1、專題34 利用二項分布概率公式求二項分布的分布列一、多選題 1下列結論正確的有（ ）A公共汽年上有10位乘客，沿途5個車站，乘客下車的可能方式有種B兩位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是C若隨機変量X服從二項分布，則D已知一組數據丟失了其中一個，剩下的六個數據分別是3，3，5，3，6，11，若這組數據的平均數、中位數，眾數依次成等差數列，則丟失數據的所有可能值的和為122某計算機程序每運行一次都隨機出現一個五位二進制數（例如10100）其中A的各位數中出現0的概率為，出現1的概率為，記，則當程序運行一次時（ ）AX服從二項分布BCX的期望DX的方差3一袋中有大小相同的4個紅球

2、和2個白球，給出下列結論：從中任取3球，恰有一個白球的概率是；從中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有兩次白球的概率為；現從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為. 則其中正確命題的序號是（ ）ABCD二、單選題4袋子中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中摸出一個紅球的概率是，依次從中有放回地摸球，每次摸出一個，累計2次摸到紅球即停止記3次之內（含3次）摸到紅球的次數為，則隨機變量的數學期望（ ）ABCD5設隨機變量，若，則（ ）ABCD62019年1月28日至2月3日（臘月廿三至臘月廿

3、九）我國迎來春運節前客流高峰，據統計，某區火車站在此期間每日接送旅客人數X（單位：萬）近似服從正態分布，則估計在此期間，至少有5天該車站日接送旅客超過10萬人次的概率為（ ）ABCD7經抽樣調查知，高二年級有的學生數學成績優秀.如果從全年級隨機地選出50名學生，記其中數學成績優秀的學生數為隨機變量，則其期望的值為（ ）ABC25D8抽獎一次中獎的概率是90%，5個人各抽獎一次恰有3人中獎的概率為（ ）A0.93BC1（10.9）3D9某次抽獎活動中，參與者每次抽中獎的概率均為，現甲參加3次抽獎，則甲恰好有一次中獎的概率為（ ）ABCD三、解答題10某單位在2020年8月8日“全民健身日”舉行了

4、一場趣味運動會，其中一個項目為投籃游戲游戲的規則如下：每個參與者投籃3次，若投中的次數多于未投中的次數，得3分，否則得1分已知甲投籃的命中率為，且每次投籃的結果相互獨立（1）求甲在一次游戲中投籃命中次數的分布列與期望；（2）若參與者連續玩次投籃游戲獲得的分數的平均值不小于2，即可獲得一份大獎現有和兩種選擇，要想獲獎概率最大，甲應該如何選擇？請說明理由11受新冠肺炎疫情影響，上學期網課時間長達三個多月，電腦與手機屏幕代替了黑板，對同學們的視力造成了非常大的損害.我市某中學為了了解同學們現階段的視力情況，現對高三年級2000名學生的視力情況進行了調查，從中隨機抽取了100名學生的體檢表，繪制了頻率

5、分布直方圖如圖所示:前50名后50名近視4032不近視1018(1)求的值，并估計這2000名學生視力的平均值(精確到0.1)；(2)為了進一步了解視力與學生成績是否有關，對本年級名次在前50名與后50名的學生進行了調查，得到的數據如列聯表，根據表中數據，能否有95%把握認為視力與學習成績有關?(3)自從“十八大”以來，國家鄭重提出了人才強軍戰略，充分體現了國家對軍事人才培養的高度重視.近年來我市空軍飛行員錄取情況喜人，繼2019年我市有6人被空軍航空大學錄取之后，今年又有3位同學順利拿到了空軍航空大學通知書，彰顯了我市愛國主義教育，落實立德樹人根本任務已初見成效.2020年某空軍航空大學對考

6、生視力的要求是不低于5.0，若以該樣本數據來估計全市高三學生的視力，現從全市視力在4.8以上的同學中隨機抽取3名同學，這3名同學中有資格報考該空軍航空大學的人數為，求的分布列及數學期望.附:，其中.0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.87912為了拓展城市的旅游業，實現不同市區間的物資交流，政府決定在A市與B市之間建一條直達公路，中間設有至少8個的偶數個十字路口，記為2m，現規劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.（1）現征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數據如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹3

7、00200喜歡木棉樹250250是否有99.9%的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性；（2）若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有X個路口種植楊樹，求X的分布列以及數學期望；附：P(K2k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82813在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫院掛號再到公共繳費，日常生活中幾乎在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫院掛號再到公共繳費，日常生活中幾乎全部領域都支持手機支付.出門不帶現金的人數正在迅速增加.中國人民大學和法國調查公司益普索合作，調查了騰訊服務的6000名用戶，從中隨機抽取了60名，規定：隨身攜帶的

8、現金在100元以下（不含100元）的為“手機支付族”，其他為“非手機支付族”，統計如圖如示.男性女性合計手機支付族101222非手機支付族30838合計402060（1）根據上述樣本數據，并判斷有多大的把握認為“手機支付族”與“性別”有關?（2）用樣本估計總體，若從騰訊服務的用戶中隨機抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機支付族”的人數為，求隨機變量的期望.（3）某商場為了推廣手機支付，特推出兩種優惠方案，方案一：手機支付消費每滿1000元可直減100元；方案二：手機支付消費每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8.5折.如果你打算用手機支付

9、購買某樣價值1200元的商品，請從實際付款金額的數學期望的角度分析，選擇哪種優惠方案更劃算?附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82814某幾位大學生自主創辦了一個服務公司提供兩種民生消費產品(人們購買時每次只買其中一種)服務，他們經過統計分析發現：第一次購買產品的人購買的概率為，購買的概率為.第一次購買產品的人第二次購買產品的概率為，購買產品的概率為.第一次購買產品的人第二次購買產品的概率為，購買產品的概率也是.（1）求某人第二次來，購買的是產品的概率；（2）記第二次來公司購買產品的個人中有個人購買產品，求的分布列并求15某中學數學競賽培訓共開設有初等代數、初等幾何、

10、初等數論和微積分初步共四門課程，要求初等代數、初等幾何都要合格，且初等數論和微積分初步至少有一門合格，才能取得參加數學競賽復賽的資格，現有甲、乙、丙三位同學報名參加數學競賽培訓，每一位同學對這四門課程考試是否合格相互獨立，其合格的概率均相同，（見下表），且每一門課程是否合格相互獨立，課 程初等代數初等幾何初等數論微積分初步合格的概率（1）求甲同學取得參加數學競賽復賽的資格的概率；（2）記表示三位同學中取得參加數學競賽復賽的資格的人數，求的分布列（只需列式無需計算）及期望.16江蘇實行的“新高考方案：”模式，其中統考科目：“”指語文、數學、外語三門，不分文理：學生根據高校的要求，結合自身特長興趣

11、，“”指首先在在物理、歷史門科目中選擇一門；“”指再從思想政治、地理、化學、生物門科目中選擇門某校，根據統計選物理的學生占整個學生的；并且在選物理的條件下，選擇地理的概率為；在選歷史的條件下，選地理的概率為（1）求該校最終選地理的學生概率；（2）該校甲、乙、丙三人選地理的人數設為隨機變量求隨機變量的概率；求的概率分布列以及數學期望17在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，大于等于分的選手將直接參加競賽選拔賽.已知成績合格的名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中的頻率構成等比數列.

12、（1）求的值；（2）估計這名參賽選手的平均成績；（3）根據已有的經驗，參加競賽選拔賽的選手能夠進入正式競賽比賽的概率為，假設每名選手能否通過競賽選拔賽相互獨立，現有名選手進入競賽選拔賽，記這名選手在競賽選拔賽中通過的人數為隨機變量，求的分布列和數學期望.18挑選空軍飛行員可以說是“萬里挑一”，要想通過需要五關：目測、初檢、復檢、文考（文化考試）、政審.若某校甲、乙、丙三位同學都順利通過了前兩關，根據分析甲、乙、丙三位同學通過復檢關的概率分別是0.5，0.6，0.75，能通過文考關的概率分別是0.6，0.5，0.4，由于他們平時表現較好，都能通過政審關，若后三關之間通過與否沒有影響.（1）求甲、

13、乙、丙三位同學中恰好有一人通過復檢的概率；（2）設只要通過后三關就可以被錄取，求錄取人數的分布列.19為加快推進我區城鄉綠化步伐，植樹節之際，決定組織開展職工義務植樹活動，某單位一辦公室現安排4個人去參加植樹活動，該活動有甲乙兩個地點可供選擇.約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去哪個地點植樹，擲出點數為1或2的人去甲地，擲出點數大于2的人去乙地.（1）求這4個人中恰有2人去甲地的概率；（2）求這4個人中去甲地的人數大于去乙地的人數的概率；（3）用分別表示這4個人中去甲乙兩地的人數，記，求隨機變量的分布列與數學期望.20某工廠為了提高生產效率，對生產設備進行了技術改造，為了對比技術改造

14、后的效果，采集了技術改造前后各20次連續正常運行的時間長度(單位：天)數據，整理如下：改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36（1）完成下面的列聯表，并判斷能否有99的把握認為技術改造前后的連續正常運行時間有差異?超過30不超過30改造前改造后（2）工廠的生產設備的運行需要進行維護，工廠對生產設備的生產維護費用包括正常維護費，保障維護費兩種對生產設備設定維護周期為T天(即從開工運行到第

15、kT天，kN*)進行維護生產設備在一個生產周期內設置幾個維護周期，每個維護周期相互獨立在一個維護周期內，若生產設備能連續運行，則只產生一次正常維護費，而不會產生保障維護費；若生產設備不能連續運行，則除產生一次正常維護費外，還產生保障維護費經測算，正常維護費為0.5萬元次；保障維護費第一次為0.2萬元周期，此后每增加一次則保障維護費增加0.2萬元現制定生產設備一個生產周期(以120天計)內的維護方案：T=30，k=1，2，3，4以生產設備在技術改造后一個維護周期內能連續正常運行的頻率作為概率，求一個生產周期內生產維護費的分布列及均值附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.6

16、3510.82821某工廠生產了一批高精尖的儀器，為確保儀器的可靠性，工廠安排了一批專家檢測儀器的可靠性，毎臺儀器被毎位專家評議為“可靠”的概率均為，且每臺儀器是否可靠相互獨立（1）當，現抽取4臺儀器，安排一位專家進行檢測，記檢測結果可靠的儀器臺數為，求的分布列和數學期望；（2）為進一步提高出廠儀器的可靠性，工廠決定每臺儀器都由三位專家進行檢測，只有三位專家都檢驗儀器可靠，則儀器通過檢測若三位專家檢測結果都為不可靠，則儀器報廢其余情況，儀器需要回廠返修擬定每臺儀器檢測費用為100元，若回廠返修，每臺儀器還需要額外花費300元的維修費現以此方案實施，且抽檢儀器為100臺，工廠預算3.3萬元用于檢

17、測和維修，問費用是否有可能會超過預算？并說明理由22袋中有大小完全相同的7個白球，3個黑球，甲、乙兩人分別從中隨機地連續抽取3次，每次抽取1個球（1）若甲是無放回地抽取，求甲至多抽到一個黑球的概率；（2）若乙是有放回地抽取，且規定抽到白球得10分，抽到黑球得20分，求乙總得分的分布列和數學期望23成都市現在已是擁有1400多萬人口的城市，機動車保有量已達450多萬輛，成年人中約擁有機動車駕駛證為了解本市成年人的交通安全意識情況，某中學的同學利用國慶假期進行了一次全市成年人安全知識抽樣調查先根據是否擁有駕駛證，用分層抽樣的方法抽取了200名成年人，然后對這200人進行問卷調查這200人所得的分數

18、都分布在范圍內，規定分數在80以上（含80）的為“具有很強安全意識”，所得分數的頻率分布直方圖如圖所示擁有駕駛證沒有駕駛證總計具有很強安全意識不具有很強安全意識58總計200（1）補全上面的列聯表，并判斷能否有超過的把握認為“具有很強安全意識”與擁有駕駛證有關？（2）將上述調查所得的頻率視為概率，現從全市成年人中隨機抽取4人，記“具有很強安全意識”的人數為X，求X的分布列及數學期望附表及公式：，其中P（）0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82824近年來我國電子商務行業迎來蓬勃發展的新機遇，2019

19、年元旦期間，石嘴山市某物平臺的銷售業績高達1271萬人民幣.與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系，現從評價系統中選出200成功交易，并對其評價進行統計，對商品的好評率為0.6，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為80次.（1）完成下面的列聯表，并回答是否有99%的把握認為商品好評與服務好評有關？對服務好評對服務不滿意合計對商品好評對商品不滿意合計200（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務全好評的次數為隨機變量，求對商品和服務全好評的次數的分布列，數學期望和方差.附：0.150.100.050.0250.0100

20、.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）25根據教育部中小學生藝術素質測評辦法，為提高學生審美素養，提升學生的綜合素質，江蘇省中考將增加藝術素質測評的評價制度，將初中學生的藝術素養列入學業水平測試范圍.為初步了解學生家長對藝術素質測評的了解程度，某校隨機抽取名學生家長參與問卷測試，并將問卷得分繪制頻數分布表如下：得分男性人數女性人數（1）將學生家長對藝術素質評價的了解程度分為“比較了解”（得分不低于分）和“不太了解”（得分低于分）兩類，完成列聯表，并判斷是否有的把握認為“學生家長對藝術素質評價的了解程度”與“性別”有關？（2）以這名學

21、生家長中“比較了解”的頻率代替該校學生家長“比較了解”的概率.現在再隨機抽取名學生家長，設這名家長中“比較了解”的人數為，求的概率分布列和數學期望.不太了解比較了解合計男性女性合計附：，.臨界值表：26設甲、乙兩位同學上學期間，每天7:10之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.（1）用表示甲同學上學期間的每周五天中7:10之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；（2）記“上學期間的某周的五天中，甲同學在7:10之前到校的天數比乙同學在7:10之前到校的天數恰好多3天”為事件，求事件發生的概率.27甲、乙兩名同學進行乒乓球比賽，規定每一局比

22、賽獲勝方記1分，失敗方記0分，誰先獲得5分就獲勝，比賽結束，假設每局比賽甲獲勝的概率都是（1）求比賽結束時恰好打了7局的概率；（2）若現在的比分是3比1甲領先，記表示結束比賽還需打的局數，求的分布列及期望282019年10月17日是全國第五個“扶貧日”，在“扶貧日”到來之際，某地開展“精準扶貧，攜手同行”的主題活動，調查基層干部走訪貧困戶數量A鎮有基層干部50人，B鎮有基層干部80人，C鎮有基層干部70人，每人都走訪了不少貧困戶；按照分層抽樣，從A，B，C三鎮共選40名基層干部，統計他們走訪貧困戶的數量，并將完成走訪數量分成5組：，繪制成如下頻率分布直方圖（1）求這40人中有多少人來自B鎮，并

23、估算這40人平均走訪多少貧困戶？（2）如果把走訪貧困戶達到或超過25戶視為工作出色，以頻率估計概率，從三鎮的所有基層干部中隨機選取4人，記這4人中工作出色的人數為X，求X的數學期望29某城市為疏導城市內的交通擁堵問題，現對城市中某條快速路進行限速，經智能交通管理服務系統觀測計算，通過該快速路的所有車輛行駛速度近似服從正態分布，其中平均車速，標準差.通過分析，車速保持在之間，可令道路保持良好的行駛狀況，故認為車速在之外的車輛需矯正速度（速度單位：）.（1）從該快速路上觀測到的車輛中任取一輛，估計該車輛需矯正速度的概率.（2）某興趣小組也對該快速路進行了觀測，他們于某個時間段內隨機對100輛車的速

24、度進行取樣，根據測量的數據列出上面的條形圖.估計這100輛車的速度的中位數（同一區間中數據視為均勻分布）；若以該興趣小組測得數據中的頻率視為概率，從該快速路上的所有車輛中任取三輛，記其中不需要矯正速度的車輛數為速度X，求X的分布列和期望.附：若，則；.30云南是世界茶樹的原產地之一，也是中國四大茶產區之一，獨特的立體氣候為茶葉的種質資源多樣性創造了良好的自然條件，茶葉產業是云南高原特色農業的閃亮名片某大型茶葉種植基地為了比較、兩品種茶葉的產量，某季采摘時，隨機選取種植、兩品種茶葉的茶園各30畝，得到畝產量（單位：畝）的莖葉圖如下（整數位為莖，小數位為葉，如55.4的莖為55，葉為4）：畝產不低

25、于的茶園稱為“高產茶園”，其它稱為“非高產茶園”.（1）請根據已知條件完成以下列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“高產茶園”與茶葉品種有關？A品種茶葉（畝數）B品種茶葉（畝數）合計高產茶園非高產茶園合計（2）用樣本估計總體，將頻率視為概率，現從該種植基地品種的所有茶園中隨機抽取4畝，且每次抽取的結果相互獨立，設被抽取的4畝茶園中“高產茶園”的畝數為，求的分布列和數學期望附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828專題34 利用二項分布概率公式求二項分布的分布列一、多選題 1下列結論正確的有（ ）A公共汽年上有10位乘客，沿途5個車站，乘客下車的可能方式有種B兩位男生和

26、兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是C若隨機変量X服從二項分布，則D已知一組數據丟失了其中一個，剩下的六個數據分別是3，3，5，3，6，11，若這組數據的平均數、中位數，眾數依次成等差數列，則丟失數據的所有可能值的和為12【答案】BCD【分析】應用排列組合的“住店法”，每個乘客可在5個站任一站下車即可判斷A是否正確；應用捆綁、插空法即可知B的正誤；由二項分布得到分布列即可求，進而判斷C正誤；由平均數、中位數、眾數的概念，應用等差數列的性質，結合分類討論中位數求出所有可能值并加總，即可知D是否正確.【詳解】A選項：10位乘客，沿途5個車站，則每位乘客都可能在5個車站任意一個車站下車，所

27、以每位乘客的下車可能方式有種，故10位乘客一共有種；B選項：兩位男生和兩位女生隨機排成一列，兩位女生不相鄰：先將女生看成一組，在兩位男生所排的隊列中插空有種排法，而一共有，所以不相鄰的情況有，故概率為；C選項：X服從二項分布有，則分布列如下：012345；D選項：設丟失數據為，則平均數為，而數據的眾數一定為3，對于中位數有：當時，中位數是3；當時，中位數是；當時，中位數是5； 中位數是3時，有，即；中位數是時，即；中位數是5時，即；丟失數據的所有可能值的和為12.故選：BCD【點睛】本題考查了排列組合、概率等知識，綜合應用了排列組合的住店法、捆綁插空法，利用二項分布得到分布列，進而求概率，以及

28、中位數、平均數、眾數的概念，結合等差數列、分類討論等方法求值，屬于難題.2某計算機程序每運行一次都隨機出現一個五位二進制數（例如10100）其中A的各位數中出現0的概率為，出現1的概率為，記，則當程序運行一次時（ ）AX服從二項分布BCX的期望DX的方差【答案】ABC【分析】推導出，由此利用二項分布的性質能求出結果【詳解】解：由于二進制數的特點知每一個數位上的數字只能填0，1，且每個數位上的數字再填時互不影響，故以后的5位數中后4位的所有結果有4類：后4個數出現0，記其概率為；后4個數位只出現1個1，記其概率為；后4位數位出現2個1，記其概率為，后4個數為上出現3個1，記其概率為，后4個數為都

29、出現1，記其概率為，故，故正確；又，故正確；，故正確；，的方差，故錯誤故選：【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查二項分布的性質等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題3一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，給出下列結論：從中任取3球，恰有一個白球的概率是；從中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有兩次白球的概率為；現從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為. 則其中正確命題的序號是（ ）ABCD【答案】ABD【分析】利用古典概型的概率求解判斷.利用獨立重復實驗的概率求解判斷.利用古典概

30、型概率求解判斷.利用獨立重復實驗的概率求解判斷.【詳解】一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，從中任取3球，恰有一個白球的概率是故正確；從中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率為，則恰好有兩次白球的概率為，故正確；現從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為，故錯誤；從中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到紅球的概率為：則至少有一次取到紅球的概率為，故正確.故選：ABD.【點睛】本題主要考查概率的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.二、單選題4袋子中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中摸出一個紅球的概率是，依次從中有放回地摸球，每次

31、摸出一個，累計2次摸到紅球即停止記3次之內（含3次）摸到紅球的次數為，則隨機變量的數學期望（ ）ABCD【答案】A【分析】首先得到隨機變量的取值，再分別寫出概率，再根據期望公式計算【詳解】由題意可得的取值為0，1，2，所以數學期望.故選：A【點睛】本題考查獨立重復事件及其隨機變量的分布列和數學期望，重點考查讀題分析能力，屬于基礎題型，本題的易錯點是忽略是兩種情況.5設隨機變量，若，則（ ）ABCD【答案】A【分析】先建立方程求出，再計算即可.【詳解】解：因為隨機變量，所以，則，因為，即，解得隨機變量中，故選：A【點睛】本題考查二項分布概率公式，是基礎題.62019年1月28日至2月3日（臘月廿

32、三至臘月廿九）我國迎來春運節前客流高峰，據統計，某區火車站在此期間每日接送旅客人數X（單位：萬）近似服從正態分布，則估計在此期間，至少有5天該車站日接送旅客超過10萬人次的概率為（ ）ABCD【答案】A【分析】由已知可得，再由互斥事件及相互獨立事件的概率計算公式求解.【詳解】解：，得.故7天中至少有5天該車站日接送旅客超過10萬人次的概率為.故選：A.【點睛】本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查相互獨立事件及其概率的求法，屬于中檔題.7經抽樣調查知，高二年級有的學生數學成績優秀.如果從全年級隨機地選出50名學生，記其中數學成績優秀的學生數為隨機變量，則其期望的值為（ ）ABC25

33、D【答案】B【分析】由已知得：隨機變量，由二項分布的期望公式可得選項.【詳解】由題意得：，所以，故選：B.【點睛】本題考查二項分布的定義和其期望的計算公式，屬于基礎題.8抽獎一次中獎的概率是90%，5個人各抽獎一次恰有3人中獎的概率為（ ）A0.93BC1（10.9）3D【答案】B【分析】根據獨立重復試驗的概率公式即可得解.【詳解】根據獨立重復試驗概率公式可得：抽獎一次中獎的概率是90%，5個人各抽獎一次恰有3人中獎的概率為故選：B【點睛】此題考查求獨立重復試驗概率，關鍵在于準確辨析獨立重復試驗，根據公式求解概率.9某次抽獎活動中，參與者每次抽中獎的概率均為，現甲參加3次抽獎，則甲恰好有一次中

34、獎的概率為（ ）ABCD【答案】C【分析】本題根據獨立重復試驗直接計算概率即可.【詳解】因為參與者每次抽中獎的概率均為，則甲參加3次抽獎，甲恰好有一次中獎的概率為.故選:C.【點睛】本題考查獨立重復試驗求概率的問題，是基礎題.三、解答題10某單位在2020年8月8日“全民健身日”舉行了一場趣味運動會，其中一個項目為投籃游戲游戲的規則如下：每個參與者投籃3次，若投中的次數多于未投中的次數，得3分，否則得1分已知甲投籃的命中率為，且每次投籃的結果相互獨立（1）求甲在一次游戲中投籃命中次數的分布列與期望；（2）若參與者連續玩次投籃游戲獲得的分數的平均值不小于2，即可獲得一份大獎現有和兩種選擇，要想獲

35、獎概率最大，甲應該如何選擇？請說明理由【答案】（1）分布列見解析，；（2）甲選擇玩10次投籃游戲的獲獎概率最大理由見解析.【分析】（1）由題意得3次投籃命中的次數再根據二項分布求的分布列和期望；（2）首先分布計算當和時，計算得3分的次數，再根據二項分布求概率，比較大小.【詳解】（1）由題意知則，所以的分布列為0123（2）由（1）可知在一次游戲中，甲得3分的概率為，得1分的概率為若選擇，此時要能獲得獎品，則需10次游戲的總得分不小于20設10次游戲中，得3分的次數為，則，即易知，故此時獲獎的概率若選擇，此時要能獲得獎品，則需15次游戲的總得分不小于30設15次游戲中，得3分的次數為，則，又，所

36、以易知，故此時獲獎的概率因為，所以甲選擇玩10次投籃游戲的獲獎概率最大【點睛】方法點睛：求解二項分布問題的“四關”：一是“判斷關”，即判斷離散型隨機變量是否服從二項分布；二是“公式關”，即利用，求出取各個值時的概率；三是“分布列關”，列出表格，得離散型隨機變量的分布列；四是“結論關”，分別利用公式，求期望、方差11受新冠肺炎疫情影響，上學期網課時間長達三個多月，電腦與手機屏幕代替了黑板，對同學們的視力造成了非常大的損害.我市某中學為了了解同學們現階段的視力情況，現對高三年級2000名學生的視力情況進行了調查，從中隨機抽取了100名學生的體檢表，繪制了頻率分布直方圖如圖所示:前50名后50名近視

37、4032不近視1018(1)求的值，并估計這2000名學生視力的平均值(精確到0.1)；(2)為了進一步了解視力與學生成績是否有關，對本年級名次在前50名與后50名的學生進行了調查，得到的數據如列聯表，根據表中數據，能否有95%把握認為視力與學習成績有關?(3)自從“十八大”以來，國家鄭重提出了人才強軍戰略，充分體現了國家對軍事人才培養的高度重視.近年來我市空軍飛行員錄取情況喜人，繼2019年我市有6人被空軍航空大學錄取之后，今年又有3位同學順利拿到了空軍航空大學通知書，彰顯了我市愛國主義教育，落實立德樹人根本任務已初見成效.2020年某空軍航空大學對考生視力的要求是不低于5.0，若以該樣本數

38、據來估計全市高三學生的視力，現從全市視力在4.8以上的同學中隨機抽取3名同學，這3名同學中有資格報考該空軍航空大學的人數為，求的分布列及數學期望.附:，其中.0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1），4.6；（2）沒有；（3）分布列見解析，.【分析】（1）根據頻率分布直方圖的知識直接計算求解即可；（2）由列聯表數據代入公式計算的觀測值，進而得答案；（3）由題得視力在5.0以上的同學所占的比例為，根據題意得，再根據二項分布求解即可得答案.【詳解】（1）由直方圖可得，所以， 所以估計這2000名學生視力的平均值是4.6.（2）因

39、為的觀測值， 所以沒有95%把握認為視力與學習成績有關. （3）視力在48以上的同學中，視力在5.0以上的同學所占的比例為： 所以從全市視力在4.8以上的同學中隨機抽取3名同學，則，即，所以， 所以的分布列為：0123所以.【點睛】本題考查頻率分布直方圖，獨立性檢驗，二項分布等知識點，考查運算能力與數據處理能力.本題的前兩問均屬簡單運算，第三問解題的關鍵是根據頻率估計概率得到視力在5.0以上的同學所占的比例為，進而得.是中檔題.12為了拓展城市的旅游業，實現不同市區間的物資交流，政府決定在A市與B市之間建一條直達公路，中間設有至少8個的偶數個十字路口，記為2m，現規劃在每個路口處種植一顆楊樹或

40、者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.（1）現征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數據如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有99.9%的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性；（2）若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有X個路口種植楊樹，求X的分布列以及數學期望；附：P(K2k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）沒有99.9%的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性；（2）分布列答案見解析，數學期望：.【分析】（1）根據題中數據，計算，再結合臨界值表，即可得出

41、結果；（2）根據題中條件，先得到的可能取值為0，1，2，3，4，且，根據二項分布的概率計算公式求出分布列，進而可得數學期望.【詳解】（1）由題中條件可得，故沒有99.9%的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性；（2）依題意，的可能取值為0，1，2，3，4，且，故，所以的分布列為：X01234P故數學期望為.【點睛】思路點睛：求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據題中條件確定隨機變量的可能取值；（2）求出隨機變量所有可能取值對應的概率，即可得出分布列；（3）根據期望的概念，結合分布列，即可得出期望（在計算時，要注意隨機變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，可

42、結合其對應的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算）13在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫院掛號再到公共繳費，日常生活中幾乎在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫院掛號再到公共繳費，日常生活中幾乎全部領域都支持手機支付.出門不帶現金的人數正在迅速增加.中國人民大學和法國調查公司益普索合作，調查了騰訊服務的6000名用戶，從中隨機抽取了60名，規定：隨身攜帶的現金在100元以下（不含100元）的為“手機支付族”，其他為“非手機支付族”，統計如圖如示.男性女性合計手機支付族101222非手機支付族30838合計402060（1）根據上述樣本數據，并判斷有多大的把握認為“手機支付族”與“性別”有關

43、?（2）用樣本估計總體，若從騰訊服務的用戶中隨機抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機支付族”的人數為，求隨機變量的期望.（3）某商場為了推廣手機支付，特推出兩種優惠方案，方案一：手機支付消費每滿1000元可直減100元；方案二：手機支付消費每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8.5折.如果你打算用手機支付購買某樣價值1200元的商品，請從實際付款金額的數學期望的角度分析，選擇哪種優惠方案更劃算?附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）有99%的把握認為“手機支付族”與“性別”有關；（2）；（3）選擇

44、第二種優惠方案更劃算.【分析】（1）根據公式直接計算卡方，再根據參考數據即可得答案；（2）由題知女性中“手機支付族”的概率為，進而得，再根據公式計算期望即可；（3）根據題意方案一需付款元，方案二根據題意先求出其概率分布列，進而得其期望，再比較期望與的大小，即可得答案.【詳解】解：（1）由已知聯列表：男性女性合計手機支付族101222非手機支付族30838合計402060所以，（必須保留小數點后三位，否則不給分）有99%的把握認為“手機支付族”與“性別”有關；（2）有數據可知，女性中“手機支付族”的概率為， ，（3）若選方案一，則需付款元若選方案二，設實際付款元，則的取值為1200，1080，1

45、020， 選擇第二種優惠方案更劃算.【點睛】本題考查獨立性檢驗基本思想，二項分布，期望等知識，考查實際問題的應用能力與運算能力，是中檔題.14某幾位大學生自主創辦了一個服務公司提供兩種民生消費產品(人們購買時每次只買其中一種)服務，他們經過統計分析發現：第一次購買產品的人購買的概率為，購買的概率為.第一次購買產品的人第二次購買產品的概率為，購買產品的概率為.第一次購買產品的人第二次購買產品的概率為，購買產品的概率也是.（1）求某人第二次來，購買的是產品的概率；（2）記第二次來公司購買產品的個人中有個人購買產品，求的分布列并求【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數學期望：.【分析】（1）根據

46、題中條件，由相互獨立事件的概率計算公式，即可求出結果；（2）根據題中條件，得到，分別求出取不同值時，對應的概率，即可得出分布列，由二項分布的期望計算公式，即可求出結果.【詳解】（1）依題意可得：某人第二次來購買的是產品的概率（2）依題意可得：；分布列如下表：.【點睛】本題主要考查求相互獨立事件的概率，考查求二項分布的分布列及期望，屬于常考題型.15某中學數學競賽培訓共開設有初等代數、初等幾何、初等數論和微積分初步共四門課程，要求初等代數、初等幾何都要合格，且初等數論和微積分初步至少有一門合格，才能取得參加數學競賽復賽的資格，現有甲、乙、丙三位同學報名參加數學競賽培訓，每一位同學對這四門課程考試

47、是否合格相互獨立，其合格的概率均相同，（見下表），且每一門課程是否合格相互獨立，課 程初等代數初等幾何初等數論微積分初步合格的概率（1）求甲同學取得參加數學競賽復賽的資格的概率；（2）記表示三位同學中取得參加數學競賽復賽的資格的人數，求的分布列（只需列式無需計算）及期望.【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，期望為.【分析】（1） 分別記甲對這四門課程考試合格為事件，則“甲能修得該課程學分”的概率為，由獨立事件的概率公式可計算出概率（2）由（1）知每個人獲得復賽資格的概率是，的取值依次為，由二項分布概率公式計算了概率得分布列，再由二項分布的期望公式計算出期望【詳解】（1） 分別記甲對這四門課

48、程考試合格為事件，則“甲能修得該課程學分”的概率為，事件相互獨立，(2)， ， 因此，的分布列如下：因為 所以【點睛】本題考查相互獨立事件同時發生的概率公式，隨機變量的概率分布列和數學期望，考查二項分布旨在考查學生的數據處理能力，運算求解能力16江蘇實行的“新高考方案：”模式，其中統考科目：“”指語文、數學、外語三門，不分文理：學生根據高校的要求，結合自身特長興趣，“”指首先在在物理、歷史門科目中選擇一門；“”指再從思想政治、地理、化學、生物門科目中選擇門某校，根據統計選物理的學生占整個學生的；并且在選物理的條件下，選擇地理的概率為；在選歷史的條件下，選地理的概率為（1）求該校最終選地理的學生

49、概率；（2）該校甲、乙、丙三人選地理的人數設為隨機變量求隨機變量的概率；求的概率分布列以及數學期望【答案】（1）；（2）；分布列見解析，.【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式可求得事件“該校最終選地理的學生”的概率；（2）由題意可知，利用獨立重復試驗的概率公式可求得隨機變量的概率；利用二項分布可求得隨機變量的分布列，并由此可計算出隨機變量的數學期望.【詳解】（1）該校最終選地理的學生為事件，；因此，該校最終選地理的學生為；（2）由題意可知，所以，；由于，則，所以，隨機變量的分布列如下表所示：【點睛】本題考查利用獨立事件的概率乘法公式計算事件的概率，同時也考查了利用二項分布計算隨機變量的概率

50、分布列以及數學期望，考查計算能力，屬于中等題.17在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，大于等于分的選手將直接參加競賽選拔賽.已知成績合格的名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中的頻率構成等比數列.（1）求的值；（2）估計這名參賽選手的平均成績；（3）根據已有的經驗，參加競賽選拔賽的選手能夠進入正式競賽比賽的概率為，假設每名選手能否通過競賽選拔賽相互獨立，現有名選手進入競賽選拔賽，記這名選手在競賽選拔賽中通過的人數為隨機變量，求的分布列和數學期望.【答案】(1) ；(2)84；(

51、3)分布列見解析，1.【分析】(1)利用頻率分布直方圖的性質列式求解即可.(2) 利用頻率分布直方圖求平均數的方法求解即可.(3)易得隨機變量滿足二項分布,再根據二項分布的分布列與數學期望求解即可.【詳解】解:(1)由題意,得解得(2)估計這名選手的平均成績為.(3)由題意知,則可能取值為,所以所以的分布列為故的數學期望為.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的運用與二項分布的分布列與數學期望,屬于中等題型.18挑選空軍飛行員可以說是“萬里挑一”，要想通過需要五關：目測、初檢、復檢、文考（文化考試）、政審.若某校甲、乙、丙三位同學都順利通過了前兩關，根據分析甲、乙、丙三位同學通過復檢關的概率分

52、別是0.5，0.6，0.75，能通過文考關的概率分別是0.6，0.5，0.4，由于他們平時表現較好，都能通過政審關，若后三關之間通過與否沒有影響.（1）求甲、乙、丙三位同學中恰好有一人通過復檢的概率；（2）設只要通過后三關就可以被錄取，求錄取人數的分布列.【答案】（1）0.275；（2）分布列見解析.【分析】（1）先設，分別表示事件“甲、乙、丙通過復檢”，根據題中條件，由概率的計算公式，即可得出結果；（2）由題中條件，得到甲、乙、丙每位同學被錄取的概率均為0.3，故可看成是獨立重復試驗，即，的可能取值為0，1，2，3，分別求出對應的概率，即可得出分布列.【詳解】（1）設，分別表示事件“甲、乙、

53、丙通過復檢”，則所求概率.（2）甲被錄取的概率為，同理，.所以甲、乙、丙每位同學被錄取的概率均為0.3，故可看成是獨立重復試驗，即，的可能取值為0，1，2，3，其中.故，故的分布列為01230.3430.4410.1890.027【點睛】本題主要考查求獨立事件的概率，考查求二項分布的分布列，屬于常考題型.19為加快推進我區城鄉綠化步伐，植樹節之際，決定組織開展職工義務植樹活動，某單位一辦公室現安排4個人去參加植樹活動，該活動有甲乙兩個地點可供選擇.約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去哪個地點植樹，擲出點數為1或2的人去甲地，擲出點數大于2的人去乙地.（1）求這4個人中恰有2人去甲地的

54、概率；（2）求這4個人中去甲地的人數大于去乙地的人數的概率；（3）用分別表示這4個人中去甲乙兩地的人數，記，求隨機變量的分布列與數學期望.【答案】（1）；（2）；（3）分布列答案見解析，數學期望：.【分析】(1)參加甲游戲的概率P=,設這4個人中恰有k人去參加甲游戲為事件Ak(k0,1,2,3,4),可求這4個人中恰有2個人去參加甲游戲的概率,計算即可得出結果; (2)由(1)可知求;(3)的所有可能取值為0,2,4,寫出其對應的概率和分布列.【詳解】依題意知，這4個人中每個人去甲地的概率為，去乙地的概率為.設“這4個人中恰有i人去甲地”為事件，則.（1）這4個人中恰有2人去甲地的概率為（2）

55、設“這4個人中去甲地的人數大于去乙地的人數”為事件B，則，由于與互斥，故.所以這4個人中去甲地的人數大于去乙地的人數的概率為.（3）的所有可能的取值為，由于與互斥，與互斥，故，.所以的分布列為：024P故.【點睛】本小題主要考查古典概型及其概率計算公式、互斥事件、事件的相互獨立性、離散型隨機變量的分布列與數學期望等基礎知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.應用性問題是高考命題的一個重要考點，近年來都通過概率問題來考查，且常考常新,對于此類考題，要注意認真審題，對二項分布的正確判讀是解題的關鍵，屬于一般難度題型.20某工廠為了提高生產效率，對生產設備進行了技術改造，為了對比技術改造后的效

56、果，采集了技術改造前后各20次連續正常運行的時間長度(單位：天)數據，整理如下：改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36（1）完成下面的列聯表，并判斷能否有99的把握認為技術改造前后的連續正常運行時間有差異?超過30不超過30改造前改造后（2）工廠的生產設備的運行需要進行維護，工廠對生產設備的生產維護費用包括正常維護費，保障維護費兩種對生產設備設定維護周期為T天(即從開工運行到第kT天

57、，kN*)進行維護生產設備在一個生產周期內設置幾個維護周期，每個維護周期相互獨立在一個維護周期內，若生產設備能連續運行，則只產生一次正常維護費，而不會產生保障維護費；若生產設備不能連續運行，則除產生一次正常維護費外，還產生保障維護費經測算，正常維護費為0.5萬元次；保障維護費第一次為0.2萬元周期，此后每增加一次則保障維護費增加0.2萬元現制定生產設備一個生產周期(以120天計)內的維護方案：T=30，k=1，2，3，4以生產設備在技術改造后一個維護周期內能連續正常運行的頻率作為概率，求一個生產周期內生產維護費的分布列及均值附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.6351

58、0.828【答案】（1）見解析，有99%的把握認為技術改造前后的連續正常運行時間有差異.（2）見解析；均值為2.275萬元.【分析】（1）根據已知改造前后數據完成列聯表，計算，查表與臨界值比較大小即可確定；（2）依題意可知，一個維護周期內，生產線需保障維護的概率為，一個生產周期內需保障維護的次數服從二項分布.計算出一個生產周期內的正常維護費和保障維護費即可得出一個生產周期內的生產維護費，根據二項分布概率公式可求出分布列及期望.【詳解】解：（1）列聯表為：超過30不超過30改造前515改造后155有99%的把握認為技術改造前后的連續正常運行時間有差異. （2）由題知，生產周期內有4個維護周期，一

59、個維護周期為30天，一個維護周期內，生產線需保障維護的概率為.設一個生產周期內需保障維護的次數為，則；一個生產周期內的正常維護費為萬元，保障維護費為萬元.一個生產周期內需保障維護次時的生產維護費為萬元.設一個生產周期內的生產維護費為X，則X的所有可能取值為2，2.2，2.6，3.2，4. 所以，的分布列為22.22.63.24一個生產周期內生產維護費的均值為2.275萬元.【點睛】本題考查獨立性檢驗的應用、二項分布及期望，屬于中檔題.21某工廠生產了一批高精尖的儀器，為確保儀器的可靠性，工廠安排了一批專家檢測儀器的可靠性，毎臺儀器被毎位專家評議為“可靠”的概率均為，且每臺儀器是否可靠相互獨立（

60、1）當，現抽取4臺儀器，安排一位專家進行檢測，記檢測結果可靠的儀器臺數為，求的分布列和數學期望；（2）為進一步提高出廠儀器的可靠性，工廠決定每臺儀器都由三位專家進行檢測，只有三位專家都檢驗儀器可靠，則儀器通過檢測若三位專家檢測結果都為不可靠，則儀器報廢其余情況，儀器需要回廠返修擬定每臺儀器檢測費用為100元，若回廠返修，每臺儀器還需要額外花費300元的維修費現以此方案實施，且抽檢儀器為100臺，工廠預算3.3萬元用于檢測和維修，問費用是否有可能會超過預算？并說明理由【答案】（1）分布列詳見解析，數學期望；（2）不會超過預算，理由詳見解析【分析】（1）該事件滿足二項分布，由其概率計算公式分別計算