1、集合間的基本關系一二三四一、子集與真子集1.觀察下面實例:A=1,2,3,B=1,2,3,4,5;設A為新華中學高一(2)班全體女生組成的集合,B為這個班全體學生組成的集合;設A=x|x是兩條邊相等的三角形,B=x|x是等腰三角形;A=x|x是長方形,B=x|x是平行四邊形;A=x|x3,B=x|x2;A=x|(x+1)(x+2)=0,B=-1,-2.(1)上面的每個例子中的兩個集合,集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素嗎?提示:是.稱集合A是集合B的子集.一二三四(2)反過來,上述各對集合中,集合B中的元素都是集合A中的元素嗎?提示:兩對集合中,集合B中的元素也都是集合A中的元素(集合相

2、等);這四對集合中,集合B中有些元素不是集合A的元素.稱集合A是集合B的真子集.(3)上述集合A,B的關系能不能用圖形直觀形象地表示出來?提示:能.如圖,在數學中,我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合,這種圖稱為Venn圖.一二三四(4)Venn圖有什么要求?必須是橢圓形嗎?提示:表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線,它可以是矩形、圓、橢圓等,也可以是其他封閉曲線.(5)用Venn圖表示集合有什么優點和缺點?提示:優點在于易產生清晰的視覺印象,能直觀地表示集合中元素的構成以及集合之間的關系,缺點在于集合中元素的公共特征性質不明顯.一二三四2.填空 一二三四3.做一做(1)已知集合P=-1,0

3、,1,2,Q=-1,0,1,則()A.PQB.PQC.QPD.QP(2)已知集合A=x|-1x2,B=x|0 x1,則()A.BAB.ABC.BAD.AB(1)解析:集合Q中的元素都在集合P中,所以QP.答案:C(2)解析:由題意結合集合在數軸上的表示確定兩集合的關系即可.如圖所示,由圖可知,BA.答案:A一二三四二、集合相等1.(1)在子集的定義中,能否理解為子集A是集合B中的“部分元素”所組成的集合?提示:不能.A中可能含有B中的所有元素(也可能不含任何元素).(2)本書1.1中,我們是如何定義兩個集合相等的?提示:只要構成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合是相等的.(3)本課時“

4、一”中提出的各對集合中,這兩對集合中的元素一樣嗎?它們之間存在什么樣的包含關系?提示:中,由于“兩條邊相等的三角形”即等腰三角形,因此,集合A中任何一個元素都是集合B中的元素,則A是B的子集;同時,集合B中的任何一個元素都是集合A中的元素,則B也是A的子集,即A和B兩集合中的元素都是相同的.也就是說集合A與B相等.同理可以說明中兩個集合的元素也完全相同,即兩集合相等.一二三四2.填空一般地,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等,記作A=B.也就是說,若AB,且BA,則A=B.3.做一做已知集合A=1,-m,B=1,m2,且A

5、=B,則m的值為.解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.當m=-1時不滿足集合中元素的互異性,舍去.故m=0.答案:0一二三四三、空集1.(1)觀察下面四個集合:方程x2+1=0的實數根組成的集合;不等式3x2+28且x4答案:B一二三四四、子集與真子集的性質1.在實數中有如下結論:(1)對于任何一個實數a,有aa;(2)對于實數a,b,c,如果ab,且bc,那么ac.你能類比這兩個結論,寫出兩個集合之間的類似關系嗎?提示:任何一個集合是它本身的子集,即AA.對于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.2.上個問題中得到的第(2)條性質可以推廣到真子集嗎?提示:可以.對于集合

6、A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.探究一探究二探究三探究四思想方法寫出給定集合的子集例1 (1)寫出集合0,1,2的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填寫下表,并回答問題:由此猜想:含n個元素的集合a1,a2,an的所有子集的個數是多少?真子集的個數及非空真子集的個數呢?隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一個元素、含有兩個元素、含有三個元素這四種情況分別寫出子集.(2)由特殊到一般,歸納得出.解:(1)不含任何元素的子集為;含有一個元素的子集為0,1,2;含有兩個元素的子集為0,1,0,2,1,2;含有三個元素的子集

7、為0,1,2.故集合0,1,2的所有子集為,0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2.其中除去集合0,1,2,剩下的都是0,1,2的真子集.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法(2)由此猜想:含n個元素的集合a1,a2,an的所有子集的個數是2n,真子集的個數是2n-1,非空真子集的個數是2n-2.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟 1.分類討論是寫出所有子集的有效方法,一般按集合中元素個數的多少來劃分,遵循由少到多的原則,做到不重不漏.2.若集合A中有n個元素,則集合A有2n個子集,有(2n-1)個真子集,有(2n-1)個非空子集,有(2n-2)個非空真子集,該結論可

8、在選擇題或填空題中直接使用.隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法變式訓練1若1,2,3A1,2,3,4,5,則滿足條件的集合A的個數為()A.2B.3C.4D.5解析:集合1,2,3是集合A的真子集,同時集合A又是集合1,2,3,4,5的子集,所以集合A只能取集合1,2,3,4,1,2,3,5和1,2,3,4,5.答案:B隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練已知集合的交集、并集求參數例3已知aR,集合A=-4,2a-1,a2,B=a-5,1-a,9,若9AB,則實數a的值為.分析:9AB說明9A,通過分類討論建立關于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否滿足集

9、合中元素的互異性.解析:9AB,9A且9B,2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3.當a=5時,A=-4,9,25,B=0,-4,9,符合題意;當a=3時,A=-4,5,9,B不滿足集合中元素的互異性,故a3;當a=-3時,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,符合題意.綜上可得a的值為5或-3.答案:5或-3探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練反思感悟 已知兩個有限集運算結果求參數值的方法對于這類已知兩個有限集的運算結果求參數值的問題,一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系,再列方程求解.另外,在處理有關含參數的集合問題時,要注意對求解結果進行檢驗,以避免違背集合中元素的有關特性

10、,尤其是互異性.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練延伸探究 例3中,將“9AB”改為“AB=9”,其余條件不變,求實數a的值及AB.解:AB=9,9A.2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3.當a=5時,A=-4,9,25,B=0,-4,9,由于AB=-4,9,不符合題意,故a5;當a=3時,A=-4,5,9,B不滿足集合中元素的互異性,故a3;當a=-3時,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,且AB=9,符合題意.綜上可得a=-3.此時AB=-8,-4,-7,4,9.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練例4集合A=x|-1x1,B=x|xa.(1)若AB=,求a的取值范圍;(

11、2)若AB=x|x1,求a的取值范圍.分析:利用數軸把集合A,B表示出來,根據題目條件數形結合列出參數a滿足的不等式,求解時需注意等號能否取得.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練解:(1)A=x|-1x1,B=x|xa,且AB=,如圖1所示.數軸上點x=a在點x=-1左側,且包含點x=-1,a-1.(2)A=x|-1x1,B=x|xa,且AB=x|x1,如圖2所示,數軸上點x=a在點x=-1和點x=1之間,不包含點x=-1,但包含點x=1.-1-1.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練集合相等關系的應用例4已知集合A=2,x,y,B=2x,2,y2,且A=B,求實數x,y的值.分析:

12、根據A=B列出關于x,y的方程組進行求解.解:A=B,集合A與集合B中的元素相同, 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練反思感悟集合相等則元素相同,但要注意集合中元素的互異性,防止錯解.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練延伸探究若將本例已知條件改為“集合A=x,xy,x-y,集合B=0,|x|,y,且A=B”,求實數x,y的值.解:0B,A=B,0A.又由集合中元素的互異性,可知|x|0,y0,x0,xy0,故x-y=0,即x=y.此時A=x,x2,0,B=0,|x|,x,x2=|x|,解得x=1.當x=1時,x2=1,與集合中元素的互異性矛盾,x=-1,即x=y=-1.探究一探究二

13、探究三探究四思想方法隨堂演練由集合間的關系求參數的范圍例5 已知集合A=x|-5x2,B=x|2a-3xa-2.(1)若a=-1,試判斷集合A,B之間是否存在子集關系;(2)若AB,求實數a的取值范圍.分析:(1)令a=-1,寫出集合B,分析兩個集合中元素之間的關系,判斷其子集關系;(2)根據集合B是否為空集進行分類討論;然后把兩集合在數軸上標出,根據子集關系確定端點值之間的大小關系,進而列出參數a所滿足的條件.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練解:(1)若a=-1,則B=x|-5x-3.如圖在數軸上標出集合A,B.由圖可知,BA.(2)由已知AB.當B=時,2a-3a-2,解得a1.顯

14、然成立.當B時,2a-3a-2,解得a1.由已知AB,如圖在數軸上表示出兩個集合,又因為a1,所以實數a的取值范圍為-1a1. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練反思感悟 由集合間的關系求參數的范圍問題中的兩點注意事項(1)求解此類問題通常是借助于數軸,利用數軸分析法,將各個集合在數軸上表示出來,以形定數,同時還要注意驗證端點值,做到準確無誤,一般含“=”用實心點表示,不含“=”用空心點表示.(2)涉及“AB”或“AB,且B”的問題,一定要分A=和A兩種情況進行討論,其中A=的情況容易被忽略,應引起足夠的重視.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練延伸探究(1)【例5】(2)中,是否存

15、在實數a,使得AB?若存在,求出實數a的取值范圍;若不存在,試說明理由.(2)若集合A=x|x2,B=x|2a-3xa-2,且AB,求實數a的取值范圍.解:(1)因為A=x|-5x2,所以若AB,則B一定不是空集.(2)當B=時,2a-3a-2,解得a1.顯然成立.當B時,2a-3a-2,解得a1.由已知AB,如圖在數軸上表示出兩個集合,由圖可知2a-32或a-2-5,解得a 或a-3.又因為a1,所以a-3.綜上,實數a的取值范圍為a1或a-3.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練分類討論思想與數形結合思想在解決集合含參問題中的應用對于兩個集合A與B,已知A或B中含有待確定的參數(字母)

16、,若AB或A=B,則集合B中的元素與集合A中的元素具有“包含關系”,解決這類問題時常采用分類討論和數形結合的方法.(1)分類討論是指:AB在未指明集合A非空時,應分A=和A兩種情況來討論.因為集合中的元素是無序的,由AB或A=B得到兩集合中的元素對應相等的情況可能有多種,因此需要分類討論.(2)數形結合是指對A這種情況,在確定參數時,需要借助數軸來完成,將兩個集合在數軸上畫出來,分清實心點與空心圈,確定兩個集合之間的包含關系,列不等式(組)確定參數.特別提醒 此類問題易錯點有三個:忽略A=的情況,沒有分類討論;在數軸上畫兩個集合時,沒有分清實心點與空心圈;沒有弄清包含關系,以致沒有正確地列出不

17、等式或不等式組.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練(3)解決集合中含參問題時,最后結果要注意驗證.驗證是指:分類討論求得的參數的值,還需要代入原集合中看是否滿足互異性.所求參數能否取到端點值需要單獨驗證.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練典題已知集合A=x|1ax2,B=x|x|1,是否存在實數a,使得AB.若存在,求出實數a的取值范圍.分析:對參數a進行討論,寫出集合A、B,借助于數軸,求出a的取值范圍.探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練1.集合x,y的子集個數是()A.1B.2C.3D.4解析:(法1)集合x,y的子集有,x,y,x,y,共有4個.(法2)集合內有2個元素,子集個數為22=4個.答案:D2.下列正確表示集合M=-1,0,1和N=x|x2+x=0關系的Venn圖是()解析:由N=-1,0,知NM,