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文檔簡介
1、第1章隨機事件及其概率(1)排列組合公式m!Pn=-從m個人中挑出n個人進行排列的可能數m(mn)!m!Cn從m個人中挑出n個人進行組合的可能數mn!(mn)!(2)加法和乘法原理加法原理(兩種方法均能完成此事):m+n某件事由兩種方法來完成,第一種方法可由m種方法完成,第二種方法可由n種方法來完成,則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理(兩個步驟分別不能完成這件事):mxn某件事由兩個步驟來完成,第一個步驟可由m種方法完成,第二個步驟可由n種方法來完成,則這件事可由mxn種方法來完成。(3)些常見排列重復排列和非重復排列(有序)對立事件(至少有一個)順序問題(4)隨機試驗和隨機事件如果一個
2、試驗在相同條件下可以重復進行,而每次試驗的可能結果不止一個,但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現哪個結果,則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結果稱為隨機事件。(5)基本事件、樣本空間和事件在一個試驗下,不管事件有多少個,總可以從其中找出這樣一組事件,它具有如下性質:每進行一次試驗,必須發生且只能發生這一組中的一個事件;任何事件,都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件,用來表示。基本事件的全體,稱為試驗的樣本空間,用0表示。一個事件就是由0中的部分點(基本事件)組成的集合。通常用大寫字母A,B,C,.表示事件,它們是0的子集。0為必然事件,0為不可能事件。不可能事
3、件(0)的概率為零,而概率為零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Q)的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的關系與運算關系:如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分(A發生必有事件B發生):AuB如果同時有AuB,B二A,則稱事件A與事件B等價,或稱A等于B:A=BOA、B中至少有一個發生的事件:AUB,或者A+Bo屬于A而不屬于B的部分所構成的事件,稱為A與B的差,記為A-B,也口表示為A-AB或者AB,匕表示A發生而B不發生的事件。A、B同時發生:AAB,或者AB。AAB=0,則表示A與B不可能同時發生,稱事件A與事件B互不相容或者互斥?;臼录腔ゲ幌嗳莸?。0
4、-A稱為事件A的逆事件,或稱A的對立事件,記為A。它表示A不發生的事件?;コ馕幢貙α?。運算:結合率:A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率:(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)AC=(AC)U(BC)AA.=UA德摩根率:-JAUB二AAB,AAB二AUB(7)概率設0為樣本空間,A為事件,對每一個事件A都有一個實數P(A),若滿足下列二個條件:的公理化定義10P(A)0,則稱P(AB)為事件A發生條件下,P(A)事件B發生的條件概率,記為P(B/A)=P(AB)。P(A)條件概率是概率的一種,所有概率的性質都適合于條件概率。例如P(Q/B)=1=P(b/A)=1
5、-P(B/A)(NTV-KCslP翁字1KS卍乂g0,則有P(B1A)=P3嘰尸(宀(嘰pP(A)P(A)若事件A、B相互獨立,則可得到刀與月、A與、忑與也都相互獨立。必然事件和不可能事件0與任何事件都相互獨立。0與任何事件都互斥。多個事件的沁性設ABC是_個事件,如果滿足兩兩獨立的條件,P(AB)二P(A)P(B);P(BC)二P(B)P(C);P(CA)二P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)二P(A)P(B)P(C)那么A、BsC相互獨az。對于n個事件類似。0+ul-R1rTlITH,k-1,2,,(2)k-i。(2)連續設F(x)是隨機變量X的分布函數,若存在非負函數f(x),對任
6、意實數X,有F(x)=Jxf(x)dx型隨機變g1則稱X為連續型隨機變量。f(x)稱為X的概率密度函數或密度函數,簡稱概量的分布率密度。密度密度函數具有下面4個性質:1f(x)0。卜f(x)dx=1g。(3)離散P(X=x)P(xXx+dx)f(x)dx與連續型積分兀f(x)dx在連續型隨機變量理論中所起的作用與P(X=xk)=Pk在離隨機變量散型隨機變量理論中所起的作用相類似。的關系(4)分布函數設X為隨機變量,x是任意實數,則函數F(x)=P(Xx)稱為隨機變量X的分布函數,本質上是一個累積函數。P(aXb)=F(b)-F(a)可以得到X落入區間(a,b的概率。分布函數F(x)表示隨機變量
7、落入區間(-8,x內的概率。分布函數具有如下性質:10F(x)1,一8x+8;2F(x)是單調不減的函數,即叫x2時,有F(叫)F(x2);3F(-8)二limF(x)二0,F(+Q二limF(x)二1;xT-8xT+84F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續的;5P(X=x)=F(x)-F(x-0)。對于離散型隨機變量,F(x)=工p;kxQxx對于連續型隨機變量,F(x)=Jf(x)dx。-8(5)八大分布0-1分布p(X=1)=p,P(X=0)=q二項分布在n重貝努里試驗中,設事件A發生的概率為P。事件A發生的次數是隨機變量,設為X,則X可能取值為0,1,2,n。P(X=k)=Pn(
8、k)=Ckpkqn-k,其中nq=1-p,0p0,k=0,1,2,k!則稱隨機變量X服從參數為九的泊松分布,記為X兀(九)或者卩(九)。泊松分布為二項分布的極限分布(np二入,n-8)。超幾何分布CkCn-kk=0,1,2,lP(X=k)=MNM,Cnl=min(M,n)N隨機變量X服從參數為n,N,M的超幾何分布,記為H(n,N,M)。幾何分布P(X=k)=qk-1p,k=1,2,3,,其中p0,q=1-p。隨機變量X服從參數為p的幾何分布,記為G(p)。0均勻分布設隨機變量X的值只落在a,b內,其密度函數f(x)在a,b上為常數丄,即b-a1f(x)=b。當ax1x2b時,X落在區間(S,
9、x2)內的概率為x-xP(xX0 x0為常數,則稱隨機變量X服從參數為卩、c的正態分布或高斯(Gauss)分布,記為XN(卩,c2)。f(x)具有如下性質:1f(x)的圖形是關于x=卩對稱的;x=卩時,/(卩)=為最大值;2兀c2當2ct2gx+8,若xn(,c2),則罡的分布函數為F(x)二fxe2c2dt2兀c8參數卩二0、c=1時的正態分布稱為標準正態分布,記為XN(0,1)1,其密度函數記為申(x)=e22兀分布函數為空x)=丄2兀(x)是不可求積函數,其函數值,已編制成表可供查用。e(-x)二i-e(x)且e(o)二-。如果xN(卩,c2),則JiN(0,1)。(x卩)。IG丿。12
10、e2dt。P(xXx)二12(6)分位下分位表:P(X卩)=a。a(7)函數分布離散型XVv.v.x2,%P(X=x)P1,“2,,P”,已知X的分布列為Y=g(X)的分布列(y,二g(xj互不相等)如下:YP(Y=y)g(X1),g(x2),lg(x”),若有某些g(xz)相等,則應將対應的pi相加作為g(x)的概率。連續型i先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數FY(y)二P(g(X)y),再利用變上下限積分的求導公式求出fY(y)。i/第三章二維隨機變量及其分布(1)聯合離散型分布如果二維隨機向量E(X,Y)的所有可能取值為至多可列個有序對(x,y),則稱E為離散型隨機量。設2=(
11、X,Y)的所有可能取值為(x,y)(i,j二1,2,),ij且事件2=(x,y)啲概率為Pi”稱P(X,Y)二(x,y)二p(i,j二1,2,)ijij為2=(X,Y)的分布律或稱為X和Y的聯合分布律。聯合分布有時也用下面的概率分布表來表示:Xyjx1P11P12P1jX2P21P22P2jxiPi1pij這里卩口具有下面兩個性質:連續型對于二維隨機向量(X,Y),如果存在非負函數f(x,y)(sx+s,y+s),使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區域D,即D二(X,Y)|axb,cy0;(2)J+寸+8f(x,y)dxdy=1.88(2)二維隨機變量的本質g(X=x,Y=y)=g(X=
12、xY=y)(3)聯合分布函數設(X,Y)為_維隨機變量,對于任意實數x,y,二兀函數F(x,y)=PXx,Yy稱為二維隨機向量(X,Y)的分布函數,或稱為隨機變量X和Y的聯合分布函數。分布函數是一個以全平面為其定義域,以事件(,)1一8X()x,gY()y的概率為函數值的一個實值函1212數。分布函數F(x,y)具有以下的基本性質:0F(x,y)x評寸,有F(x2,y)F(xx,y);當y2yx時,有F(x,y2)F(x,yx);F(x,y)分別對x和y是右連續的,即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);(4)F(8,g)=F(一8,y)=F(x,s)=0,F(+8,
13、+s)=1.(5)對于xx,y0.22211211(4)離散型與連續型的關系P(X=x,Y=y)qP(xXx+dx,yY0,。0,1pl1是5個參數,則稱(X,Y)服從二維正態分布,記為(X,Y)N(卩,卩。2,。2,p)12,12由邊緣密度的計算公式,可以推出維正態分布的兩個邊緣分布仍為正態分布,即XN(卩,。2),YN(卩。2).112,2但是右XN(卩,。2),YN(卩。2),(X,丫)未必是二維正態分布。(10)函數分布Z=X+Y根據定義計算:F(z)-P(Zz)-P(X+Y0,/、f(u)=i22r-12丿0,u0.我們稱隨機變量W服從自由度為n的x2分布,記為WX2(n),其中(n
14、、r-=宀x2_1e-xdx.12丿0所謂自由度是指獨立正態隨機變量的個數,它是隨機變量分布中的個重要參數。X2分布滿足可加性:設Y-x2(n),ii則Z=丈Yx2(n+nH卜n)i12ki=1t分布F分布設X,Y是兩個相互獨立的隨機變量,且可以證明函數的概率密度為rf(t)=XN(0,1),Yx2(n),T=JY/nn+12(一8t+8).我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布,記為Tt(n)。(n)二-t(n)1-aa設Xx2(n),Yx2(n),且X與Y獨立,可以證明12X/nF=1的概率密度函數為Y/n2n+n12丿I2丿I2(nrrI2丿(、牛、n2專-1n1y21+亠y1n丿1n丿
15、0,y0我們稱隨機變量F月服從第一個自由度為n1,第二個自由度為n2的F分布,記為Ff(nn2).仁叫n2)=卅萬a21第四章隨機變量的數字特征(1)離散型連續型-維期望設X是離散型隨機變量,其分設X是連續型隨機變量,其概率隨機期望就是平均值布律為P(X二x)二Pk,k密度為f(x),變量k=1,2,.n,E(X)-Jxf(x)dx的數E(X)二工xpkkg(要求絕對收斂)字特k-1征(要求絕對收斂)函數的期望Y=g(X)Y=g(X)E(Y)-工g(x)pkkE(Y)-fg(x)f(x)dxk-1g方差D(X)-丁xE(X)2f(x)dxD(X)二EX-E(X)2,D(X)-工x-E(X)2p
16、kkkg標準差&(x),矩對于正整數k,稱隨機變量X的k次幕的數學期望為X的k階原點矩,記為vk,即vk=E(Xk)=工xkp,iiik=1,2,.對于正整數k,稱隨機變量X與E(X)差的k次幕的數學期望為X的k階中心矩記為卩,k即卩二E(X-E(X)kk=工(x-E(X)kp,iiik=1,2,.對于正整數k,稱隨機變量X的k次幕的數學期望為X的k階原點矩,記為vk,即vk=E(Xk)二J+8xkf(x)dx,gk=1,2,.對于正整數k,稱隨機變量X與E(X)差的k次幕的數學期望為X的k階中心矩,記為卩,即k卩二E(XE(X)kk=J+8(xE(X)kf(x)dx,8k=1,2,.切比雪夫
17、不等式設隨機變量X具有數學期望E(X)=m,方差D(X)=O2,則對于任意正數有下列切比雪夫不等式.C2P(X-8)8)的一種估計,匕在理論上有重要意義。M冰君盜曲自刖吉63H?-刖吉盜乙H?WS-11百!tuz5sssss54321s“S“S“S“S/sSsS4321*“*“*“*“emmmW+VII二IIcyffl瓷0t1IM廿-qxXX-Hj2j二YII吻IM盤時、.c來、.貝上、丿2a+0NP11AnppN廠11M丿、Ni30211PA屯Z1pZ1指數分布e(九)1九1九2正態分布N(卩,Q2)b2X2分布n2nt分布0n(n2)n2(5)期望E(X)=xpiiE(X)=fxf(x)d
18、xX二維i=1g隨機E(Y)=ypjjj=1E(Y)=Jyf(y)dyYg變量函數的期望EG(X,Y)二EG(X,Y)二的數MG(x,y)pijijij+g+gJJG(x,y)f(x,y)dxdy字特征gg方差D(X)=x-E(X)2piiD(X)=fxE(X)2f(x)dxXgiD(Y)=Yx-E(Y)2pjj/+gD(Y)=JyE(Y)2f(y)dyYg協方差對于隨機變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩卩為X與Y的協方差或相關矩,記為b或cov(X,I),即XYb=卩=E(X-E(X)(Y-E(Y).XY11與記號b相對應,X與Y的方差D(X)與。(丫)也可分別記為XYbXX與bYY。相關系
19、數對于隨機變量X與Y,如果D(X)0,D(Y)0,則稱aXY4D(x)D(y)為X與Y的相關系數,記作p(有時可簡記為p)XY|p|0),負相關,當p=1時(a0),而當p=0時,稱X與Y不相關。以下五個命題是等價的:p=0;XYcov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).協方差矩陣XXXY&aJvYXYYy混合矩對于隨機變量X與Y,如果有E(XkYi)存在,則稱之為X與丫的k+l階混合原點矩,記為v;k+l階混合中心矩記為:klu二E(XE(X)k(YE(Y)1.ki(6)(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);協
20、方(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);差的(iii)cov(X+X2,Y)二cov(X,Y)+cov(X2,Y);性質(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(7)(i)若隨機變量X與Y相互獨立,則P-0;反之不直。XY獨立(ii)若(X,Y)N(卩,卩Q2Q2,P),1212和不則X與Y相互獨立的充要條件是X和Y不相關。相關第五章大數定律和中心極限定理(1)大數定律XT卩切比雪夫大數定律設隨機變量X,X2,相互獨立,均具有有限方差,且被同一常數C所界:D(X)C(i=1,2,),則對于任意的正數有-工X-工E(X)sl=1.nini/i=1i=1丿limPns
21、特殊情形:若X,X2,具有相同的數學期望E(Xi)=m,limP則上式成為=1.丿伯努利設P是n次獨立試驗中事件A發生的次數,p是事件A在大數定每次試驗中發生的概率,則對于任意的正數有(-Pn丿二1.limPns伯努利大數定律說明,當試驗次數n很大時,事件A發生的頻率與概率有較大判別的可能性很小,即limPns這就以嚴格的數學形式描述了頻率的穩定性。辛欽大數定律設X1,XE(Xn)什limP-nT8切,Xn,疋,二P,則對于任意(Ip)X|L1&ni丿i-1丿相互獨立同分布的隨機變量序列,且的正數有-1.(2)中心極限定理CJ2XTN(卩,)n列維-林德伯格定理設隨機變量X,X2,相互獨立,服
22、從同一分布,且具有相同的數學期望和方差:E(X)二卩,D(X)=2豐0(k二1,2,),則隨機變量kkXnykY-in4n的分布函數Fn(x)對任意的實數x,有X-nyr2k1rt2limF(x)-limP十Jxe2dt.nT8nnT8nd屮2兀8此疋理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗-拉普拉斯定理設隨機變任意實數-limPnT8量X為具有參婁n攵X,有rXnpnX*np(1p)攵n,p(0p:Jxe2dt.v2兀8(3)_項定理若當NT8時,MtP(n,k不變)貝gN人CkCn-kMN-MTCkpk(1-p)nk(NT8).CnnN超幾何分布的極限分布為二項分布。(4)泊松定理若當nT
23、8時,npT九0,貝Q九kCkpk(1-p)n-kte_九(nth).nk!其中k=0,1,2,.,n,.。二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)數理統計的基本概念總體在數理統計中,常把被考察對象的某一個(或多個)指標的全體稱為總體(或母體)我們總是把總體看成一個具有分布的隨機變量(或隨機向量)個體總體中的每一個單元稱為樣品(或個體)樣本我們把從總體中抽取的部分樣品x,x,x稱為樣本。樣本12n中所含的樣品數稱為樣本容量,一般用n表示。在一般情況下,總是把樣本看成是n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機變量,這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結果時,x,x,,x表
24、示n個隨機變量(樣本);在具體的一次12n抽取之后,x,x,x表示n個具體的數值(樣本值)我們12n稱之為樣本的兩重性。樣本函數和統計量設x,x,x為總體的一個樣本,稱12nP=p(x,x,x)12n為樣本函數,其中p為一個連續函數。如果p中不包含任何未知參數,則稱p(x,x,x)為一統計量。12n常見統計量及其性質樣本均值樣本方差x=1工x.nii=1S2=1刃(x;-x)2.in-1i=1樣本標準差S=11Y(xx)2.Fn1i“i=1樣本k階原點矩M=工xk,k=1,2,.knii=1樣本k階中心矩M=-!-工(x-x)k,k=knii=12,3,.b2E(X)=r,D(X)=nfn1E
25、(S2)=b2,E(S*2)=b2,n其中s*2=-工(X-X)2,為二階中心矩。n1i=1(2)正態正態分布設x,x,x為來自正態總體N(UQ2)的一個樣本,則樣12n總體下的本函數四大分布u苗x-UN(0,1).bhjnt分布設x,x,x為來自正態總體N(PQ2)的個樣本,則樣12n本函數廿一二t(n-1),s/屯;n其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。X2分布設x,x,x為來自正態總體N(RQ2)的一個樣本,則樣12n本函數w塑(n-1)S2X2(n-1),Q2其中X2(n-1)表示自由度為n-1的X2分布。F分布設x,x,x為來自正態總體N(卩Q2)的個樣本,而12n1y,y,
26、y為來自正態總體N卩q2)的一個樣本,則樣本2n2函數F塑Sj/o1f(n1,n-1),S2/o21222其中S2=-5(xx)2,S2二-藝(y-y)2;1n1i2n1z*1i=12i=1F(化-n2-1)表示第一自由度為n1-1,第二自由度為121n1的F分布。2(3)正態總體下分布的性質X與S2獨立。第七章參數估計(1)點矩估計估計設總體x的分布中包含有未知數e,0,,0,則其分布函數可以表TOC o 1-5 h z12m成F(x;0,0,0)它的k階原點矩v二E(Xk)(k二1,2,m)中12mk也包含了未知參數0,0,,0,即v=v(0,0,0)。又設12mkk12mx,x,x為總體
27、X的n個樣本值,其樣本的k階原點矩為12nXk(k=1,2,m).nii=1這樣,我們按照當參數等于其估計量時,總體矩等于相應的樣本矩的原則建立方程,即有v(0Q,,0A)=1Hx,TOC o 1-5 h z112mnii=1v(0A,0A,,0A)=1Hx2,212mniv(0,0,,0)=丄工xm.m12mnii=1由上面的m個方程中,解出的m個未知參數(&,0A,0A)即為參數12m(0,0,0)的矩估計量。12m若宀為0的矩估計,g(x)為連續函數,則g(0)為g(0)的矩估計。極大似當總體X為連續型隨機變量時,設其分布密度為然估計f(x;e,0,月),其中0,0,&為未知參數。又設1
28、2m12mx,x,x為總體的一個樣本,稱12nL(0,0,0)=Hf(x;0,0,0)i=1為樣本的似然函數,間記為Ln.當總體X為離型隨機變量時,設其分布律為PX=x=p(X;01,02,0),則稱mL(x,x,x;0,0,0)=Hp(x;0,0,,0)i=1為樣本的似然函數。若似然函數L(x,x,-12,x;0,0,0)在01,02,,0處取n12m1m到最大值,則稱0丿2,0m分別為Ge,0的最大似然估計值,1m12m相應的統計量稱為最大似然估計量。dlnL=0,i=1,2,m0=0.iin00i若$為0的極大似然估計,g(x)為單調函數,則g(0)為g(0)的極大似然估計。(2)估無偏性設q,叮,叮為未知參數0的估計量。若E(0)=0,則計量的稱0為0的無偏估計量。評選標E(X)=E(X)E(S2)=D(X)準有效性設011(x,x,,x)和e22(x,
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