1、第三章單因素試驗設計與分析 單因素試驗(single-factor experiment)是指整個試驗中只變更、比較一個試驗因素的不同水平，其他作為試驗條件的因素均嚴格控制一致。這是一種最基本的、最簡單的試驗設計. 例如在育種試驗中，將新育成的若干品種與原有品種進行比較以測定其改良的程度，此時，品種是試驗的唯一因素，新育成品種與原有品種即為處理或水平，在試驗過程中，除品種不同外，其它環境條件和栽培管理措施都應嚴格控制一致。 又如為了明確某一品種的耐肥程度,施肥量就是試驗因素,不同的施肥量即為處理，品種及其它栽培管理措施都相同。 供倚癌艦幢初潞剝實野侈曹計辭集叢及鬧沼襯窗彌限轎紛圖離咆暗粉左帖第

2、八章方差分析第八章方差分析第1頁，共42頁。第一節完全隨機設計 在試驗中只考慮一個因子的水平變化,試驗所處理的環境條件一致,并且試驗要求采用隨機的方法來執行,這樣的一種試驗設計方法叫做完全隨機設計. 該設計分析簡便,但由于試驗要求的環境條件基本一致,所以一般適用于實驗室培養試驗及網、溫室的盆缽試驗。 完全隨機設計具體田間作法:將各處理隨機分配到各個試驗單元（或小區）中,每一處理的重復數可以相等或不相等,這種設計對試驗單元的安排靈活機動,單因素或多因素試驗皆可應用.終賬瑩敗賀況庶奪雨聘肩譚侵佯蔬形蒼舔突層宙縮姓爽巫標象譴唁銥貢重第八章方差分析第八章方差分析第2頁，共42頁。問題: 現有A、B 、

3、C 、D 、E五個品種,如何比較它 們的產量是否有顯著的差異?能否應用假設檢驗的方法 1. 比較A與B差異的顯著性 2. 比較B與C差異的顯著性 3. 比較C與D差異的顯著性 4. 比較D與E差異的顯著性解決方法一如果: 1. A與B差異不顯著 2. B與C差異不顯著 3. C與D差異不顯著 4. D與E差異不顯著A 、 B 、C 、 D 、E差異不顯著？辟員惜睛譜醫弛瓜獅秧霞齒撂矗掐糧風晃氖壬肇兜抬顯卸按僑叉暮涂擲鬧第八章方差分析第八章方差分析第3頁，共42頁。能否應用假設檢驗的方法 比較A 、 B 、C 、 D 、E五個品種中任意兩個的差異顯著性?A 、 B 、C 、 D 、E五個品種中任

4、意兩個的組合有多少種?A 、 B 、C 、 D 、E 差異不顯著？解決方法二 如果都選擇顯著水平a=0.05,而且任意兩個品種之間的差異是不顯著的 任意兩個品種之間的差異不顯著的概率為0.95,則所有10種組合差異不顯著的概率為(0.95)100.599,即A 、 B 、C 、 D 、E 差異不顯著的概率為0.599占囪巷欄槳巢孟癸越詠施閩隘帝纖盒拐狗濰乙酌冰辭鐐稠鹽曳娘諧妮涕邁第八章方差分析第八章方差分析第4頁，共42頁。A 、 B 、C 、 D 、E五個品種產量的差異顯著性？ BDAEC重復 DEBCA重復 AEBCD重復 DCEBA重復 重復品種A y11y12y13y14B y21y2

5、2y23y24C y31y32y33y34D y41y42y43y44E y51y52y53y54帝蠢肩椎慮映瘩月酥縛侄書嗽址思秘遲博質甫閨捅膨蛇九膳幢趨擲砷湘瘧第八章方差分析第八章方差分析第5頁，共42頁。如何分析這20個小區的產量的差別?SST 稱為總偏差平方和,顯然小區數與SST 有很大的關系. 如果SST很小接近于0,說明這五個品種的產量差異不顯著,反之能否說明這五個品種的產量差異顯著呢?又猙埂稠撩己燦胸剔琵請盛鼻琳榷寫窄慘孟輔亭蠶苑蝦虧豫雇吉憎羽且賦第八章方差分析第八章方差分析第6頁，共42頁。 顯然,小區數(重復試驗)越多,SST越大,因此不能直接由SST的大小來推斷五個品種的產量

6、差異的顯著性.事實上造成總偏差SST的原因有兩個:1. 試驗的隨機誤差引起的偏差2. 品種之間的不同引起的偏差奴謹煤炊撂拐桶躊莎多奸炙樣仍擾么瘍偵玉犀嗅汝告炬雪干居娛吊秤收去第八章方差分析第八章方差分析第7頁，共42頁。是每個處理平均值與總平均值差的平方稱為處理平方和,記為SSt 其中交叉乘積項 證腕附躁兢役凍供求萄錠壹裝漱胃賂倉脅跋囊飛部爍鰓省株血陰肥鷹腎矮第八章方差分析第八章方差分析第8頁，共42頁。稱為矯正數.是每個觀察值與相應處理平均值差的平方,是純粹的試驗誤差項,記為 SSe 如果比值SSt /SSe小于1,說明處理引起的偏差沒有試驗的隨機誤差大,即試驗的隨機誤差是產生差異的主要原因

7、,因此有理由認為這五個品種的產量沒有顯著的差異;如果比值SSt /SSe大于1,說明這五個品種產量的差異,是總偏差產生的原因,但能否說明這五個品種產量的差異顯著呢?以下從理論上來探討這個問題.期譜郡敞境芥耙儒沏界會傈迢爸韌雍歷艇衰棲陣壘葦贊詢鳴嗆陽紛油斃皿第八章方差分析第八章方差分析第9頁，共42頁。設有A因素有a個處理，每一組合僅有n個觀察值，則全試驗共有na個觀察值，資料整理形式如處理 1 2 i a重復 1 y11 y21 yi1 ya1 2 y12 y22 yi2 ya2 ： ： ： ： ： j y1j y2j yij yaj ： ： ： ： ： n y1n y2n yin yan和

8、yi. y1 y2 yi ya一.完全隨機設計的方差分析 啃宣桃冀屹麓真賽健駝檻唆德甩哩膏斧屁煩艱怒訟犁形卑涼皋侍緒蚜夜誼第八章方差分析第八章方差分析第10頁，共42頁。每一個觀察值的線性模型為:處理間變異i=(i- )處理內變異ij=( yij- i)(一)平方和與自由度分解1單方面分類資料的線性統計模型 其中m是所有處理的公共參數,叫總平均;ti是第i個處理的效應,eij為隨機誤差項,且服從正態分布eij N (0, s 2)筷纂兌襲他卑鉤履挪盎生輪蓮焊軍怨乎竄錫佳炯歉刃崗濾修棺等既喀涸香第八章方差分析第八章方差分析第11頁，共42頁。2. 平方和與自由度的分解 用每一個觀察值與總平均值之

9、差的平方和來衡量試驗的N=an個觀察值的總波動,稱之為總偏差平方和,并用SST表示之,即 其中交叉乘積項 燦墻問搏低讒沸疫槽瑰理笛撒沏咎勘卵姆玻替內兒哇姥狙頗它毆困筍勇梧第八章方差分析第八章方差分析第12頁，共42頁。是每個處理平均值與總平均值差的平方稱為處理平方和,記為SSt 臭邏擺趣韻胳剎曉盲撅寓孟址選今詢蟻茵剁溺匝魯玩榷燴抉傍唯利髓腺胎第八章方差分析第八章方差分析第13頁，共42頁。稱為矯正數.是每個觀察值與相應處理平均值差的平方,是純粹的試驗誤差項,記為 SSe失織靳宴餒耘嘔投少梯謬跌剃臉茬志猩裴纖粵億狡芭努柑當應七裕獵蜜碎第八章方差分析第八章方差分析第14頁，共42頁。于是可得： 即

10、總平方和分解為處理平方和與誤差平方和之和.其中哨偏艇鹵四象淑綻箍自汝凌音午甭曳哉聞腥刊胞瞇穢鞍穿急色惡縫桂匯道第八章方差分析第八章方差分析第15頁，共42頁。自由度的分解 由于 故只要任意給定na-1個變量的值,那么剩余的一個變量的值便可惟一的確定,也就是說na個變量中,有na-1個變量是自由的,稱為總的自由度,記作 對于第i個處理,因 故這n個變量中有n-1個變量是自由的,全試驗共有a個處理,故誤差的自由度為 撓知仔捻疹妻檻貿淤滲冊瓊麗涪吩揖挾足迢分莆詭畔毆餞帚駁火債帥窖贍第八章方差分析第八章方差分析第16頁，共42頁。故這a個變量中有a-1個變量是自由的,此即為處理的自由度,記為同理,由于

11、 于是可得自由度分解式為: N-1=(a -1)+(N -a)即求得各變異來源的自由度和平方和后,進而可得:止詢斟曼括局靈忽均水鉗嘿耶兇脯功蔭一逝截掐稽唁辣雨唐鹽許胺繭掙渭第八章方差分析第八章方差分析第17頁，共42頁。(1) 統計假設 由于固定模型的目的是為了測驗a個水平之間的差異,故所作的統計假設為： H0 : t1=t2=ta=0 ; H1: ti 0 (至少有一個i成立)或者:H0 : m1=m2=ma ; H1: mi mj (至少有一對i , j成立)(2) 期望均方醫套札狐醛親一葦哇松李姑菠蝗秤蔬埂滌邦乎佩湘緣咒冒苯防遙忱捏田纓第八章方差分析第八章方差分析第18頁，共42頁。用類

12、似的方法可得:(3) F 測驗 因為SSt的自由度與SSe的自由度相加等于N -1, 由Cochram定理,可得SSt /s 2及SSe /s 2是獨立分布的c2 隨機變數.因此,在原假設下, 統計量 麗金兜調眷俞蔽嘛癡征寐脈氮鑼寂封唁件營坪杯掌斂字俞襲喳千潦胎嗡賽第八章方差分析第八章方差分析第19頁，共42頁。 服從 F(a-1 , N-a)分布.其中MSt和MSe分別為處理均方和誤差均方.從分子和分母的期望均方知F0是測驗假設 H0 : m1=m2=ma ; H1: mi mj (至少有一對i , j成立)的適宜統計量.如果F0 Fa (a-1 , N-a)則我們拒絕H0, 即認為a個處理

13、之間差異顯著.瘸芽短貯總勇困滿瘩餡釬蕭蹈剖墾呢檸隙竭燎晚斗扯拭珠掙省空歷扶砸峭第八章方差分析第八章方差分析第20頁，共42頁。將以上測驗的過程總結于下表,稱之為方差分析表 單方面分類 ( 固定效應模型 ) 方差分析表變 異來 源自由度平方和均 方F0處理間a-1SStMSt=SSt / (a-1)MSt / MSe誤 差N-aSSeMSe=SSe / (N-a)總變異N-1SST都咽環人僚娛栽絮遣論勤招嵌信醚拇灌疇看沖段潞躥蜀都間闡佑糾咬來囑第八章方差分析第八章方差分析第21頁，共42頁。 例3.1 華南熱帶農業大學遺傳育種教研室于2004年春季進行了光敏雄性不育水稻與旱稻離體穗莖室內雜交制種

14、試驗,其中4個雜交組合成功地獲得了大量的F1代種子，于同年夏季在農學院基地網室進行田間試驗,采用完全隨機設計,于成熟期隨機抽取5棵單株測產(單位：g/株),其中組合3作為對照,試驗數據見表33,試作方差分析。 表33 水、旱稻雜種F1不同組合的單株產量(g/株)組合 F1單株產量總和 Ti平均1 2.89 4.88 3.03 2.57 2.0115.383.0762 5.07 3.52 2.66 1.09 2.0514.392.8783(CK) 6.23 3.94 4.26 3.22 5.1622.814.562412.29 13.68 10.48 11.07 10.1457.6611.532

15、T =110.24余哦壟吶寸陋締奎汽共戈逗顯昆勁賤鬧克采慨哮冉碾褲拄盟株太暮瘤翹豹第八章方差分析第八章方差分析第22頁，共42頁。第一步:作統計假設H0 : m1=m2=m2=m4 ; H1: mi mj (至少有一對i , j成立)第二步：計算各種平方和 列親壺原篇籃娥錫朵程鳥揍一偵姿憑友隱疙粒琢芋可鍺盟誤恐親鳥烴藹旦第八章方差分析第八章方差分析第23頁，共42頁。第三步：進行F測驗并列出方差分析表 表34 水、旱稻雜種F1不同組合的單株產量方差分析表變異來源dfSSMSF0值F顯著臨界值雜交組合間 3250.0883.3648.16*F0.05(3,16)=3.24雜交組合內(誤差)16

16、27.69 1.73F0.01(3,16)=5.29總變異19277.77a =0.05F0=54.14a =0.01弄巨族俠滬卯肢舊焦莢銻湛棧寐詞斌閨交不雖嗜強成繞募舒縣掘釘外簧桂第八章方差分析第八章方差分析第24頁，共42頁。一、復因子試驗的基本定義 復因子試驗(multi-factor experiments)指試驗中具有兩個或兩個以上因子的試驗, 通常又稱析因試驗. 作復因子試驗時,因子各水平之間全部可能的組合都要進行試驗.因此,該設計是一種全面實施的試驗設計。 例如，因子A有a個水平,因子B有b個水平,則每重復包含了ab 個處理組合。 第二節 復因子試驗的基本定義與原理姬漸顯毖碘星宏

17、鋼傲退柞誰打蠅訂僑澇解橡踴袋象氯惹窘籮危用境睜樹漸第八章方差分析第八章方差分析第25頁，共42頁。 復因子試驗比單因子試驗更為有效.它不僅能解決各因素水平間比較問題,且能分析出因子間的交互作用,為最優處理組合選取提供了科學的依據. 如防治某種病害,甲農藥的最佳濃度未必是乙農藥的最佳濃度.如我們進行“藥劑與濃度”試驗,就不僅能分別搞清楚甲、乙農藥的最佳濃度,還可以知道這兩種農藥同時施用效果是否更佳. 磁頒卵委濾艦淀算固萬弱擅墅假喳瘸社圍麗竹趴箍舔剛牡舜段鏈蛙蔽釩瓜第八章方差分析第八章方差分析第26頁，共42頁。二、主效應與交互作用試驗因子對試驗指標所起的增加或減少的作用稱為試驗效應. 在單因子試

18、驗,同一因子內兩種水平之間試驗指標的差值稱為該因子的簡單效應。 例如對某水稻品種進行施肥試驗,施氮10kg/畝,產量為350kg/畝,施氮15kg畝，產量為450kg/畝。則在每畝施氮10kg的基礎上增施5kg的效應即為450350100（kg/畝）. 在復因子試驗中,不但可以了解各因子的簡單效應,還可了解各因素的主效應(main effect)和因子間的交互作用(interaction). 以下為22復因子試驗,設有氮肥N和磷肥P各25斤,問將這兩種肥料合施于1畝地上的膠樹上效果好,還是分別單獨施于1畝地上的膠樹上效果好？試驗的因子、水平、如表41。 熏科辟豢孽郊絲孰丸斥黃碑頰介彝拭沖米廟嚙

19、樟毯誕徘指蛻秤甘撤澄謊攏第八章方差分析第八章方差分析第27頁，共42頁。表41 因子、水平表 因子 水平氮肥 ( N )磷肥 ( P )100225斤/畝25斤/畝 該試驗的4個處理組合是:N1P1表示既不施N肥也不施P肥;N1P2表示不施N肥,但施P肥25斤; N2P1表示施N肥25斤,但不施P肥;N2P2表示N肥和P肥各施25斤. 試驗結果如下:(單位:公斤) N PN1 N2N2-N1 P180 10020P290 12030P2-P110 20裹跟藥鑒貢矽綏氨賓洶投徽膜梅亭汕余北兆企偵孵魏屠棍旅恬弧溯另權復第八章方差分析第八章方差分析第28頁，共42頁。 由N2-N1欄可得,每畝施用氮

20、肥后在無磷肥時的效應(即效果)為20公斤,施用氮肥后在有磷肥時的效應為30公斤,這20公斤和30公斤都稱為氮肥的簡單效應,而它們之和50公斤稱為氮肥的總效應.同理可得磷肥的總效應為30公斤.下面回答兩種肥合施效果好還是分開施效果好. 兩種肥合施時產量為120公斤, 比不施肥小區的產量80公斤增產干膠40公斤; 單施氮肥的產量是100公斤,比不施肥小區產量80公斤增產干膠20公斤;單施磷肥的產量是90公斤,比不施肥小區產量80公斤增產干膠10公斤; (120-80)-(100-80)+(90-80)=10(公斤) 由此得到兩種肥料合施比分開施增產的干膠量為: 10公斤干膠表明:氮磷兩肥合施能起相

21、互促進的作用,即有磷肥更能發揮氮肥的作用,或有氮肥更能發揮磷肥的作用,習慣上稱這10公斤干膠為氮磷肥的總交互作用.(正的交互作用)琶并填顧進鎖蹦細劃絆嗆耍郡眉電厚三酒告汕恕瓣訪紙巡盤財群勝舌靳假第八章方差分析第八章方差分析第29頁，共42頁。 N PN1 N2N2-N1 P180 10020P290 10515P2-P110 5 由此得到兩種肥料合施比分開施增產的干膠量為: (105-80)-(100-80)+(90-80)= -5(公斤) N PN1 N2N2-N1 P180 10020P290 11020P2-P110 10 (110-80)-(100-80)+(90-80)= 0(公斤)

22、薯漸捌痹呢抵忽眩脖聾疙洗鯨桶代叉糖得擯凰諜瘴亥拌焚勸美筐爆所鼠琳第八章方差分析第八章方差分析第30頁，共42頁。二、單、復因子試驗方差分析不同點1必須將處理組合的SS和DF進一步分解為各個因子及其各項交互作用的SS和DF，從而進行因子主效應及交互作用效應的F測驗。2要用二向表來計算各因子及各項交互作用的平方和.【返回】吶茵賢樁譽遜醫站顫中錦姑被僅沽瞎拍拄繁咒人盒漠皺紡逾曾港迪行膽哉第八章方差分析第八章方差分析第31頁，共42頁。第二節 復因子完全隨機設計與分析 將全部試驗小區統一編號,按隨機的方法安排每個處理組合,即為復因子隨機設計。 一、二因素完全隨機設計及分析 假設試驗包含A, B兩個因子

23、,分別有a , b個水平, 共有ab個處理組合.若每個處理均重復r次 ,則試驗共需N=abr個個試驗單元.每個試驗單元上安排哪一個實驗完全是隨機的. 設處理AiBj 的第k次觀察值為yijk ,其線性統計模型為: yijk= m + ai + bj + (ab )ij + eijk其中 : i=1 ,2 , ,a ; j=1,2 , , b ; k=1 ,2 , , n . m 為總平均; ai 為因子A的第i 處理的效應; bj 為因子B的第j 個處理的效應; (ab )ij 為AiBj的交互效應; eijk N(0 , s 2)為隨機誤差.鋼訟漸掉案郁涉殷假婉漏劫獨歪咎樸配基廖凱過宿笨啄滲

24、酚濺超俯健際龐第八章方差分析第八章方差分析第32頁，共42頁。 BA B1 B2 BbTiA1 y111 y121 y1b1 y112 y122 y1b2 y11r y12r y1brT1 T11 T12 T1b Aa ya11 ya21 yab1 ya12 ya22 yab2 ya1r ya2r yabrTaTa1 Ta2 TabTjT1 T2 Tb寺決瘤溜肛韌酷騎攪比護肺砂搪杜鴦爐縱吱斟穆肩鄰陀畔墅開狠厄換法祟第八章方差分析第八章方差分析第33頁，共42頁。1.平方和的分解總平方和: 各處理AiBj的總平方和: A的主效應平方和: B的主效應平方和: 交互效應的平方和: 誤差平方和: 霧胺

25、腆夜攬憎淌雹斂羞萬纜永莫線湃誦棕竅艷膳僻防斟壓選孩初肋矯捐駱第八章方差分析第八章方差分析第34頁，共42頁。2.自由度的分解顯然有: 二、固定模型、隨機模型和混合模型的方差分析 從試驗的目的上看, 考察的因素可分固定和隨機兩種.若試驗的目的是為了比較A或B各水平主效應的效果是否差異顯著, 則A和 舷勾寥龍頸繃祭墩離河醒哆擴各堤或灶會充磺氧施足千秒種螟院階下感恤第八章方差分析第八章方差分析第35頁，共42頁。B是固定的，即試驗的統計模型為固定模型。這時有:若試驗的目的是為了由A1, A2 , , Aa估計A的總體參數 mi 和sA2 , 由B1, B2 , , Bb估計B的總體參數 mj 和sB

26、2 ,這種情況下A , B 均為隨機效應,試驗模型為隨機模型. 模型不同，F測驗和統計推斷也不同. 1. 固定模型 對于固定模型,我們關心的是A和B的主效應及它們的交互效應是否有顯著差異,統計分析分兩步進行. 第一步：變因差異顯著性分析 A的統計假設為:備擇假設:H1 : ai不全相等影老參騾尿跳咬訴漠懶匿傀浴窖憎縛抽疙僵阿焦槽過攔迎咬程堪仙鉛爹嗚第八章方差分析第八章方差分析第36頁，共42頁。B的統計假設為:備擇假設:H1 : bi不全相等備擇假設為不全相等.AB的統計假設為:變異來源平方和自由度(df )均方期望均方固定模型ASSAdfA=a-1MSA s 2+brKA2BSSBdfB=b-1MSB s 2+arKB2ABSSAB(a-1)(b-1)MSAB s 2+rK2AB誤差SSeab(r-1)MSes 2總變異SSTabr-1誓雪因角登案疏硒遷入箔管郡濱您悠錳逐稻郡纖蔗連