1、放縮法(1)知識梳理_】C=_1_=/_!_/r 4?r 4/f - I I 2?: - 1 2 + 1C,； ( + 1)( - 1) /(/!- I) ( + I)!七HE*洞+仍5( -1) 2(8) 2(J +1 = 2(Vn - J-1)(Yj_ =Ii_2 + 1 2 + 3)2 (2 + 1)-2- (2+ 3) 2!+11,! = _Lfl一k(n + -k) (n + -k k)n + l ( + 1 +幻 k + n + l + A TOC o 1-5 h z (10) _ 1(11) . 2a/2?(,2)擊=危3危=土土心(13) 1 一 _!ln n2 y/n(n -

2、 )(n + ) (伽-1) J( + 1) J J +1 - J-1(i i )Vw+T+Vn i i, I v ,3=3(2w-1)2/,=2/,-! = 32 -134=(16)_ 2” 一 2 = 2(21 -1) = 2an_x,- 2( 2)且坊=1,小=3,也.阻.q2-2.3,C3.(頊-2a、 a.2n-211|12 I 2五.構造和數列后進行放縮如果數列不等式沒有直接的求和的形式，很多時候可以間接的構造和數列，然后進行放縮處 理?！纠?12】己知- + - + + - - log, n,2 3 n 2a =bO,aH 2)正數列%滿足證明：注點斯。修之）分析：根據已知構造關

3、于的遞推關系式,4然后利用“累加法”把不等式的左邊轉化為和數列的形式。證明：v0 an 2時，上=(-an 6)+(-an- ai- an-2a2 ax aK n n-2 b.二4眼+七2 +例。頃0,2ban 2b 2b 2 + /?log2n【例13】已知函數/(x) = ,定義數列代:為=0,知產/(x)，cN ,r +2 TOC o 1-5 h z 若 0 玉 V ?(# = 2,3,4,. .),證明:對任意 tn g N都有:xm+k -xj 2時，.。玉5,92云 + 2 云_1 + 2 （x + 2）（+ 2）|云-|&-如阮+知I|璋-心-44.|知-引矛自特心 十I沖咔對

4、V777 G/V*,|x/m+,-X,|=|（Xw+,_ Xm+k-i ）+（-工一2）+ +（工3 -玉）|Xmk 工/n+A-l | + 氐+A-1 -Xm+k-2 n兀Wr甘兀Wr甘+ ,求證：Tnn.Mz+3N2(如+3), 丘 N迭乘得:bn +3 2T0 +3) 2伸22 23 242n+, 2 2n+l 2點評：把握“如+3”這一特征對*=妒_(_2)九+3，進行變形，然后去掉一 個正項，這是不等式證明放縮的常用手法。這道題如果放縮后裂項或者用數學歸納法， 似乎是不可能的，為什么？值得體味！2、數列，=(一1)叫,其前項和為s“12/2求證：$2V手解：kSi = 1_l+l-l

5、+.+-L_ TOC o 1-5 h z 2 3 42/-1令土也的前項和為兀當“2時bn 0)的圖象在(1,/(1)處的切線方程為y = x-用。表示出。,c若f(x) In x在1,+8)上恒成立，求。的取值范圍證明：l + L + . + 1ln(/? + l) + -2 3 n2(+ 1)解：（1） （2）略由(II)知：當a-f(x)nx(x) 令。有/(x)=；(工一上) InxCrN 1). TOC o 1-5 h z 22x且當x 1時 Inx2xkk2k k+2kk+1即 ln(k + 1) In A (i), k = 1,2,3,2 k k + I2(+ 1)將上述n個不等

6、式依次相加得ln( + l) 1解：(1) (2)略由得+(：)+：2314”4”V1-(1-)(1 + -；-)1+ 1 * * 4 4”44_,4 4 42n,1+4/,_,1+i+戶 + + 2- - -1 = 1 4 24” 2+4411 + 1 41 221+F例題解析一、常見的放縮控制當我們選擇了正確的放縮方法后，卻往往會在放縮的過程中不知不覺間失控，導致放縮的過大或過小，達不到欲證的目標。那么如何控制好放縮的尺度呢？【例1】求證：+.1分析1:不等式左邊不能直接求和，我們希望通過合適的放縮后可以求和。 若采取“-42)的方法向右端放大，n /(/?-1)(-1) n貝+.! =

7、1 + (-)1x2 2x3(-l)x 1 22 3z 11、 c 1 c 7+ () = 2 n- n n 4很明顯，放得有點大了，導致傳遞性失敗，不等式鏈中斷，放縮失敗。那怎么 辦呢？1調整放縮的“量”的大小分析2：分析1中“放”的有點過大，因為上 .2m(2)./() .1x24放大了上，所以可以通過調整放大的“量”來控制放縮的效果。322x318 在4分母減少了 n,我們可以把分母只減少1,即n n(n -1)4-v- = -(-)32 2)，這樣放的量就少了。n 2 n- n + 1=1+1(1+1_1_L)i+l(i+l)=l2 2 n + l2 2 42調整放縮的“項”的起點分析

8、3：分析1中從第二項開始放縮，放的最終有點大。可以調整放縮的項數，從第三 項開始放縮。證明2：左邊嚀土+1(一 l)xT + f+(，+(42 3/? -1117 17)=3311 11.%a2一心2)W + .+1% % 知 q 如+二虹an妃1-y(x)當 =1時，不等式成立當22時，(1 V1 + I K A1 + hl). i + J_l bn)即證232T%=3”一1=1 +【，l小= 2.2.妲2%+i=3an)16Lk. + 4 + . +J 1 a a2 an 2 3- 332 6V 311 iiii云+云+私二3+云11 ,1() 13.1 16 33-3 34-323 _3

9、心10 _116 24 j_l 16 16 _3二、常見的問題類型數列型不等式的一邊常與求和有關，所以可以通過放縮后求和(或求和后放縮)來達到欲 證的目標。下面我們通過兒道典型例題來體會常見問題的處理手法。一.放縮與“公式法求和”選擇簡當的放縮方法，通過“通項”的渣度放縮使之轉化為等差或等比數列，從而求和 達到簡化證題的目的。【例2】設s, =vn+屋+.+j.(+i),求證：四井s“a尹證明：因為 VUIV Jk(k +1) V & + ； + D , ;.kk(k + l)k + ?f f 八 I、 MH n(n + 0( + l)2k=l&=i ZZZ說明：分別利用“添舍項”和“均值不等

10、式”把通項放縮為等差數列，然后求和得證?！纠?】求證：-+ - + -+-+-21! 2! 3!！證明：因為婦=燈上一) 212 2221 = 2卜，二二7，# = 12k 21 1 1 1111* +五+/+/函+歹+芬+ 1=2-(-)/,-1 21-1 22說明：把分母適當變小，實現分式的放大，把通項放縮為等比數列，然后方便求和?！纠?】己知 =2一1 ,證明：蘭一上 色+冬+ .一色二蘭 TOC o 1-5 h z 2 3 但皿2證明：通項=T .v. 4k _ !k + /k 衣+= 2(VT-VrT),(/：2)l + 2(V2-Vr)+ (V3-V2) + -(VH-V)l =

11、l + 2(-l + V?z) = 2V-1 2(V2-VT) + (V3-V2) + -(VzTn-7w) = 2(-1 + V) = 2(Vh + T-1) M lk說明：例1分式、例5根式的放縮后裂項相消求和的處理手法是很多靈活題目的原型，值得 體會。111n1【例6】己知=(，)”,=+，證明：2/7-31 + cq 1 - t/M+1*=i31133n+,證明：b =!+ =W_ + _1.13+1 3/,+| -13+133n+,33” +1 1 3,+|+-1 + 1, c 1bn 2+3 31) = 2 + (1) 2 3 3,+,3 3n+,3(:) TOC o 1-5 h

12、z C11=213 +1 3,+|j j|,萬如 2 + (-亍 + 子)+ (- + 云)+，+(說明：對通項利用“分離變量”化簡至（淤）處是本題的關鍵，根據式子中各項的符號以及 分母的幕指數決定放縮為（海）的形式，以實現相消”求和的效果。1 I【例7】己時=$=成）+徹,求證：2柘w證明：/( +1) =+ 11, f( + )=以)典)+1二而T f()+ l1 1/() +1 /() /( +1) 0,由已知可得f（n） 0,/t 4,W+ + + - % 8分析：通項中含有把-+ 口一，捆綁并為一項，然后結合n的奇偶性進行適度 %+i的放縮。證明：當n為奇數時，113r 11=: %

13、 皿2 2-2 +1I = 22,5-2_V-12 22rt_3+2,r_, -2/,_2-1 23 2=+ 2n-222-3即當n為奇數時,- + 4時:上+上+.+二上+ (上+上).(-L + AxL。(上 %。5am a4 。5%an- am 22 21 11、+ + + 77 + 7)3宇上)4時:1 11 1+ , , + + +%角a.na4角117+4,都有一+ + +1+蘭。? N2,eN)2 3 42-1 2”2分析：觀察分母的變化規律，把若干項“捆綁”并為一項后進行放縮，然后求和就很容易實 現欲證的目標。1+1+（1+次+（1+上+1+馬+（上+土+2）+（-+一+上）2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 162rt_, +1 2”1 T J+（L+L）+（J+L+J+L）+L+.+L）+.+.+_L）24 48 8 8 816 1616 162 2n 2”小壬+K共個;)=y四.利用遞推關系式放縮利用遞推關系式本身縊含的不等關系或放縮產生的不等關系，在很多題目中可以起到很好的 放縮效果?！纠?10】已知ak 2ak_. +1(A:2),求證：+-1 + % 1 + a21 + an 2分析：根據欲證不等式的結構特點，通過遞推關系式構造關于1 + S.的不等式，然后實現對 通項的放縮。證明：v ak 2ak_ +1,.ak+l 2(%