面積，為三角形的三邊）在斜中，分別為內角，所對的邊，若，且則此面積的最大值為

15、 【分析】由已知結合正弦定理及和差角公式進行化簡，然后結合已知三角形的面積公式進行化簡，結合二次函數的性質可求【解答】解：，即，即，又且，又，解得，當時，故答案為：【點評】本題主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式的應用，還考查了二次函數的性質，屬于中檔題21在中，角，所對的邊，滿足，則角的大小是 若邊長，求的最大值是 【分析】由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式可得，結合范圍，可求的值，利用正弦定理，三角函數恒等變換的應用可求，其中，根據正弦函數的性質即可求解其最大值【解答】解：因為，由正弦定理可得，所以，所以，又，所以，又，所以，因為，其中，所以當時，故答案為：，【點評】本題考查了正

16、弦定理，三角函數恒等變換以及正弦函數的性質的應用，考查了轉化思想和函數思想的應用，屬于中檔題一填空題（共3小題）22在中，內角，所對的邊為，點是其外接圓上的任意一點，若，則的最大值為【分析】以的中點為原點，以所在方向為軸的正方向，所在的方向為軸的正方向，建立平面直角坐標系，可求坐標，進而可求圓的方程為：，設，則可求，的坐標，進而運算即可得解【解答】解：以的中點為原點，以所在方向為軸的正方向，所在的方向為軸的正方向，建立平面直角坐標系，則：，可得外接圓的圓心為：，半徑為：，所以圓的方程為：，設，則：，所以：故答案為：【點評】本題主要考查了平面向量的運算，把幾何圖形放在適當的坐標系中，就賦予了有關

17、點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決，屬于中檔題23在中，角，的對邊分別為，若，則【分析】由題意，利用正弦定理可得，根據三角形內角和定理與三角恒等變換，求出、和的值，即可求出、和的值，再計算【解答】解：中，由正弦定理知，即，設，且，由，得；在中，可得，則，；又，兩邊都除以，得，又，為銳角，解得；同理可得，則故答案為：【點評】本題考查了解三角形與三角恒等變換應用問題，也考查了運算與求解能力，是難題24已知的內角，所對的邊為，且，若點是外一點，則當四邊形面積最大時，【分析】由已知以及正弦定理可知，化簡可得，結合的范圍可求，設，可求，在中，由余弦定理可得，利用

18、三角形面積公式，三角函數恒等變換的應用可求，其中，由，可求，進而根據同角三角函數基本關系式可求的值【解答】解：由以及正弦定理可知，即由于：，可得：，中，由于，設，則，則，在中，由余弦定理可得：，由于，則：，可得：，則，而，則，其中，則當時，四邊形的面積有最大值，由于，則此時，故，則，由于，則故四邊形面積最大時，故答案為：【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于難題二解答題（共2小題）25已知函數的圖象的一條對稱軸為直線，且此軸與函數圖象交點的縱坐標為（）求函數的單調遞增區間；（）在三角形中，兩個內角，滿足，且，求內角，所對的邊的比的值【分析】第一問需要我們根據對稱軸及最值求出函數解析式，然后利用整體法求函數的單調增區間；第二問為三角函數與解三角形的綜合題目，需要我們根據條件求出角，的值然后求解【解答】解：（），；由題意知，；所以；所以；于是；所以；令，解得；所以單調遞增區間為，；（）；，又因為，所以；由正弦定理得：【點