1、 量子力學引論第十五章 一、德布羅意波15-1 實物粒子的波粒二象性類比：1924年法國年輕的博士德布羅意提出設想：實物粒子與光一樣也具有波粒二象性與實物粒子相聯系的波稱為德布羅意波(物質波)-德布羅意公式或1929年德布羅意獲諾貝爾物理學獎例1靜止的電子經電場加速，加速電勢差為U，速度VC。求德布羅意波長解： 1927年美國的戴維遜和革末實驗證實了實物粒子波動性二、物質波的實驗驗證觀察到在晶體表面電子的衍射現象與x射線的衍射現象相類似電子槍探測器鎳單晶加速電極-電子具有波動性 同年，小湯姆遜的電子束穿過多晶薄膜后的衍射實驗，得到了與x射線實驗極其相似的衍射圖樣戴維遜和小湯姆遜同獲1937年諾

2、貝爾物理學獎x-射線電子大量實驗證實除電子外，中子、質子以及原子、分子等都具有波動性，且符合德布羅意公式-一切微觀粒子都具有波動性單縫雙縫三縫四縫1961年約恩遜的電子衍射實驗 經典力學：運動物體具有完全確定的位置、動量、能量、角動量等15-2 不確定(度)關系微觀粒子：由于波動性，粒子以一定的概率在空間出現-粒子在任一時刻不具有確定的位置同樣，動量、能量和角動量等也是不確定的 電子單縫衍射實驗：設一束電子垂直入射到單縫上考慮中央明區單縫衍射第一級暗紋滿足考慮其它高次衍射條紋有-粗略估算結果同樣能量與時間之間也有如下的不確定性關系：1932年海森伯獲諾貝爾物理學獎 說明：(1)不確定性關系說明

3、微觀粒子不可能同時具有確定的位置和動量；粒子位置的不確定量越小，動量的不確定量就越大，反之亦然(2)不確定性關系僅是波粒二象性及其統計關系的必然結果，而不是測量儀器對粒子的干擾，也不是儀器的誤差所致例2設電子在原子中運動速度為106 m/s，原子的線度約為10-10m，求原子中電子速度的不確定量解：電子位置的不確定量v與v在數量級上相當，因此討論原子中電子的速度沒有實際的意義 一、波函數沿x方向傳播的平面波波動方程為15-3 物質波波函數的統計解釋上式為下面復數形式的實數部分為區別一般的波，奧地利物理學家薛定諤提出用物質波波函數描述微觀粒子的運動狀態 對能量為E、動量為p的自由粒子，其平面物質

4、波波函數為 二、玻恩對物質波的統計解釋1926年德國物理學家玻恩首先提出概率波的概念：粒子落在屏上哪一點具有偶然性；在某一時刻，空間某點附近粒子出現的概率與該時、該處物質波的強度成正比。峰值處粒子出現的概率大，暗紋處粒子出現的概率小 * -的共軛復數與光波類比，波函數的強度為由玻恩的概率波概念，粒子出現在體積元dV內的概率為 -概率密度 在整個空間總能找到粒子，應有-波函數的歸一化條件三、波函數的標準條件(1)單值:某時刻粒子出現在某點的概率唯一(2)有限:粒子出現的概率應有限(3)連續:不應出現突變(可導) 說明：(1)經典波描寫實在物理量在空間中的傳播過程(2)概率波不代表實在物理量的傳播

5、過程，波函數本身沒有直接的物理意義 一、 自由粒子的波動方程自由粒子：設自由粒子沿x方向運動波函數15-4 薛定諤方程（定態） - 自由粒子一維運動的波動方程又 在勢場U中：粒子的總能量為-勢場中粒子一維運動的波動方程 二、定態薛定諤方程定態：勢能函數與時間無關，即令：-定態薛定諤方程粒子波函數為討論：(1)定態時，概率密度不隨時間變化(2) 定態時，只有E為某些特定值時才能解得。 特定的能量E值稱為本征值，相應的波函數稱為本征函數 1933年薛定諤獲得諾貝爾物理學獎 求解定態波函數及相關的幾個問題1. 求波函數的步驟：(1)由體系的勢能寫出定態薛定諤方程(2)解方程得一般解(3)根據標準條件

6、和歸一化條件確定有關常數項 2. 求粒子出現概率極大、極小的位置(1)求概率密度函數 (3)判斷(2)令 ，解出 x=xm 3. 求粒子在某區域內出現的概率(2)計算(1)求概率密度函數 設粒子作一維運動，勢能函數為15-5 薛定諤方程的應用阱外須有一、一維無限深方勢阱 令其通解為阱內U=0：A和B為待定常數根據波函數的連續、單值的條件有由歸一化條件可得-能量量子化n：粒子能量量子數 討論：(1)n0：因為n=0 則n0，無意義(2)n=1：-基態能(3) ，能量間隙不均勻，并隨n的增大而增大 (4)除端點(x=0,x=a)外，阱內n=0稱為節點基態：無節點第一激發態：一個節點第 n 激發態：

7、n個節點例3設質量為m的微觀粒子處在寬度為a的一維無限深勢阱中，試求：(1)粒子在0 xa/4區間中出現的幾率，并對n=1和n=的情況算出概率值。(2)在哪些量子態上，a/4處的概率密度最大？解：(1)已知粒子出現在0 xa/4區間中的幾率為時時(2)處最大時有 二、 隧道效應粒子在x方向運動，勢能分布為經典物理的觀點：時：粒子可越過勢壘到達3區時：粒子被勢壘反彈回去 1區：入射波+反射波2區：透射波+反射波3區：透射波量子力學的觀點：在粒子總能量低于勢壘壁高時，粒子有一定的概率穿過勢壘-隧道效應硅表面圖像掃描隧道顯微鏡(STM)原子書法量子圍欄-實現波函數的測量1993年人們第一次看到波函數

8、-用STM所做的量子圍欄工作在4K溫度，用STM針尖操縱48個鐵原子在銅表面圍成半徑為71.3A的圓圈。表面電子在鐵原子上強烈反射，被禁錮在該圍欄中，它們的波函數形成同心圓形駐波 三、氫原子1.氫原子的薛定諤方程氫原子中，電子的勢能函數為薛定諤方程為： 轉換到球極坐標系中得極坐標形式為： 2.量子化條件和量子數(1) 能量量子化和主量子數與玻爾所得結果完全一致-主量子數氫原子能量 (2) 角動量量子化和角量子數對一定的 n值, l 有n個可能取值電子繞核運動的角動量量子化條件-角量子數 (3) 角動量空間量子化和磁量子數-磁量子數角動量 的在外磁場方向Z 的投影對一定的 l 值，ml 有(2

9、l+1)個可能取值 一、施特恩-蓋拉赫實驗 電子自旋15-6 多電子原子中的電子分布1921年施特恩和格拉赫為驗證電子角動量空間量子化而進行的實驗無磁場有磁場原子源 實驗發現：不加磁場：底板上呈現一條正對狹縫的原子沉積加磁場：底板上呈現上下兩條原子沉積矛盾：角量子數為 l 時，角動量在空間的取向有(2l+1)種可能無磁場有磁場 電子的自旋為解釋上述實驗結果，1925年烏倫貝克和哥德斯密特提出電子自旋假說:電子除軌道運動外，還存在自旋運動。電子自旋角動量S在外加磁場方向上的投影Sz只能取兩個值-自旋磁量子數-與電子軌道角動量相似由量子力學可得，自旋角動量為-自旋量子數s只能取一個值即 四個量子數

10、原子中電子的狀態由四個量子數決定(1)主量子數n（n=1,2,）大體上決定電子的能量(2)角量子數 l（l=0,1,2,n-1）決定電子的軌道角動量的大小(3)磁量子數 ml（ml=0,1,2,l）決定電子軌道角動量在外磁場中的取向(4)自旋磁量子數ms（ms=1/2）決定電子自旋角動量在外磁場中的取向 對多電子原子，其內部電子的分布由下面兩條原理決定：(1)泡利不相容原理：在一個原子中不能有兩個或兩個以上的電子處在完全相同的量子態，即不能具有相同的四個量子數(2)能量最小原理：原子系統處于正常狀態時，每個電子趨向占有最低的能級二、多電子原子的殼層結構 根據泡利不相容原理，原子中具有相同主量子數n的電子數最多為1916年柯塞耳提出原子殼層結構：(1)n相同的電子組成一個殼層，對應n=1,2,3,的殼層分別用 K, L, M, N, O, P,來表示 (2)l 相同的電