1、數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)） 康健1.畢達(dá)哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)2.貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)3.羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)幾何定理中的“黃金”：勾股定理 你知道嗎？在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中勾股定理的發(fā)現(xiàn)，引出了數(shù)學(xué)上另一重要發(fā)現(xiàn)（無(wú)理數(shù)），進(jìn)而在西方數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)波。智慧之神：畢達(dá)哥拉斯 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 畢達(dá)哥拉斯悖論 第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響abc 畢達(dá)哥拉斯（約公元前580前500），古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，音樂(lè)家、教育家。 在生前，這位超凡的天才人物已經(jīng)被人們神話。由于人們對(duì)他的智慧感到不可思議，又有人說(shuō)他的大腿上有一個(gè)金色胎記，以至于人們相信他是

2、太陽(yáng)神阿波羅的兒子。 受到當(dāng)時(shí)哲人的指點(diǎn)，畢達(dá)哥拉斯踏上了東方游學(xué)之旅。他先到了埃及，在那里不僅學(xué)習(xí)埃及人的幾何學(xué)，而且成為學(xué)習(xí)埃及象形文字的第一個(gè)希臘人。在埃及逗留了至少13年后，畢達(dá)哥拉斯到了古巴比倫，在那里獲得了巴比倫數(shù)學(xué)的全部知識(shí)。或許后來(lái)他還到達(dá)了更遠(yuǎn)的印度，無(wú)論到了哪里，它都不斷向有學(xué)問(wèn)的人請(qǐng)教，接受當(dāng)?shù)亓鱾鞯奶煳臄?shù)學(xué)等方面的知識(shí)，以豐富自己的見(jiàn)解，重要的是，他不僅懂得刻苦學(xué)習(xí)，而且更善于認(rèn)真思考。在經(jīng)過(guò)兼收并蓄、汲取各家所長(zhǎng)后，畢達(dá)哥拉斯形成并完善了自己的思想。 在外面經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的游歷歲月后，這位年近半百的智者回到家鄉(xiāng)并開(kāi)始講學(xué)。在廣收門徒后，畢達(dá)哥拉斯建立了一個(gè)組織嚴(yán)密，并帶有

3、宗教色彩的學(xué)派畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。 公元前六世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在古希臘學(xué)術(shù)界占統(tǒng)治地位，其思想在當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是絕對(duì)權(quán)威的真理，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派倡導(dǎo)的是一種稱為“唯數(shù)論”的哲學(xué)觀點(diǎn)，他們認(rèn)為宇宙的本質(zhì)就是數(shù)的和諧。他們認(rèn)為萬(wàn)物皆數(shù)，而數(shù)只有兩種，就是正整數(shù)和可通約的數(shù)（即分?jǐn)?shù)，兩個(gè)整數(shù)的比）， 除此之外不再有別的數(shù)，即是說(shuō)世界上只有整數(shù)或分?jǐn)?shù)。畢達(dá)哥拉斯悖論畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)幾何進(jìn)行了研究，讓我們看看他們是如何比較兩條線段的長(zhǎng)度的。在比較兩條線段a和b（設(shè)ba）的長(zhǎng)度時(shí)，如果出現(xiàn)b恰好是a的正整數(shù)r倍時(shí)，我們可以直接使用a作為兩者的共同度量單位。更一般的情況下的a正整數(shù)倍不等于b。這時(shí)，可以去找一條小線

4、段d ，使a可以分成d的某整數(shù)（比如n倍），同時(shí)使b可以分成d的另一整數(shù)倍（比如m倍），那么畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就把小線段d作為a與b的共同度量單位，并說(shuō)線段a與b是可公約或可公度的（d就是兩者的共同度量單位） 這個(gè)過(guò)程相當(dāng)于先用短些的線段當(dāng)尺子去測(cè)量長(zhǎng)的。如果一次量盡，度量結(jié)束;如果一次量不盡，就用余數(shù)作為尺子去量那個(gè)短些的線段，如果量盡，度量結(jié)束；如果不量盡，就用新的余數(shù)作為尺子去量上次的余數(shù)依次下去，直到某一次的余數(shù)等于零，度量結(jié)束。這時(shí)，結(jié)束前一次的余數(shù)就是我們要找的共同度量單位。 對(duì)于任意長(zhǎng)度的兩條線段來(lái)說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員相信上面的操作過(guò)程總會(huì)在進(jìn)行有限步后結(jié)束。他們相信只要把單位線段

5、取的適當(dāng)短，總可以把兩條線段同時(shí)量盡，只是需要耐心。因此，任意兩個(gè)同類量是可通約的，或者說(shuō)是可公度的。風(fēng)波乍起：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn) 轉(zhuǎn)折是從畢達(dá)哥拉斯提出勾股定理開(kāi)始的。 他的一個(gè)學(xué)生希帕索斯在在擺弄老師的著名成果時(shí)，想到這樣一個(gè)問(wèn)題：正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)這兩條線段是不是可通約的呢？然而經(jīng)過(guò)認(rèn)真的思考，他發(fā)現(xiàn)，這兩條線段不存在共同的度量單位，不管度量單位取的多么小，都不能成為正方形的邊與對(duì)角線的共同度量單位。一句話，正方形的邊和對(duì)角線是不可公度的。 用反證法證明如下：設(shè)RtABC，兩直角邊為a=b，則由勾股定理有 ，設(shè)已將a和c中的公約數(shù)約去，即a、c已經(jīng)互素，于是c為偶數(shù)，a為奇數(shù)，不妨令

6、c=2m，有 ， ，于是a為偶數(shù)，這與前面已證a為奇數(shù)矛盾。這一發(fā)現(xiàn)歷史上稱為畢達(dá)哥拉斯悖論。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響 畢達(dá)哥拉斯悖論的出現(xiàn)，對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派產(chǎn)生了沉重的打擊，“數(shù)即萬(wàn)物”的世界觀被極大的動(dòng)搖了,有理數(shù)的尊崇地位也受到了挑戰(zhàn)，因此也影響到了整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，使數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了極度的思想混亂。 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響是巨大的，它極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。首先，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)讓人們第一次認(rèn)識(shí)到了無(wú)理數(shù)的存在，無(wú)理數(shù)從此誕生了，之后，許多數(shù)學(xué)家正式研究了無(wú)理數(shù)，給出了無(wú)理數(shù)的嚴(yán)格定義，提出了一個(gè)含有有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的新的數(shù)類實(shí)數(shù)，并建立了完整的實(shí)數(shù)理論，為數(shù)學(xué)分析的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。再者，

7、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開(kāi)始重視演繹推理，并由此建立了幾何公理體系。歐氏幾何就是人們?yōu)榱讼埽獬C(jī)，在這時(shí)候應(yīng)運(yùn)而生的。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)極大地促進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展,使幾何學(xué)在此后兩千年間成為幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，這不能不說(shuō)是數(shù)學(xué)思想史上的一次巨大革命。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的內(nèi)容 公元17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，微積分能提示和解釋許多自然現(xiàn)象，它在自然科學(xué)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用中的重要作用引起人們高度的重視。然而，因?yàn)槲⒎e分才剛剛建立起來(lái)，這時(shí)的微積分只有方法，沒(méi)有嚴(yán)密的理論作為基礎(chǔ)，許多地方存在漏洞，還不能自圓其說(shuō)。 例如牛頓當(dāng)時(shí)是這

8、樣求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)：然后用自變量的增量x除以函數(shù)的增量y ， 最后，扔掉其中含有無(wú)窮小量x的項(xiàng)，即得函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 對(duì)于牛頓對(duì)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過(guò)程的論述，哲學(xué)家貝克萊很快發(fā)現(xiàn)了其中的問(wèn)題，他一針見(jiàn)血的指出：先用x為除數(shù)除以y，說(shuō)明x不等于零，而后又扔掉含有x的項(xiàng)，則又說(shuō)明x等于零，這豈不是自相矛盾嗎？因此貝克萊嘲弄無(wú)窮小是“逝去的量的鬼魂”，他認(rèn)為微積分是依靠雙重的錯(cuò)誤得到了正確的結(jié)果，說(shuō)微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”。這就是著名的“貝克萊悖論”。 確實(shí)，這種在同一問(wèn)題的討論中，將所謂的無(wú)窮小量有時(shí)作為0，有時(shí)又異于0的做法，不得不讓人懷疑。無(wú)窮小量究竟是不是零？無(wú)窮小及其分析是否合理？貝克萊悖論的出現(xiàn)危

9、及到了微積分的基礎(chǔ)，引起了數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)多世紀(jì)的論戰(zhàn)，從而形成了數(shù)學(xué)發(fā)展史中的第二次危機(jī)。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)，迫使數(shù)學(xué)家們不得不認(rèn)真對(duì)待無(wú)窮小量x，為了克服由此引起思維上的混亂，解決這一危機(jī)，無(wú)數(shù)人投入大量的勞動(dòng)。在初期，經(jīng)過(guò)歐拉、拉格朗日等人的努力,微積分取得了一些進(jìn)展；從19世紀(jì)開(kāi)始為徹底解決微積分的基礎(chǔ)問(wèn)題，柯西、魏爾斯特拉斯等人進(jìn)行了微積分理論的嚴(yán)格化工作。微積分內(nèi)在的根本矛盾，就是怎樣用數(shù)學(xué)的和邏輯的方法來(lái)表現(xiàn)無(wú)窮小，從而表現(xiàn)與無(wú)窮小緊密相關(guān)的微積分的本質(zhì)。在解決使無(wú)窮小數(shù)學(xué)化的問(wèn)題上，出現(xiàn)了羅比達(dá)公理：一個(gè)量增加或減少與之相比是無(wú)窮小的另一個(gè)量，則可認(rèn)為它保

10、持不變。而柯西采用的方法刻畫(huà)無(wú)窮小，把無(wú)窮小定義為以0為極限的變量，沿用到今，無(wú)窮小被極限代替了。后來(lái)魏爾斯特拉斯又把它明確化，給出了極限的嚴(yán)格定義，建立了極限理論，這樣就使微積分建立在極限基礎(chǔ)之上了。 極限理論的建立加速了微積分的發(fā)展，它不僅在數(shù)學(xué)上，而且在認(rèn)識(shí)論上也有重大的意義。后來(lái)在考查極限理論的基礎(chǔ)中，經(jīng)過(guò)代德金、康托爾、海涅、魏爾斯特拉斯和巴門赫等人的努力，產(chǎn)生了實(shí)數(shù)理論；在考查實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)時(shí)，康托爾又創(chuàng)立了集合論。這樣有了極限理論、實(shí)數(shù)理論和集合論三大理論后，微積分才算建立在比較穩(wěn)固和完美的基礎(chǔ)之上了，從而結(jié)束了二百多年的紛亂爭(zhēng)論局面，進(jìn)而開(kāi)辟了下一個(gè)世紀(jì)的函數(shù)論的發(fā)展道路。第三

11、次數(shù)學(xué)危機(jī)的內(nèi)容 在前兩次數(shù)學(xué)危機(jī)解決后不到30年即19世紀(jì)70年代,德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論,集合論是數(shù)學(xué)上最具革命性的理論,初衷是為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。1900年，在巴黎召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議上，法國(guó)大數(shù)學(xué)家龐加萊興奮的宣布：“我們可以說(shuō)，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已經(jīng)達(dá)到了絕對(duì)的嚴(yán)格。”然而，正當(dāng)人們?yōu)榧险摰恼Q生而歡欣鼓舞之時(shí),一串串?dāng)?shù)學(xué)悖論卻冒了出來(lái)，又?jǐn)嚨脭?shù)學(xué)家心里忐忑不安,其中英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素1902年提出的悖論影響最大,“羅素悖論”的內(nèi)容是這樣的：設(shè)集合B是一切不以自身為元素的集合所組成的集合，問(wèn)：B是否屬于B？若B屬于B，則B是B的元素，于是B不屬于自身，即B不屬于B；反之，若B不屬于

12、B，則B不是B的元素，于是B屬于自己，即B屬于B。這樣，利用集合的概念，羅素導(dǎo)出了集合B不屬于B當(dāng)且僅當(dāng)集合B屬于B時(shí)成立的悖論。羅素（18721970），英國(guó)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。 出身于貴族家庭，從小和祖父母生活在一起。祖母對(duì)的童年和青少年時(shí)期的發(fā)展有過(guò)決定性的影響。由于他的一個(gè)叔叔的影響，他從小就對(duì)科學(xué)產(chǎn)生了興趣。在哥哥的幫助下，他11歲開(kāi)始學(xué)習(xí)歐式幾何，這是他智慧發(fā)展的重要轉(zhuǎn)折。 1980年10月，羅素考入劍橋大學(xué)，在三一學(xué)院學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和哲學(xué)。在此期間，他結(jié)識(shí)了當(dāng)時(shí)劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)講師懷特海等人。1895年他在劍橋三一學(xué)院或研究員的職位。20世紀(jì)初，他發(fā)現(xiàn)著名的羅素悖論，引發(fā)了了一場(chǎng)新的數(shù)學(xué)危

13、機(jī)。其后10多年間，他投身于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)理邏輯的研究之中，以期擺脫悖論并重建數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 從1916年至20世紀(jì)30年代后期，羅素以寫(xiě)作和公開(kāi)演講為生。1920年，曾應(yīng)邀到中國(guó)來(lái)講學(xué)一年，給我國(guó)哲學(xué)界以很大影響。 20世紀(jì)50年代后，羅素從哲學(xué)轉(zhuǎn)向國(guó)際政治，他反對(duì)核戰(zhàn)爭(zhēng)、主張核裁軍。由于積極從事政治活動(dòng)，他晚年享有世界范圍內(nèi)的名望。 1950年，羅素獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。諾貝爾獎(jiǎng)金委員會(huì)在授獎(jiǎng)時(shí)稱他為“當(dāng)代理性和人道的最杰出的代言人之一，西方自由言論和自由思想的無(wú)畏斗士”。羅素悖論的通俗版本，即理發(fā)師悖論。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他只為村子里不給自己刮胡子的人刮胡子。那么現(xiàn)在的問(wèn)題是，理發(fā)師的胡

14、子應(yīng)該由誰(shuí)來(lái)刮？。如果他自己給自己刮胡子，那么他就是村子里給自己刮胡子的人，根據(jù)他的原則，他就不應(yīng)給自己刮胡子；如果他不給自己刮胡子，那么他就是村子里不給自己刮胡子的人，那么又按他的原則他就該為自己刮胡子。同樣有產(chǎn)生了這樣的悖論：理發(fā)師給自己刮胡子當(dāng)且僅當(dāng)理發(fā)師不給自己刮胡子。這就是歷史上著名的羅素悖論。羅素悖論的出現(xiàn)，動(dòng)搖了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，震撼了整個(gè)數(shù)學(xué)界，導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響羅素悖論的出現(xiàn)，動(dòng)搖了本來(lái)作為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)集合論，自然引起人們對(duì)數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)有效性的懷疑。羅素悖論的高明之處，還在于它只是用了集合的概念本身，而并不涉及其它概念而得出來(lái)的，使人們更是無(wú)從下手解決

15、。羅素悖論導(dǎo)致的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，使數(shù)學(xué)家們面臨著極大的困難。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)使人們面臨多么尷尬的境地，然而科學(xué)面前沒(méi)有人會(huì)回避，數(shù)學(xué)家們立即投入到了消除悖論的工作中，值得慶幸的是，產(chǎn)生羅素悖論的根源很快被找到了，原來(lái)康托爾提出集合論時(shí)對(duì)“集合”的概念沒(méi)有做必要的限制，以至于可以構(gòu)造“一切集合的集體”這種過(guò)大的集合而產(chǎn)生了悖論。為了從根本上消除集合論中出現(xiàn)羅素悖論，許多數(shù)學(xué)家進(jìn)行了不懈的努力。最重要的是德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅提出的集合論的公理化，策梅羅認(rèn)為，適當(dāng)?shù)墓眢w系可以限制集合的概念，從邏輯上保證集合的純粹性，他首次提出了集合論公理系統(tǒng)，后經(jīng)費(fèi)蘭克爾、馮諾伊曼等人的補(bǔ)充形成了一個(gè)完整的集合論公理體系（ZFC系統(tǒng)），在ZFC系統(tǒng)中，“集合”和“屬于”是兩個(gè)不加定義的原始概念，另外還有十條公理。ZFC系統(tǒng)的建立，使各種矛盾得到回避，從而消除了羅素悖論為代表的一系列集合悖論