1、6.5 曲面與空間曲線6.5.1 曲面與空間曲線的一般概念 求到兩定點A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明 動點軌跡為線段 AB 的垂直平分面.引例顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程, 不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解 設軌跡上的動點為軌跡方程. 如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關系:(1) 曲面 S 上的任意點的坐標都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.兩個基本問題 :(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2) 不在曲面 S 上的

2、點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀故所求方程為例6.15 求動點到定點方程. 特別,當M0在原點時,球面方程為解 設軌跡上動點為即依題意距離為 R 的軌跡表示上(下)球面 .例6.16 研究方程解 配方得此方程表示:如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. 表示怎樣半徑為的球面.球心為 一個球面, 或點, 或虛軌跡.6.5.1 曲面與空間曲線的一般概念 空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線 C. C6.5.1 曲面與空間曲線的一般概念 又如,方程組表示上半球面與圓

3、柱面的交線C. 6.5.1 曲面與空間曲線的一般概念 將曲線C上的動點坐標x, y, z表示成參數t 的函數:稱它為空間曲線的 參數方程.例如,圓柱螺旋線的參數方程為上升高度, 稱為螺距 .6.5.2 母線平行于坐標軸的柱面方程引例 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標也滿足方程解:在 xoy 面上，表示圓C, 沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面在圓C上任取一點 其上所有點的坐標都滿足此方程,定義6.4平行定直線并沿定曲線C 移動的直線l形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準線為xoy 面上的拋

4、物線. z 軸的橢圓柱面.z 軸的平面.表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準線, l 叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準線 xoy 面上的曲線 l1.母線準線 yoz 面上的曲線 l2. 母線6.5.3 以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面一條平面曲線 繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸 .例如 :6.5.3 以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為當繞 z 軸旋轉時,若點給定 yoz 面上曲線 C: 則有則有該點轉到6.5.3 以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面思考 當曲線 C 繞 y 軸旋轉時，方程如何？6.5.3 以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面例6.17