1、整理文本整理文本.整理文本.?高等數學?授課教案第一講 高等數學學習介紹、函數教學目的：了解新數學認識觀，掌握根本初等函數的圖像及性質；熟練復合函數的分解。重 難 點：數學新認識，根本初等函數，復合函數教學程序：數學的新認識函數概念、性質分段函數根本初等函數復合函數初等函數例子定義域、函數的分解與復合、分段函數的圖像授課提要：前 言：本講首先是?高等數學?的學習介紹，其次是對中學學過的函數進行復習總結函數本質上是指變量間相依關系的數學模型，是事物普遍聯系的定量反映。高等數學主要以函數作為研究對象，因此必須對函數的概念、圖像及性質有深刻的理解。一、新教程序言1、為什么要重視數學學習1文化根底數學

2、是一種文化，它的準確性、嚴格性、應用廣泛性，是現代社會文明的重要思維特征，是促進社會物質文明和精神文明的重要力量；2開發大腦數學是思維訓練的體操，對于訓練和開發我們的大腦左腦有全面的作用；3知識技術數學知識是學習自然科學和社會科學的根底，是我們生活和工作的一種能力和技術；4智慧開發數學學習的目的是培養人的思維能力，這種能力為人的一生提供持續開展的動力。2、對數學的新認識1新數學觀數學是一門特殊的科學，它為自然科學和社會科學提供思想和方法，是推動人類進步的重要力量；2新數學教育觀數學教育學習的目的：數學精神和數學思想方法，培養人的科學文化素質，包括開展人的思維能力和創新能力。整理文本整理文本.整

3、理文本.3新數學素質教育觀數學教育學習的意義：通過“數學素質而培養人的“一般素質。見教材“序言二、函數概念1、函數定義：變量間的一種對應關系單值對應。用變化的觀點定義函數，記：說明表達式的含義 (1)定義域：自變量的取值集合D。 (2)值 域：函數值的集合，即。 例1、求函數的定義域？2、函數的圖像：設函數的定義域為D，那么點集 就構成函數的圖像。例如：熟悉根本初等函數的圖像。3、分段函數：對自變量的不同取值范圍，函數用不同的表達式。 例如：符號函數、狄立克萊函數、取整函數等。分段函數的定義域：不同自變量取值范圍的并集。例2、作函數的圖像？例3、求函數三、根本初等函數 熟記：五種根本初等函數的

4、定義域、值域、圖像、性質。四、復合函數：設y=f(u),u=g(x)，且與x對應的u使y=f(u)有意義，那么y=fg(x)是x的復合函數，u稱為中間變量。說 明：(1)并非任意幾個函數都能構成復合函數。 如：就不能構成復合函數。 (2)復合函數的定義域：各個復合體定義域的交集。(3)復合函數的分解從外到內進行；復合時，那么直接代入消去中間變量即可。 例5、設例6、指出以下函數由哪些根本初等函數或簡單函數構成？ (1) (2) (3) 整理文本整理文本.整理文本.五、初等函數：由根本初等函數經有限次復合、四那么運算而成的函數，且用一個表達式所表示。說 明：1一般分段函數都不是初等函數，但是初等

5、函數； 2初等函數的一般形成方式：復合運算、四那么運算。思考題：1、 確定一個函數需要有哪幾個根本要素？ 定義域、對應法那么2、 思考函數的幾種特性的幾何意義？ 奇偶性、單調性、周期性、有界性3、任意兩個函數是否都可以復合成一個復合函數？你是否可以用例子說明？不能探究題： 圖15 時間 一位旅客住在旅館里，圖15描述了他的一次行動，請你根據圖形給縱坐標賦予某一個物理量后，再表達他的這次行動.你能給圖15標上具體的數值，精確描述這位旅客的這次行動并用一個函數解析式表達出來嗎？ 小 結：函數本質上是指變量間相依關系的數學模型，是事物普遍聯系的定量反映；復合函數反映了事物聯系的復雜性；分段函數反映事

6、物聯系的多樣性。作 業：P4A：2-3；P7A：2-3課堂練習初等函數【A組】1、求以下函數的定義域？(1) (2) (3) (x-1) (4) 2、判定以下函數的奇偶性？(1) (2) (3) 3、作以下函數的圖像？(1) (2) (3) 整理文本整理文本.整理文本.4、分解以下復合函數？(1) (2) (3) (4) 【B組】1、證明函數為奇函數。2、將函數改寫為分段函數，并作出函數的圖像？3、設？4、設=，求，？數學認識實驗： 初等函數圖像認識1、冪函數：如2、指數與對數函數：如 3、三角函數與反三角函數： 4、多項式函數：整理文本整理文本.整理文本. 5、分段函數： 第二講 導數的概念

7、一、極限與導數教學目的：復習極限的概念及求法；理解導數的概念，掌握用定義求導數方法。重 難 點：求極限，導數定義及由定義求導法教學程序：極限的定義及求法例導數的引入速度問題導數的概念導數與極限根本初等函數的導數定義法例子簡單授課提要：前 言：在前面的教學中，我們已討論了變量間的關系(函數)，本節將復習函數的變化趨勢(極限)，在此根底上討論函數的變化率問題即函數的導數。導數是高數的重點，它的本質是極限比值的極限，在現實中有極豐富的應用。一、理論根底極 限復習1、極限的概念略講函數在某點的極限定義2、極限的四那么運算法那么略整理文本整理文本.整理文本.3、求函數的極限幾類函數的極限1假設為多項式，

8、那么例1：求以下極限(1) (2) (3) 2假設為有理分式且,那么代入法例2：求以下極限(1) (2) (3) 3假設分式,當時，那么用約去零因子法求極限例3：求以下極限(1) (2) (3) 4假設分式,當時，分子分母都是無窮大，那么適用無窮小分出法求極限。例4：求以下極限(1) (2) (3) 3、兩個重要極限1 2說明：其中可以是的形式，且當時，。例5：求以下極限(1) (2) (3) (4) 二、導數定義復習增量的概念引例1、速度問題自由落體運動引例2、切線問題曲線整理文本整理文本.整理文本. 以上兩個事例具體含義各不相同，但從抽象的數量關系來看，都是要求函數y關于自變量x在某一點處

9、的變化率，即計算函數增量與自變量增量比值的極限，這種特殊的極限就是函數的導數。解決問題的思路：1、 自變量x作微小變化x，求出函數在自變量這個小段內的平均變化率，作為點處變化率的近似值；2、 對求x0的極限，假設它存在，這個極限即為點處變化率的精確值。定 義：設函數在點及附近有定義，當在點取得增量時，相應函數取得增量，假設當時，比值的極限存在，那么稱此極限值為在處的導數或微商。記，即說明：(1)比值是函數在上的平均變化率；而是在處的變化率，它反映函數在點隨自變量變化的快慢程度；(2)假設不存在包括，那么稱在點不可導；(3)假設在a,b)內每點可導，那么稱函數在a,b內可導，記，稱為導函數，簡稱

10、導數。(4)f(x)是x的函數，而f(x0)是一個數值，f(x)在點處的導數f(x0)就是導函數f(x)在點x0處的函數值。三、導數與極限的關系導數是一種特殊比值的極限，即有導數-有極限，反之不成立。四、根本初等函數的導數定義 由定義知求函數導數的步驟：三步驟1求增量；2求比值；3求極限。例6、由定義求函數的導數？整理文本整理文本.整理文本.例7、由定義求函數的導數？推導思考題：1、 是否存在，為什么？02、假設曲線= 在處切線斜率等于 3 ，求點的坐標。3、 ，利用導數定義求極限。0探究題：從求變速直線運動物體的瞬間速度問題解決方法中，你對“極限法有什么體會？ 近似轉化為精確的數學方法小 結

11、：導數的本質從微觀局部上研究非均勻量如：速度、密度、電流、電壓等的變化率問題，是處理非均勻量的“除法；其思想方法：(1)在小范圍內以“勻代“不勻或“不變代“變，獲得近似值；(2)利用極限思想使“近似值轉化為“精確值。從函數的觀點看，導數是描述函數的局部線性形態，即可導函數表示的曲線在局部都可以近似為一條直線切線，憑著切線的斜率，可以研究函數的整體性質導數應用中的單調性、極值等。作 業：P22A：1-3；B：3-4課堂練習導數的概念一【A組】1、求以下極限 (1) (2) (3) 4 5 62、求極限？ 3、求極限：？4、，求a的值？ 25、用導數定義，求函數在x=1處的導數？整理文本整理文本.

12、整理文本.6、設物體的運動方程為，求(1)物體在t=2秒和t=3秒間的平均速度？(2)求物體在t=2秒時的瞬時速度？【B組】1、設？ 2、設函數？ 23、證明導數公式：4、一藥品進入人體t小時的效力，求t=2,3,4時的效力E的變化率？5、設 A 。A、左右導數都存在 B、左導數存在，右導數不存在C、右導數存在，左導數不存在 D、都不存在6. 假設為常數，試判斷以下命題是否正確。全部1在點 處可導； 2在點 處連續；3= ；數學認識實驗： 兩個重要極限的圖像認識1、極限：整理文本整理文本.整理文本.2、極限：3、等價無窮小的直觀認識：第三講 導數的概念二教學目的：熟悉導數根本公式；理解導數的幾

13、何意義，會求切線方程。整理文本整理文本.整理文本.重 難 點：根本導數公式，導數的幾何意義求切線方程教學程序：復習導數定義根本導數公式例子求導數導數的幾何意義例子切線方程導數的物理意義例子授課提要：一、根本初等函數的導數例1、求的導數？由導數的定義推導于是我們有公式：同樣，由定義可得根本初等函數的導數公式： 二、導數的運算法那么u,v為可導函數1、代數和：2、數 乘： 例2、求以下函數的導數(1) (2) (3) (4) 例3、求函數在給定點的導數值？(1) (2) 三、導數的幾何意義作圖說明 結論：表示曲線y=f(x)在點x0,f(x0)的切線斜率。例4、求曲線在點(1,0)處的切線方程？例

14、5、設f(x)為可導函數，且，求曲線y=f(x)在點1,f(1)處的切線斜率？ 導數定義及幾何意義四、導數的物理意義 結論：設物體運動方程為，那么表示物體在時刻t的瞬間速度。例6、設物體的運動方程為，求物體在時刻t=1時的速度？例7、求曲線上一點，使過該點的切線平行于直線整理文本整理文本.整理文本.。例8、設某產品的本錢滿足函數關系：(x為產量)，求x=2時的邊際本錢，并說明其經濟意義。思考題： 與有無區別？，探究題：導數的值可不可以為負值？舉例說明。可以小 結：導數的美學意義：局部線性之美。它將可導曲線在局部線性化，它是由函數局部性質研究函數整體性質的工具和方法。作 業：P25A：1；P28

15、A：1，3課堂練習導數概念二【A組】1、求以下函數的導數(1) (2) (3) (4) (5) 2、求以下函數的導數(1) (2) (3) (4) 3、求函數在x=1處的導數值？4、設5、設物體的運動方程為，求時刻t=3時的速度？6、 拋物線 = 在何處切線與軸正向夾角為，并且求該處切線的方程.【B組】1、一球體受力在斜面上向上滾動，在t秒末離開初始位置的距離為，問其初速度為多少？何時開始向下滾動？2、曲線與相交于點1，1，證明兩曲線在該點處相切，并求出切線方程？數學認識實驗： 導數的幾何意義和美學價值整理文本整理文本.整理文本.PQ1、導數的定義切線問題2、導數的幾何意義：3、導數的美學意義

16、：曲線的局部線性化。1在x=0處比較：曲線與切線；2在x=1處比較：曲線與切線。 第四講 求導公式與求導法那么一整理文本整理文本.整理文本.教學目的：掌握根本導數公式與導數運算法那么，會求簡單函數的導數。重 難 點：根本導數公式與法那么教學程序：根本公式運算法那么例子二階導數的定義及求法授課提要：一、根本導數公式 由導數的定義，我們可以得到如下根本導數公式：二、導數的四那么運算法那么設u、v為可導函數，那么1、 2、3、 4、例1、求以下函數的導數(1) (2) (3) (4) 例2、求函數在給定點的導數值？(1) (2) 例3、設例4、曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？三、二階導數1、定義

17、：假設導函數再求導數，稱為的二階導數。記：2、求法：由定義知，求二階導數的方法與求一階導數的方法一致。例5、求以下二階導數(1) (2) (3) (4)整理文本整理文本.整理文本.3、二階導數的物理意義 設物體的運動規律為：，那么表示物體在時刻t的加速度。例6、設物體的運動方程為：，求t=2時的速度和加速度？思考題： 1. 思考以下命題是否成立？(1)假設，在點處都不可導，那么點處也一定不可導.答：命題不成立.如：= =，在 = 0 處均不可導，但其和函數+= 在= 0 處可導.(2)假設在點處可導,在點處不可導，那么+在點處一定不可導.答：命題成立.原因：假設+在處可導，由在處點可導知=+在

18、點處也可導，矛盾.探究題：某產品的需求方程和總本錢函數分別為，其中為銷售量，為價格。求邊際利潤，并計算和時的邊際利潤，解釋所得結果的經濟意義。導數的經濟意義 小 結：導數的物理意義更深層次反映了導數的本質：研究非勻速物體運動的變化率。指路程對時間的變化率，指速度對時間的變化率。二階導數的幾何意義：反映曲線的凹向。作 業：P30A：1-2小知識：數學的三次危機第一次數學危機：無理數的產生。單位正方形的對角線長第二次數學危機：微積分的產生和完善。極限和無窮小的定義整理文本整理文本.整理文本.第三次數學危機：集合論的產生。羅素悖論課堂練習導數公式與法那么一【A組】1、求以下導數(1) (2) (3)

19、 (4) 2、曲線在何處有水平切線？ x=-2/33、曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？e4、求以下二階導數(1) (2) (3) 【B組】1、設曲線在點(1,1)處的切線與x軸的交點為(xn,0)，求極限？2、假設？ 13、設，求？ -24、，二階連續可導，求？ 5、設某種汽車剎車后運動規律為，假設汽車作直線運動，求汽車在秒時的速度和加速度。數學認識實驗： 函數與導函數的圖像比較整理文本整理文本.整理文本.第五講 求導法那么二、連續與導數教學目的：了解函數的連續性的概念，理解連續與導數的關系。重 難 點：根本導數公式，連續的幾何直觀、連續與可導的關系教學程序：復習根本導數公式、法那么連續概

20、念極限定義連續的條件初等函數的連續性可導與連續例連續函數的極限例子授課提要：一、復習根本導數公式和法那么 舉 例：略二、連續的概念作圖直觀理解 1、定 義：設函數在x0點及附近有定義，當時,有，那么稱f(x)在x0點連續。說明：連續是一種特殊的極限。連續有極限，反之不成立。例1、試證在x=0處連續？三、函數連續的條件f(x)在x0點及附近有定義f(x)在x0點的極限存在極限值等于函數值。整理文本整理文本.整理文本.例2、討論函數在x=0處的連續性？四、初等函數的連續性 初等函數在定義區間內都是連續的。其圖像是一條連綿不斷的曲線。五、可導與連續1、可導與連續的圖象特征1連續函數的圖像是一條連綿不

21、斷的曲線。作圖例如 2可導函數的圖像不僅連綿不斷，并且曲線具有平滑性無尖點、折點2、可導與連續的關系定理：假設函數f(x)在x0點可導，那么f(x)在點x0連續；反之，結論不成立。例3、試證函數在x=0點連續但不可導。例4、試證函數在x=0點連續但不可導,但切線存在。3、極限、連續、可導之間的關系xyOy=|x| 可導連續有極限；反之不一定成立。如在x=0處。1xyOy=-1-11六、連續函數的極限假設f(x)在x0點連續，那么例5、求以下極限1 (2) 3 (4) 例6、討論在x=0處的連續性？整理文本整理文本.整理文本.思考題： 1如果在處連續，問|在處是否連續？ 連續2 如果在處可導，問

22、|在處是否可導？ 不一定3求函數的間斷點，并判斷其類型。探究題：作圖說明函數不可導點的類型。不連續點、尖點、折點小 結：連續函數的美學意義：和諧與奇異之美。連續表達的是自然和諧、社會開展的生生不息；間斷那么表現為不規那么和與眾不同，表達了自然界的豐富多彩和社會開展中的跳躍性。作 業：P34A：1-2；復習題2-5課堂練習求導公式與法那么二【A組】1、求以下函數的導數(1) (2) (3) (4) 2、求函數在x=1處的導數值？3、求曲線在點-1，0處的切線方程？ 4、試定義f(0)的值，使函數在x=0處連續？5、設，問a為何值時，函數在x=0處連續？2【B組】1、作函數的圖像？2、設函數f(x

23、)在x=2處連續，且，求？ 2整理文本整理文本.整理文本.3、設f(x)有連續導數，？ 124、設，問a,b為何值時，函數f(x)處處連續、可導？5、x=1是函數的 B A連續點 B可去間斷點 C跳躍間斷點 D無窮間斷點*6、假設f(x)在0，a上連續，且f(0)=f(a)，試證：方程在0，a內至少有一個實根。 提示：作新函數，在上使用零點存在定理數學認識實驗： 不可導點的類型1、連續而不可導的點尖、折點如： 2、不連續點為不可導點：整理文本整理文本.整理文本. 第六講 定積分的概念教學目的：了解定積分的概念，理解定積分的幾何意義。重 難 點：作為面積的定積分概念教學程序：提出問題解決問題思想

24、定積分定義定積分的幾何意義例子定積分的性質簡單授課提要：前 言：在自然科學、工程技術和經濟學的許多問題中，經常會遇到各種平面圖形的面積計算。對于三角形、四邊形及直多邊形和圓的面積，可以用初等數學的方法計算，但由任一整理文本整理文本.整理文本.連續圍成的圖形的面積就不會計算。下面討論由連續曲線所圍成的平面圖形的面積的計算方法。一、問題引入1、曲邊梯形的定義所謂曲邊梯形是指有三條直線段，其中兩條相互平行，第三條與這兩條相互垂直，第四條邊為一條連續曲線所圍成的四邊形。如下列圖 2、引 例：如何求曲線所圍成的面積？(特殊曲邊梯形)1分析問題假設將曲邊梯形與矩形比較，差異在于矩形的四邊都是直的，而曲邊梯

25、形有一條邊是曲的。設想：用矩形近似代替曲邊梯形。為了減少誤差，把曲邊梯形分成許多小曲邊梯形，并用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。當分割越細，所得的近似值越接近準確值，通過求小矩形面積之和的極限，就求得了曲邊梯形得面積。y2解決問題思路y=x2第一步：分割第二步：近似代替第三步：求和01x第四步：取極限二、定積分的定義現實中許多實例，盡管實際意義不同，但解決問題的方法是一樣的：按“分割取近似，求和取極限的方法，將所求的量歸結為一個和式極限。我們稱這種“和式極限為函數的定積分。定 義： 說明定積分中各符號的稱謂由定積分的定義知，以上實例可以表示成定積分：面積說 明：定積分是一個特殊的和式極限

26、，因此，它是一個常量，它只與被積函數f(x)、積分區間a,b有關，而與積分變量用何字母表示無關。三、定積分的幾何意義作 圖當函數f(x)在a,b上連續時，定積分可分成三種形式：整理文本整理文本.整理文本.1、假設在a,b上，那么定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A，即2、假設在a,b上，那么定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A的相反數，即3、假設在a,b上，f(x)可正可負，那么定積分表示x軸上方圖形的面積A1與下方圖形的面積A2之差，即結論：定積分的幾何意義：“有號面積， 即。例1、用定積分幾何意義判定以下積分的

27、正負：1 2例2、用定積分表示由曲線y=x2+1,直線x=1,x=3和y=0所圍成的圖形面積？四、定積分的性質簡略1 2 34積分中值定理： 設函數f(x)在以a，b為上下限的積分區間上連續，那么在a，b之間至少存在一個中值，使 =f()(ba)y=f(x)xyOabf()積分中值定理有以下的幾何解釋：假設f(x)在a，b上連續且非負，定理說明在a，b上至少存在一點，使得以a，b為底邊、曲線y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積，與同底、高為f()的矩形的面積相等，如下列圖因此從幾何角度看，f()可以看作曲邊梯形的曲頂的平均高度；從函數值角度上看，f()理所當然地應該是f(x)在a，b上的平均值因

28、此積分中值定理這里解決了如何求一個連續變化量的平均值問題思考題：1、 用定積分的定義計算定積分,其中為一定常數。矩形的面積2、 如何表述定積分的幾何意義？根據定積分的幾何意義求以下積分的值：1, 2, 3, 4.探究題：用定積分的符號、定義、結果、方法等說明“什么是定積分？整理文本整理文本.整理文本.小 結：定積分的本質：從宏觀整體研究非均勻量的“改變量問題。是處理非均勻量的“乘法；其思想方法：(1)在小范圍內以“不變代“變，獲得近似值；(2)利用極限思想使“近似值轉化為“精確值。其中，“分是為了“勻的需要，而“求和是整體量的要求。作 業：P40A：1-3課堂練習定積分的概念【A組】一、判定正

29、誤：1、定積分表示曲邊梯形的面積。 F 2、定積分的值與被積函數f(x)、積分區間a,b及積分變量x有關。F3、 T 4、 F 二、用定積分表示面積：(1)曲線 (2)由方程所確定的圓的面積？三、 用定積分的定義計算定積分,其中為一定常數。【B組】一、由定積分的幾何意義計算：？ 二、由定積分的幾何意義求直線所圍成的平面圖形的面積？三、用定積分的定義求曲線所圍成的平面圖形的 面積？數學認識實驗： 定積分思想的幾何直觀1、函數在0,1上所圍成的面積分析：1步長為0.1的分割。n=10整理文本整理文本.整理文本.2步長為0.05的分割。n=203步長為0.01的分割。n=100第七講 定積分與導數教

30、學目的：掌握原函數的概念及N-L公式。整理文本整理文本.整理文本.重 難 點：作為路程的定積分、微積分根本定理教學程序：復習定積分概念和式極限原函數N-L公式求路程推導NL公式計算方法定積分的計算簡單授課提要：前 言：定積分是一個重要的概念，如果用定義來計算，計算復雜且不易，所以必須尋找新的計算方法。下面將研究定積分與導數的關系。一、原函數的概念定 義：假設在某一區間上有，那么稱F(x)是f(x)的一個原函數。如：，所以是2x的一個原函數，同理，也是它的原函數。說明：原函數不唯一*二、變上限函數設函數f(x)在a,b上連續，且，那么稱函數為變上限函數。記。它有如下性質：(1)；(2)假設在a,

31、b上連續，那么在a,b上可導，且有。由性質(2)及原函數的定義知，p(x)是f(x)的一個原函數。定 理原函數存在定理假設f(x)在a,b上連續，那么其原函數一定存在，且原函數可表示為例1、求 ？ 例2、求 ？三、NL公式直觀推導設一輛汽車作變速直線運動如圖，從時刻a到b，求其經過的路程？1假設路程函數，那么；2假設速度函數，那么由定積分有；3s(t)與v(t)有如下關系：，即s(t)是v(t)的一個原函數。一般地，有如下定理：設函數f(x)在區間a,b上連續，F(x)是f(x)的一個原函數，那么整理文本整理文本.整理文本.說 明：(1)NL公式揭示了定積分與原函數不定積分間的聯系，給定積分的

32、計算提供了有效而簡便的方法。 (2)由定義知求定積分的步驟：求原函數 求原函數的增量例3、求以下定積分：1 2 3例4、求由曲線，直線x=0，x=，y=0所圍成的圖形面積？例5、求曲線所圍成的平面圖形的面積？例6、設物體的速度，求時段的距離？思考題：1、 ?答：因為是以為自變量的函數，故=0.2、 答：因為是常數，故.3、 ？ 答：因為的結果中不含，故0.4、 ？ 答：由變上限定積分求導公式，知.小 結：NL公式的意義：將矛盾的“微分與“積分統一起來，是哲學中的“對立統一規律的具體表現，是微觀與宏觀的辨證統一。其美學價值：宏觀上的統一之美。作 業：P46A：1；B：1課堂練習定積分與導數整理文

33、本整理文本.整理文本.【A組】1、計算以下定積分：1 2 34 5 62、求曲線所圍成的圖形的面積？3、設，求k的值？ 24、設 兩邊求導數【B組】1、設，求a的值？ 32、求導數：？ 3、用定積分求極限：*4、利用定積分的性質求極限：？估值定理、夾值定理*5、證明方程在(0,1)內有唯一實根。*6、設f(x)在0，4上連續，且，那么f(2)= 1/4 。數學認識實驗： 定積分：的幾何直觀整理文本整理文本.整理文本.第八講 習題課導數與定積分教學目的：系統化本單元內容，掌握根本概念與方法。一、根本概念及方法：1、極限的概念，求極限的方法；2、導數的概念，導數公式及運算法那么3、導數的幾何、物理

34、及經濟意義4、定積分的概念，定積分的幾何、物理意義經濟意義5、用N-L公式求定積分二、基此題型：1、求以下極限1 2 3 42、求以下導數1 2 33、求以下導數1 2 34、求以下積分1 2 35、求曲線在點1，2處的切線方程？6、求在t=2時的速度？7、設某產品的本錢函數，求其邊際本錢？8、求曲線所圍成的圖形的面積？9、物體的速度為，求時段經過的路程？10、設 可加性整理文本整理文本.整理文本.11、設f(x)在a,b上連續，那么曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及y=0所圍成的曲邊梯形的面積為 。三、提示與提高：1、無窮小的定義與性質定 義：假設,那么稱時為無窮小。性 質：有界函數與無

35、窮小的乘積為無窮小。例1、求極限，？2、無窮小的比較：略當時，有等價；當時，；例2、當時，比較的階？3、閉區間上連續函數的性質1有界定理；2最值定理；3零點定理；4介值定理例3、設f(x)在0，2上連續，且f(0)=f(2),證明方程在0，1上至少有一實根。4、函數間斷點的分類略5、定積分的性質1；2假設在a,b上有，那么 特別地，假設在a,b上有，那么3對任意實數C有4設函數f(x)在a,b上的最大、最小值分別為M、m，那么有 5設f(x)在a,b上連續，那么其在a,b上的平均值 例3、比較大小：與整理文本整理文本.整理文本.例4、求定積分：，其中例5、求在區間1,3上的平均值？第九講 求導

36、法那么三、復合函數求導一教學目的：掌握根本導數公式和四那么運算法那么，會求一般函數的導數。重 難 點：四那么運算法那么、復合函數的連鎖法那么教學程序：根本初等函數的導數公式復習導數四那么運算法那么例子授課提要：前面我們學習了導數的概念及簡單函數求導，本節將系統學習函數求導方法。一、復習根本初等函數的導數公式重點板書略二、復習導數四那么運算法那么重點設u(x),v(x)為可導函數，那么(1) (2) (3) 例1、求以下函數的導數(1) (2) (3) (4) 例2、求的導數？由商的導數公式推導于是有 同理： 例3、求函數處的導數值？例4、求過點1，2且與曲線相切的直線方程？三、復習復合函數的概

37、念及分解說明：復合函數分解一般從外向內分解，分解至根本初等函數或簡單函數即可例5、分解以下函數1 2 3整理文本整理文本.整理文本.四、復合函數的求導法那么 設是關于x的復合函數，那么 說明：1求復合函數的導數，首先分清楚函數的復合結構，求出每一層次簡單函數的導數，再使用連鎖法那么，就得到復合函數的導數； 2復合函數的分解一般按由外向內的順序進行。例6、求以下導數先分解后求導(1) (2) (3) (4) 例7、設在可導，且，記，其中a為常數，求？例8、設？ 5e思考題：1、設，求？利用指數恒等式：2、 設求？ 小 結：掌握復合函數求導的連鎖法那么；對復合函數求導明確：1熟練根本導數公式；2恰

38、當分解復合函數；3正確使用“連鎖法那么。作 業：P55A：1-2；B：2；P58A：1思考題：1. 給定一個初等函數，只用求導法一定能求出其導函數嗎？為什么？答：一定能求出其導函數。因為任何一個根本初等函數我們都可以求其導函數，而初等函數是由根本初等函數經過有限次四那么運算及有限次的復合運算形成，據復合函數的求導法那么、導數的四那么運算法那么知給定一個初等函數,只用求導法一定能求出其導函數。課堂練習求導法那么三、復合函數一【A組】整理文本整理文本.整理文本.1、求以下函數的導數(1) (2) (3) (4) 2、設3、在曲線上取兩點x1=1,x2=3，過這兩點引割線，問曲線上哪點的切線平行于所

39、引割線？4、求以下函數的導數(1) (2) (3) (4) 5、求函數在x=1處的導數值？6、曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？【B組】1、證明可導的偶函數的導數是奇函數。2、設？ 1/33、設，問a,b為何值時，函數f(x)處處連續、可導？4、設？ 5、設f(x)有連續導數，？12整理文本整理文本.整理文本.數學認識實驗： 函數與導函數的圖像整理文本整理文本.整理文本.第十講 復合函數二、高階導數教學目的：熟練掌握復合函數求導，會求函數的二階導數。重 難 點：復合函數求導、二階導數教學程序：復合函數的求導法那么復習例子高階導數定義例子二階導數的物理意義求高階導數授課提要：一、復習復合函數求

40、導例1、求以下函數的導數1 2 3例2、設，求？ 例3、設 略整理文本整理文本.整理文本.例4、設？二、高階導數的概念 函數y=f(x)的n-1階導數的導數稱為函數的n階導數。說明：求高階導數就是反復利用求一階導數的方法即可。例5、求以下函數的二階導數？ (1) (2) (3) 例6、設？例7、求和的n階導數？例8、求的n階導數？ 例9、求的n階導數？三、二階導數的物理意義復習 設物體的運動方程為s(t)，那么表示物體在時刻t的加速度。例10、設物體的運動規律為：時的速度和加速度？探究題：股票走勢設代表某日某公司在時刻的股票價格，試根據以下情形判定的一階、二階導數的正、負號：1股票價格上升得越

41、來越快；2股票價格接近最低點。 思考題：某公司的一次廣告促銷活動中，銷量提高了，但銷量關于時間的曲線是凹的，這說明該公司的經營情況如何？為什么？假設曲線是凸的呢？說明銷量增長速度很快小 結：理解高階導數的“遞歸定義法即，高一階導數是通過低一階導數求導而來；一階導數的符號可以反映事物是增長還是減少；二階導數的符號那么說明增長或減少的快慢。作 業：P59A：2-3；B：1課堂練習復合函數求導二【A組】整理文本整理文本.整理文本.1、求以下導數1 2 32、求以下函數的二階導數(1) (2) (3) 3、驗證函數4、設物體的運動規律為，求物體在t=0時的速度和加速度？5、設函數f(x)為偶函數，且，

42、求？6、設周期函數f(x)在R內可導，周期為4，又，那么曲線y=f(x)在點5,f(5)的切線斜率為 2 。【B組】1、設？ 12、假設，求？ 63、求的n階導數？變形第十一講 隱函數求導、對數求導法教學目的：掌握隱函數的求導方法，了解對數求導法。重 難 點：隱函數的求導法教學程序：隱函數的概念隱函數的求導方法舉例說明對數求導法例子參數方程的導數例子授課提要：一、隱函數概念自變量與因變量的函數關系由方程所確定的函數稱為隱函數。 如：等所確定的y是x的隱函數。說明：有些隱函數可化成顯函數，但更多的不能化成顯函數；同時應明確并非任意一個方程都能確定一個隱函數。整理文本整理文本.整理文本.二、隱函數

43、的求導隱函數求導方法：在方程的兩邊各項分別對x求導，視y為x的函數，按復合函數的求導法那么求導，最后解出y即可。例1、求隱函數的導數？例2、求隱函數的導數？例3、求隱函數在點0，1的導數值？ 1/e說明：隱函數的導數一般是含x和y的表達式。例4、求曲線在點1，1處的切線方程？三、對數求導法 對于冪指函數(其中u,v是x的函數，或由多項式乘除運算和乘方、開方所得函數的求導，其方法：應先對方程兩邊取對數，然后用隱函數求導法求導數。即先取對數，后求導數例5、求函數的導數？例6、求函數的導數?例7、求導數：*四、參數方程的導數設函數，且函數的反函數存在，由復合函數求導公式得：說明：參數方程的導數一般是

44、含參變量t的表達式。例8、求函數的導數？思考題：1、如何求的導數？ 兩次取對數后再求導數 2、求的導數？ 先區對數再求導數整理文本整理文本.整理文本.3、一球形細胞以/天增長體積，當3的半徑為時，其半徑增長速度是多少？ 小 結：隱函數求導的關鍵：1明確方程中是的函數，即；2方程中各項最終是關于求導；3解出一般是含的表達式。 參數方程的導數：其公式是由復合函數求導法那么推導得來。作 業：P62A：2-3；B：1-2課堂練習隱函數求導【A組】1、求以下隱函數的導數(1) (2) (3) 2、求由方程所確定的函數y在點0，1處的導數？3、求由方程所確定的隱函數的導數？4、設物體的運動方程為：，求(1

45、)物體任意時刻的速度和加速度？(2)何時速度為0？(3)何時加速度為0？*5、求以下導數整理文本整理文本.整理文本.1 2【B組】1、設函數y=y(x)由方程所確定，求？2、求隱函數的二階導數？3、確定a,b,c的值，使拋物線與曲線在x=0處 相交，并具有相同的一、二階導數。4、設5、設 。*6、證明：曲線上任一點的切線所截二坐標軸的截距之和等于1。*7、，求。歸納總結： 初等函數的導數1、根據導數的定義求導數設函數在點及附近有定義，求函數在的導數步驟：1求函數增量：；2求比值：；3求極限：或。2、根本導數公式常用整理文本整理文本.整理文本.3、四那么運算法那么可導； ； 4、復合函數的導數設

46、函數復合成函數，那么或5、隱函數的導數設函數是由方程所確定的隱函數，那么6、參數方程的導數設函數是由參數方程確定，那么第十二講 習題課函數求導的方法教學目的：系統化本單元內容，系統掌握函數的求導方法。一、函數求導的根本方法：1、由定義求導三步驟；2、根本初等函數的導數公式與法那么；3、復合函數的求導方法連鎖法那么；4、隱函數的求導方法、對數求導法、*參數方程的導數5、求函數的高階導數。整理文本整理文本.整理文本.二、基此題型：1、求以下導數1 2 32、求以下導數1 2 33、求以下函數的二階導數(1) (2) (3) 4、設物體的運動規律為，求物體在t=0時的速度和加速度？5、設，求？6、設

47、？7、設為可導的偶函數，且，求曲線在點處的切線方程？8、求以下隱函數的導數(1) (2) (3) 9、求由方程所確定的函數y在點0，1處的導數？10、求函數的導數？11、，求？三、微積分的開展史16151883年我絕對相信歷史事實是一種出色的教育指南 M.Kline1615年，德國的開卜勒發表?酒桶的立體幾何學?，研究了圓錐曲線旋轉體的體積。1635年，意大利的卡瓦列利發表?不可分連續量的幾何學?，書中防止無窮小量，用不可分量制定了一種簡單形式的微積分。整理文本整理文本.整理文本.1637年，法國的笛卡爾出版?幾何學?，提出了解析幾何，把變量引進數學，成為“數學中的轉折點。1638年，法國的費

48、馬開始用微分法求極大、極小問題。1638年，意大利的伽利略發表?關于兩種新科學的數學證明的論說?，研究距離、速度、加速度之間的關系，提出了無窮集合的概念，這本書被認為是伽利略重要的科學成就。1665-1676年，牛頓1665-1666年先于萊布尼茨1673-1676年制定了微積分，萊布尼茨1684-1686年早于牛頓1704-1736年發表了有關微積分的著作。1684年，德國的萊布尼茨發表了關于微分法的著作?關于極大極小以及切線的新方法?。1686年，德國的萊布尼茨發表了關于積分法的著作。1691年，瑞士的約.貝努利出版?微分學初步?，這促進了微積分在物理學和力學上的應用及研究。1696年，法

49、國的洛比達創造求不定式極限的“洛比達法那么。1697年，瑞士的約.貝努利解決了一些變分問題，發現最速下降線和測地線。1704年，英國的牛頓發表?三次曲線枚舉?、?利用無窮級數求曲線的面積和長度?、?流數法?。1711年，英國的牛頓發表?使用級數、流數等的分析?。1715年，英國的布.泰勒發表?增量方法及其他?。1731年，法國的克雷洛出版?關于雙重曲率的曲線的研究?，這是研究空間解析幾何和微分幾何的最初嘗試。第十三講 函數的單調性教學目的：掌握函數單調性的判別法，會求函數的單調區間。整理文本整理文本.整理文本.重 難 點：單調性判別法教學程序：簡介微分中值定理復習單調性的定義單調性的判定導數求

50、單調區間例子歸納總結解題步驟授課提要：一、拉格郎日中值定理xyabPOAB假設函數f(x)在a,b上連續，在(a,b)內可導，那么在(a,b)內至少存在一點，使。作圖說明說明：(1)此定理是微積分學的重要定理，它準確地表達了函數在一個閉區間上的平均變化率和函數在該區間內某點的導數間的關系，它是用函數的局部性來研究函數的整體性的重要工具。 (2)此定理是充分而不必要的。例1、驗證：函數是否滿足拉格郎日的條件，假設滿足，求出？ 任取閉區間例2、證明： 用Lagrange定理二、羅比達法那么表達1、使用條件：1屬于的不定式；2導數的極限存在；2、使用方法：先求導數，后求極限；滿足條件時可連續使用。例

51、2、求以下極限1 2 3 4 5 6整理文本整理文本.整理文本.三、函數的單調性及判定一階導數1、復習單調性的概念：略2、作圖說明函數的單調性與導數的正負有關：作圖演示3、單調性判定定理： 設f(x)在a,b上連續，在(a,b)內可導 (1)假設,那么f(x)在a,b內單調增加； (2)假設,那么f(x) 在a,b內單調減少； (3)假設,那么在a,b內，f(x)=C。例3、判定的單調性？例4、判定函數的單調性？四、求函數單調區間1、駐點的概念一階導數為0的點2、求函數y=f(x)的單調區間的步驟：(1)確定函數的定義域；(2)求出的點和不存在的點，并以這些點為分界點將定義域區間分成假設干局部

52、區間；(3)列表討論函數在各局部區間上的單調性。例5、求函數的單調區間？例6、求函數的單調區間？例7、證明：當作輔助函數思考題：1、用洛必達法那么求極限時應注意什么？注意使用條件2、試用Lagrange中值定理證明函數單調性的判定定理。小 結：微分中值定理是連接函數“局部性質與整體性質的橋梁。表達了局部與整體本質上的內部聯系。作 業：P72A：1整理文本整理文本.整理文本.課堂練習函數的單調性【A組】1、證明函數在區間0，+內單調遞增？2、求函數的駐點？3、求函數的單調區間？4、證明不等式：5、判定正誤：(1)假設f(x)在(a,b)內單調遞增，那么-f(x)在a,b內單調遞減。 T (2)假

53、設，那么x0必為駐點。 T (3)假設x0為函數f(x)的駐點，那么曲線f(x)在點x0，f(x0)處的切線方程為 T 【B組】1、證明函數在-，0內單調遞增。2、設函數間的關系？3、證明：函數在內有唯一實根。4、設f(x)具有二階導數，且單調增加。5、設函數有連續的二階導數，且，求極限：？ -1*6、求證：方程提示：作新函數，用根存在定理和單調性證明。整理文本整理文本.整理文本.數學認識實驗： 微分中值定理的幾何直觀1、比較羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的幾何意義 當函數以參數方程給定，曲線上點的切線斜率為，端點連線的斜率為，于是由Lagrange定理得Cauchy定理。yTBPA

54、xg(a)g(b)O2、單調性與導數正負的幾何直觀整理文本整理文本.整理文本. 第十四講 函數的極值教學目的：理解極值的定義，掌握函數極值的求法。重 難 點：極值概念及求法教學程序：極值的概念極值存在的必要條件極值存在的充分條件第一、第二充分條件求函數的極值例子歸納總結解題步驟授課提要：一、函數的極值1、定 義：略作圖直觀理解 說明：(1)極值是一個局部概念； (2)極值點是函數增減或減增的分界點。2、極值存在的必要條件 假設函數f(x)在點取極值，那么不存在。說明：(1)假設, 不一定是極值點。如：在x=0處。 (2)假設不存在，也可能是極值點。如：在x=0處。二、極值存在的第一充分條件一階

55、導數法：略例1、求函數的極值點和極值？例2、求的單調區間和極值？三、極值存在的第二充分條件二階導數法 設f(x)在點有一、二階導數，且，那么 (1)假設,那么f(x0)為極小值；整理文本整理文本.整理文本. (2)假設,那么f(x0)為極大值。例3、求函數的極值？例4、求函數的極值？四、求函數極值的一般步驟(1)確定函數定義域；(2)求函數導數，確定駐點和導數不存在的點；(3)用極值的第一或第二充分條件確定極值點；(4)把極值點代入原函數f(x)，求出極值并指明是極大還是極小。說明：利用第一、二充分條件都可判定函數的極值，但必須注意適用范圍。例5、試問a為何值時，函數處取得極值？是極大值還是極

56、小值？并求極值？思考題：1、可能極值點有哪幾種？ 駐點或不存在的點2、如何判定可能極值點是否為極值點？兩個極值存在的充分條件小 結：函數的極值是指函數的局部性質小范圍，表達了事物的“相對性。作 業：P72A：2；B：2課堂練習函數的極值【A組】1、求函數的極值？2、求以下函數的單調區間和極值；(1) (2) 3、設函數在x=1處有極值-2，求a,b的值？4、求函數的極值？5、判定正誤：(1)假設x0為極值點，且曲線在x0處有切線，那么切線平行于x軸。 T (2)假設函數y=f(x)在(a,b)內可導，且有唯一駐點，那么此駐點必是極值點。F整理文本整理文本.整理文本.(3)假設可導函數f(x)在

57、(a,b)內只有唯一駐點x0,那么f(x0)就是f(x)的最值。F【B組】1、求函數的極值？2、設y=y(x)由方程所確定，求y=y(x)的駐點，并判別其是否為極值點？二階導數法3、y=f(x)對一切x滿足那么 B A、f(x0)是f(x)的極大值 B、f(x0)是f(x)的極小值 C、點x0,f(x0)是拐點 D、都不是數學認識實驗： 導函數的圖像與極值整理文本整理文本.整理文本.第十五講 曲線的凹凸性教學目的：理解凹凸性的定義，會求曲線的凹凸區間及拐點。重 難 點：求曲線的凹凸區間教學程序：凹凸性的概念凹凸性的判定求凹凸區間及拐點應用授課提要：一、凹凸的概念1、在區間上作函數的圖像。比較曲

58、線的變化說明：對函數的研究來說，僅有單調性、極值是不夠的。2、定義：略通過曲線與切線的位置關系定義 說明：(1)注意拐點的定義凹與凸的分界點，即二階駐點； (2)凹凸性可看成二階導數的應用。二、凹凸性判定整理文本整理文本.整理文本.定 理：假設函數在內有二階導數，且對于任意有1，那么在內是凹的；2，那么在內是凸的；3凹與凸的分界點，稱為拐點。例1、求曲線的凹凸區間和拐點？例2、求曲線的凹凸區間和拐點？三、求曲線凹凸區間的步驟比較求單調區間與極值的步驟 1求； 2求二階駐點和二階奇點； 3分段區間討論凹凸性、確定拐點。例3、求曲線的單調和凹凸區間，極值與拐點？四、凹凸性的應用1由曲線的凹凸性可知

59、函數增長和減少的快慢程度。例4、某公司的一次廣告促銷活動中，銷量提高了，但銷量關于時間的曲線是凹的，這說明該公司的經營情況如何？為什么？假設曲線是凸的呢？說明銷量增長速度很快2了解曲線的凹凸性便于作函數的圖像。例5、作函數的圖像？思考題：1、畫出的圖像，說明函數遞增最快的點和遞增最慢的點？參見教材P76小 結：曲線的凹凸性說明函數的遞增或遞減的快慢程度，它是指一階導函數的單調性。作 業：P77A：1-2；B：1課堂練習曲線的凹凸性【A組】1、求以下曲線的凹凸區間及拐點：1整理文本整理文本.整理文本.22、求曲線的單調和凹凸區間，極值與拐點？3、點1，2為曲線的拐點，求a,b的值？【B組】1、證

60、明曲線有三個拐點，且其在一條直線上。2、作以下函數的圖像：1 2第十六講 函數的最值教學目的：理解最值的概念，會求簡單實際問題的最值。重 難 點：求函數的最值教學程序：最值的概念最值求法比較法兩種特殊情況的最值實際問題的最值例子數學建模介紹最優化授課提要：一、最值的定義略 說明：最值是一個全局概念，是針對整個區間而言的。二、求連續函數f(x)在a,b上最值的一般方法比較法。例1、求函數在-2，2上的最值？整理文本整理文本.整理文本.三、兩種特殊情況下求最值： (1)假設f(x)在區間a,b上連續、單調，那么f(a),f(b)一定是最值； (2)假設f(x)在某一區間上僅有唯一駐點，且該駐點是極