1、實驗二 利用DFT分析離散信號頻譜一 .一 .一 ,、一3 兀._ ._ .1.利用FFT分析信號xk =cos(k), k =0,1，31的頻譜； 8確定DFT計算的參數；進行理論值與計算值比較，討論信號頻譜分析過程中誤差原因及改善方法。答：(1)信號xk的周期 N=16,角頻率 w0=2*pi/N=pi/8; 作fft 的點數N=16。 (2)計算程序：N=16;k=0:N-1;x=cos(3*pi/8*k);X=fft(x,N);subplot(2,1,1);stem(k-N/2,abs(fftshift(X);ylabel(幅度譜) xlabel(m)subplot(2,1,2);st

2、em(k-N/2,angle(fftshift(X);譜度幅ylabel(相位譜) xlabel( m) 計算結果： 8 6 4 2 0-8-6-4-202468譜位相m 4 2 0 -2 -4-8-6-4-202468m我們還可以利用ifft函數進行相應的傅里葉反變換，以得到時域上的xk,分析程序如下：N=16;k=0:N-1;x1=cos(3*pi/8*k);X=fft(x1,N);subplot(2,1,1)1 / 11stem(k,x1)ylabel(,傅里葉變換前的時域波形,)xlabel( k)x2=ifft(X,N);subplot(2,1,2)stem(k,x2)ylabel(

3、傅里葉反變換后的時域波形)xlabel( k)結果如下:-0.50.50-1101510.50-0.5-11015形波域時的前換變葉里傅 形波域時的后換變反葉里傅可以看出：經過傅里葉變換和相應反變換后的信號與原信號的時域波形完全相同。2.利用FFT分析信號xk =(1)kuk的頻譜；(1)確定DFT計算的參數；(2)進行理論值與計算值比較，討論信號頻譜分析過程中誤差原因及改善方法。答：(1)信號無限長，因此需要對其進行截短。該序列單調衰減，當 k=10時，序列已幾 乎衰減為0,因此只取序列在區間0, 10上的數值進行分析。(2)計算程序：k=0:10;x=(1/2).Ak;subplot(2,

4、1,1);stem(k,x);subplot(2,1,2);w=k-5;plot(w, abs(fftshift(fft(x);ylabel(幅度譜)2 / 11xlabel( w)計算結果:譜度幅-5-4-3-2.有限長脈沖序列xk =2,3,3,1,0,5;k =0,1,2,3,4,5,利用FFT分析其頻譜，并繪出其幅度譜與相位譜。答：計算程序：k=0:5;x=2 3 3 1 0 5;w=k-3;subplot(2,1,1);stem(w,abs(fftshift(fft(x,6);ylabel(幅度譜)xlabel( w)subplot(2,1,2);stem(w,angle(fftsh

5、ift(fft(x,6);ylabel(相位譜)xlabel(w)計算結果：52， 1-35 0 5 01 1譜度幅-2-4-3-2.5-24 2 0-2譜位相-1.5-1-0.500.5wFFT的點數N?此3個頻率分別對應 FFT計算結果X m中FFT計算出白頻譜 X m會出現什么情況？.某周期序列由3個頻率組成:利用FFT分析其頻譜。如何選取的哪些點？若選取的 N不合適，,7 %、，,9 %xk = cos( k) cos(-1616答：序列xk的周期為N=32,取FF硒點數N=32行頻譜分析，程序如下: N=32;k=0:N-1;x=cos(7*pi/16*k)+cos(9*pi/16*

6、k)+cos(pi/2*k);X=fft(x,N);subplot(2,1,1);stem(k-N/2,abs(fftshift(X);ylabel(幅度譜) xlabel( m) subplot(2,1,2);stem(k-N/2,angle(fftshift(X);ylabel(相位譜) xlabel( m)分析結果： / 11i 120 0 5 0 5 02 2 11譜度幅-20-15-10-50m510154 2 0譜位相-4信號xk的三個頻率分別對應 FFT十算Z果Xm中的m=7,m=9,m=8對于離散周期序列進行 FFT頻譜分析時取計算的點數為序列的周期 N,如果計算的點數不是此

7、離散周期序列的周期時， Xm會發生變化，此時并不表示序列xk的頻譜，而相當于將序列 xk的周期擴大或者縮減后得到新信號的頻譜。在本例中，若取N=2032,則可以得到另外不同的幅度譜和相位譜，這里不再詳細畫出。5 / 11.某離散序列由 3 個頻率組成：xk = cos(2 7tk)+0.75cos( - 7tk), 0 k 63 1515利用FFT分析其頻譜。(1)對x k做64點FFT,繪出信號頻譜，能分辨出其中的兩個頻率嗎？(2)對xk補零到256點后計算FFT,能分辨出其中的兩個頻率嗎？(3)選用非矩形窗計算 FFT,能夠分辨出其中的兩個頻率嗎？(4)若不能夠很好地分辨出其中的兩個頻譜，

8、應采取哪些措施？答：(1)對xk做64點FFT,程序如下：k=0:63;x=cos(2*pi/15*k)+0.75*cos(2.3*pi/15*k);X=fft(x,64);stem(k-32,abs(fftshift(X) ylabel(幅度譜) xlabel( m)可以得到幅度譜和相位譜如下：302520譜度15幅1050 -40Ell, ,：r . . MLLI：*III %,|l Uji 1 Iki m j i n j il Ti-30-20-10010203040102030-2-40-30-20-10O 譜位相40很明顯，根據上面的幅度譜不能分辨出信號xk中的兩個頻率。(2)對xk

9、補零后做256點FFT:k=0:63;x=cos(2*pi/15*k)+0.75*cos(2.3*pi/15*k);X=fft(x,256); n=-128:127 stem(n,abs(fftshift(X) 運行結果如下：150根據上面的幅度譜不能分辨出信號xk的兩個頻率。(3)選用非矩形窗(主要有漢寧窗、哈明窗、布拉克曼窗和凱塞窗)計算fft ,能夠分辨其中的兩個頻率，具體實現過程我將在下學期和數字信號處理這門課一起學習。r (0.1k)2.已知序列xk=/e 2 ，k W500,others利用FFT分析下列信號的幅頻特性，頻率范圍為QW -%向,N=500點。yk =x2kgk =x

10、4k若將上述xk乘以cos(p k/2),重做(1)和(2)。答：序列xk是關于原點左右對稱的，因此我只考慮原點右側信號的幅頻特性。程序如下:k=0:50; / 11 x=exp(-0.5*(0.1*k).A2);X=fft(x,500);n=-250:249;subplot(3,1,1) stem(n,abs(fftshift(X)ylabel( xk的傅里葉變換,)xlabel( n)k=0:25;x=exp(-0.5*(0.2*k)A2);X=fft(x,500);n=-250:249;subplot(3,1,2) stem(n,abs(fftshift(X)ylabel( x2k的傅里

11、葉變換)xlabel( n )k=0:12;x=exp(-0.5*(0.4*k).A2);X=fft(x,500);n=-250:249;subplot(3,1,3) stem(n,abs(fftshift(X)ylabel( x4k的傅里葉變換) xlabel( n )根據上述程序，我得到的上述三個信號的幅頻特性如下圖所示：8 / 11變葉里傅的50100150200250換變葉里傅可以看出：信號在時域上進行壓縮，對應則在頻域上進行擴展，時域和頻域上的變換存在 著一種相反的關系。(3)若將上述x k乘以cos(p k/2),取p=3,則與前問相同進行頻譜分析，程序如下:symspp=3;k=

12、0:50;x=exp(-0.5*(0.1*k)A2).*cos(0.5*p*k);X=fft(x,500);n=-250:249;subplot(3,1,1)stem(n,abs(fftshift(X)ylabel( xk的傅里葉變換)xlabel( n) k=0:25;x=exp(-0.5*(0.2*k).A2).*cos(p*k);X=fft(x,500);n=-250:249;subplot(3,1,2)stem(n,abs(fftshift(X)ylabel( x2k 的傅里葉變換) xlabel( n)9 / 11k=0:12;x=exp(-0.5*(0.4*k).A2).*cos(

13、2*p*k);X=fft(x,500);n=-250:249;subplot(3,1,3)stem(n,abs(fftshift(X)ylabel( x4k的傅里葉變換,) xlabel( n)運行結果如下圖:100-250-200-150-100-500n501001502002506420 -250-200-150-100-500 n50100150200250n四.實驗思考題.既然可直接由DTFT定義計算序列 DTFT為何利用DFT分析序列的頻譜？答：在時域，兩者都是離散時間序列，在頻域，DTFT是連續周期曲線 X(jw),而DFT則是與時間序列同長的離散序列頻譜X(k)。matlab無

14、法計算連續變量 w,只能在范圍內把w賦值為很密的、長度很長的向量k*dw來近似連續變量。也就是說，能夠用計算機以很高效率計算的，只有離散傅里葉變換DFT,所以利用DFT分析序列的頻譜。.若序列持續時間無限長，且無解析表達式，如何利用DFT分析其頻譜？答：當序列為無限長時，需要根據能量分布， 進行截短。確定作FFT的點數N然后使用fft 函數作N點FFT計算X m。.在利用DFT分析離散信號頻譜時，會出現哪些誤差？如何克服或改善？答：DFT是DTFT在主值區間的等間隔采樣，DTFT則是DFT在密集的頻點上的插值，并作周10 / 11期延拓。插值肯定存在精度的問題，因此用DFT分析離散信號頻譜時會產生誤差，我認為可以通過增加作fft的點數N來減小插值間隔，從而克服或改善因插值帶來的誤差。.在利用DFT分析離散信號頻譜時，如何選擇窗函數?答：(1)若序列為離散周期序列，則先確定離散周期序列xk的基本周期N,然后利用fft函數求其一個周期的 DFT,得到Xm；(2)若序列為離散非周期序列，當序列為無限長時，需要根據能量分布，首先進行截短。然后確定fft的點數N,使用fft函數作N點FFT計算Xm；(3)如果序列中有兩個非常接近的頻率，用矩形窗進行fft計算難以分辨時，可以通過選擇