1、3.4 向量空間3.4.1 向量空間的概念3.4.2 基、維數與坐標3.4.3 基變換與坐標變換3.4.1 向量空間的概念定義3.4.1 設V是數域P上的 n維向量的非空集合，如果V kP滿足 則稱集合V為數域P上的向量空間。 當P為實數域R時,稱V為實向量空間, 當P為復數域C時,稱V為復向量空間。 例3.4.1 實數域R上n維向量的全體Rn是一個向量空間， 顯然(0,0, ,0)Rn,所以Rn非空；=(a1,a2, ,an)， =(b1,b2, ,bn)Rn及任意實數k，有 故Rn,是一個向量空間。 例3.4.2 證明 （1）集合 是一個向量空間； （2）集合 不是一個向量空間。 證 （1

2、）顯然集合V1非空，對任意=(0, a2, , an), =(0, b2, , bn) V1及任意實數k，有所以V1是一個向量空間。 （2）因為對于集合V2中的任意兩個向量=(1, a2, , an), =(1, b2, , bn)， + =(2, a2+b2, , an +bn) V2，所以V2不是一個向量空間。定義3.4.2 設V1，V2是數域P上的兩個向量空間，如果V1V2，則稱V1是V2的子空間。例3.4.2中的集合V1是你維向量空間Rn的一個子空間；實數域上任何n維向量的集合構成的向量空間都是Rn的子空間。 單獨由一個零向量構成的集合0也是一個向量空間，稱為零空間。 在n維向量空間V

3、中，零空間和空間V也是它的子空間，稱為它的平凡子空間，除此之外，V的其他子空間稱為它的非平凡子空間。 設1, 2 , ,m為一組n維向量，容易證明它的線性組合 是向量空間，稱為由向量1, 2 , ,m生成的向量空間，記為L(1, 2 , ,m)。 例3.4.3 如果向量組1, 2 , ,s與向量組1 2 ，r等價，則 L(1, 2 , ,s)=L(1 2 ，r)證 L(1, 2 , ,s)，則可由1, 2 , ,s線性表示出，又可由 1 2 ，r 線性表示出，所以 可由1 2 ，r 線性表示出，即 L(1 2 ，r)，因此L(1, 2 , ,s) L(1 2 ，r) 同理可證 L(1 2 ，r

4、) L(1, 2 , ,s)故 L(1, 2 , ,s)=L(1 2 ，r)3.4.2 基、維數與坐標定義3.4.2 設V是數域p上的向量空間，向量1, 2 , ,mV，如果 (1) 1, 2 , ,m線性無關； (2) V中任一向量都能由1, 2 , ,m表示出， 則稱 1, 2 , ,m為空間V的一組基（或基底），m稱為向量空間V的維數，記dimVm為，并稱V是數域p上的 m維向量空間。零空間的維數規定為零。 注意，向量空間的維數和該空間中向量的維數是兩個不同的概念。 將向量空間V的基的定義與向量組的極大線性無關組的定義相比較，不難看出，若把向量空間V看作一個向量組，那么它的基就是 V的一

5、個極大線性無關組，dimV就是V的秩。 容易證明，若向量空間V的維數是m，那么V中任意 m個線性無關的向量都是V的一組基；對于向量空間V的任一子空間V1，dimV1dimV2。對于向量空間Rn，基本單位向量1, 2, , n就是它的一組基，有dimRn=n,則稱Rn為n維實向量空間。 在四維向量空間R4中，向量組1=(0, 0,0,1), 2=(0,1,0,1), 3=(-1,2,0,1), 4=(1,0,2,1) 線性無關，所以它們也是 R4的一組基。 定義3.4.3 設1, 2 , ,m為向量空間V的一組基，V有則稱有序數組x1,x2, ,xm為向量在基1, 2 , ,m下的坐標。記為(x

6、1,x2, ,xm)。由定理3.2.2,向量的表示也是唯一的，因此基下1, 2 , ,m下的坐標也是唯一的。例3.4.4 設 1=( 1,0,2), 2=(1,0,1), 3=(-1,2,0),證明1,2, 3是向量空間R3的一組基，并求向量=( 2,-3,5)在這組基下的坐標。 證明 以向量1,2, 3為列向量做矩陣 A的行列式|A|20，所以1,2, 3線性無關, 因此它們是R3的一組基。 把1,2, 3代入，比較等式兩端向量的對應分量，可得線性方程組 設解之，得 于是向量在基1,2, 3下的坐標為 3.4.3 基變換與坐標變換我們知道，向量空間V的基不是唯一的，V中向量在不同的基下的坐標

7、一般是不同的。 下面討論V中不同的兩組基之間的關系與向量在不同的基下的坐標之間的關系。設1, 2 , ,m與1 2 ，m是向量空間V的兩組基,由基的定義，它們可以互相線性表出。用1, 2 , ,m表示1 2 ，m，則有 記由矩陣的乘法 (1 2 ,m)=(1,2 , ,m)P （3.4.1） 稱P為由基(1,2 , ,m) 到(1, 2,m) 的過渡矩陣， 式(3.4.1)稱為由基 (1,2 , ,m)到基 (1 2 ,m)的基底變換公式。 過渡矩陣P是可逆的。若不然，齊次線性方程組PX=O有非零解，設其一個解為=(k1,k2, ,km)T，于是 這意味著1 2 ,m線性相關。前面我們已經指出

8、，同一向量在不同基底下的坐標一般是不同的，那么坐標之間的關系如何呢？ 定理3.4.1 設 1, 2 , ,m與1 2 ，m是向量空間V的兩組基, 由1, 2 , ,m到1 2 ，m的過渡矩陣為P，如果V中任意元素在這兩組基下的坐標分別為(x1,x2, ,xm)T與 (y1,y2, ,ym)T，則（3.4.2） （3.4.2）稱為坐標變換公式。 證 由題設 由 則 由向量在基1,2 , ,m下坐標的唯一性, 得 或 證畢。 例3.4.4 已知R3中的二組基 ； 。 (1) 求由基 1, 2 , 3到1 2 3的過渡矩陣及坐標變換公式； (2) 求向量21 -2 -3 在基1, 2 , 3下的坐標； (3) 求由基1-22 +43在基1 2 3下的坐標。 解 （1）取R3中的基 則于是所以，由基 1, 2 , 3到1 2 3